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汕大数学系林小苹 PROBABILITY P AB P A P B A= 全概率公式 () ( | ) ( ); ii i P APABPB= 定义： ( | )()()PB A PAB PA= 公式 () 1 ();P APA= 逆公式 () ();AB PA PB 包含公式 ( ) () () ( )P A B PA PB PAB= + 和公式 (有无序,有无放回, 排列/组合) 汕大数学系林小苹 10. 在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从 中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。 7 11 11 7 A ability 随机试验是从 张卡片中随机连续抽 张， 样本空间所含样本点总数为 ，而排列结果 为 这一事件所含样 解： 本点总数为 ，41111221 = 6 4 2.40 10 1663200 p =故： 作业讲解 汕大数学系林小苹 11. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯 子中球的最大数分别为1，2，3的概率。 34将 个球随机地放入 个解： 杯子中， 作业讲解 共有 ( 1,2,3), i Aii=记 为事件“杯子里球的最大个数为 ” 1 A事件 表示每个杯子最多放一只球， 3 4 A共有 种放法， 33 14 3 () /4 8 PA A= =故 3 3A事件 表示 只球都放在一只杯子中，共有 1 4 C 种放法， 13 34 1 () /4 16 PA C=故 2 ()PA = 13 31 9 1()()1 816 16 PA PA= 或 2 ()PA = 211 3 343 /4 9/16CCC = 2 232 43 A事件 表示有一个杯子放 只球，故在 个球中任取 球放在 只杯子中的一只，而另一球放在其余 个杯子中的一只， 3 4 种放法。 汕大数学系林小苹 18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ (1,2,3), i Ai i=记 为事件“第次接通电话” 则拨号不超过三次接通所需电话 解1： 这一事件为 1 A 作业讲解 12 A A 123 A AA 112123 () ( ) ( )P PA PAA PAAA+故所求概率 = 1121 () ()( | )PA PA PA A+ += 121312 ()( | )( | )P APA APA AA , 141431 3 5545435 P =+= 当已知最后一位数字是奇数时所求概率为 1919813 10 10 9 10 9 8 10 =+= 汕大数学系林小苹 18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ 解2： 作业讲解 3“拨号不超过 次就接通”的 对立事件 是 3“拨号 次都未通” 123 1( )P PAAA= 1= 121312 ()( | )( | )P APA APA AA 10 3 8 7 9 8 10 9 1 = 432 3 1 543 5 P = 当已知最后一位数是奇数时，所求概率 汕大数学系林小苹 35. 解：记A i 表示事件“在情况C发生时，第i只开关闭 合”，i1，2，n，则当n2时，系统的可靠性为 12 1- ( )pPAA=或 pP(A 1 UA 2 )P（A 1 ）+P(A 2 ) P（A 1 A 2 ） 0.96+0.96(0.96) 2 0.9984 P（A 1 ）P（A 2 ）P(A 1 )P(A 2 ) 12 1()()P APA= 0.9984= 2 10.04= 作业讲解 0.9999如果要求系统的可靠性至少为 ，则 12 1( )0.99 n PPAAA= null 4 1 (0.04) 0.9999,(0.04) 10 , nn 即 3 0.9999.故至少要 只开关关联才能使系统的可靠性至少为 86.2 04.0lg 4 n 汕大数学系林小苹 解：记H j 为事件“输入信道的分别是字母串“AAAA， BBBB，CCCC”，i1，2，3，G为事件“输出的是 ABCA”，由贝叶斯公式 1 (|)PH G= 作业讲解 ()PG 1 ()P GH 11 ()(| )P HPGH 3 1 ()(| ) ii i P HPGH = = 22 1 1 ( ) 2 p = 22 1 1 () 2 p + 3 1 () 2 23 ()pp+ 1 ( 1 )p 1 1 2 (3 1) 1 p p = + 40. 将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原 字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是 (1)/2. 今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道, 输 入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p 1 , p 2 , p 3 (p 1 +p 2 +p 3 =1), 已知输出为ABCA, 问输入的是AAAA的概率是多少?（设 信道传输每个字母的工作是相互独立的） 汕大数学系林小苹 B i =“第i次取到一等品” (i=1,2) 记A=“挑出的是第1箱”， 例 例 . 有两箱同种类的零件 . 第一箱 装 20 只，其中 5 只一等 品； 第二箱 装 16 只，其中 6 只一等品 . 今从两箱中任挑出 一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，不放回 . 求第1次取到一等品的概率；第1次取到一等品的条 件下, 第2次也取到一等品的概率. 解 解 : 11 (|)() (|)()PB P PBAA AP A=+ 1 ()P B (1) 21 ( | )?PB B = (2) 5611 20 2 16 2 = + 5 . 16 = 12 1 () () P BB PB 1 ()PB = 54 6511 20 19 2 16 15 2 5 16 + = 27 . 95 = 11 38 16 5 16 + = 12 12 (|)()(|)()PBB AA AP APBBP+ 汕大数学系林小苹 例在可靠性理论上的应用: 如图，1、2、3、4、5表 示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p ,且各继电 器接点闭合与否相互独立，求L至R 是通路的概率. 解 解 :设A表示“L 至R 为通路”, (i =1,2,5) A i 表示“第i 个继电器通”, (1) (2) 3 ( | )P A A = 14 25 ()P AA AA 24 2pp= 3 (| )P A A = 1245 ( )( )P AAAA 12 45 ()()P AAPAA= 22 (2 )pp= 由全概率公式 ()P A = 33 33 (| )( ) (| )( )P AA PA PAAPA+ 2345 2252pppp=+ (1) (2) 汕大数学系林小苹 6. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号纪念章， 任选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小的号码为5的 概率；(2)求最大的号码为5的概率。 解：随机试验是观察从10人中任取3人的纪念章号码 数，样本空间S的样本点总数为 (1) 5 5 610 最小号码为 是必须取到 号，而其余二人 从 号中任取，故样本点数为： 3 10 .C 2 4 23 2410 (2) 5 , /1/20 C pCC= 同理, 最大号码为 的样本点总数 所求概率为： 2 5 C 23 1510 /1/12pCC=所求概率为：
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