机械振动第二三四次作业参考答案.pdf

机械振动第 二 次作业参考答案 1、 如下图 所示 的单自由度系统， 均匀刚性杆 的杆长为 l， 质量为 m， （ 计算 时考 虑 杆 关于铰点的转动惯量 = 13m2） ，试： k m l O a 1 k 2 （ 1）建立系统 的运动方程 ； （ 2） 求 系统的 固有频率 。 解 ： （ 1）以系统的静平衡位置为初始位置，铰点 O 为坐标原点，转角 为 广义坐 标，顺时针方向为正方向。 根据 力矩平衡可得： 0 12 0I a k a l k l 整理 可得 ， 系统运动方程为： 2 2 2121 ( ) 03 m l a k l k （ 2） 由 系统运动微分方程，求固有频率： 222 2 2 12 12 23 ( )13eqn eq k a k l ka k l k m lm m l 2、 某单自由度 弹簧 -质量 -阻尼 系统 ， 已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m： （ 1） 如 测得 系统经过 10个周期后，振幅衰减为最大振幅的 5%，试计算系 统的阻尼比； （ 2） 如已知系统的阻尼比为 2%，请 估计经过多长时间系统的振动可以衰减 到最大振幅的 20%以下 。 解 ： （ 1） 根据题意 可得， 系统 为欠阻尼自由振动系统。 由 对数衰减率定义可得： 2 ()12ln () 1u ud xtn x t n T 代入已知数据 ，可得： 11ln 0 .2 9 9 61 0 5 % 预估 阻尼比很小，故可简化： 2 解得 ， 0.0477 （ 2） 阻尼比 2% 1 ， 故： 112 ln 20%n 解得 ， 12.8n 故 经过大约 12.8 个 周期后，振幅 可以 衰减到最大振幅的 20%以下 。 n km ， 由于 1 ， 所以 dn 所以 22 0 .7 9 9d d Tskm 所以 衰减时间 t: 1 2 .8 1 0 .2 3dt T s 或 ： 22 170001 1 0 . 0 2 7 . 8 6 /275dn r a d s 2 0.799d dTs 3、 举 一个单自由度系统的工程实例，说明其中的质量、刚度、阻尼与实际工程 系统的哪些参数有关 。 机械振动第三次作业参考答案 1、 如下图，质量为 m半径为 r的圆盘在半径为 R的轨道上做纯滚动，试： （ 1）建立系统的运动方程； （ 2）求系统的固有频率。 m r R （ 1） 解： 如右图所示：以最低点 O 点为平衡位置 ,轨道圆心设为 O ,广义坐标为转角 ，逆 时针方向为正方向。 由题意可得，质心的速度为： )( rRv 又由于圆盘的速度等于质心的速度，故有 )( rRvv 盘 故有 ： r rRv r盘盘 则系统的动能为： 22 222222 4 3 )( 2 1( 2 1r- 2 1 2 1 2 1 rRm r rRmrRmJmvE k 盘 以 O 点为重力势能参考点，则此时系统的势能为： )c o s1)( rRmgE u 由功能原理得： 0 s i n)( 23)( 2 rRmgrRmEEdtd uK 化简后可得： 0s i n)()(23 2 rRmgrRm 其中 sin ，因此系统的运动方程为： 0)()(23 2 rRmgrRm （ 2）由（ 1）中可得系统的固有频率为： )(3 2 )(23 )( 2 rR g rRm rRmg m k n 2、 某单自由度 弹簧 -质量 -阻尼 系统 ， 已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m，阻尼 为 400 N/(m.s-1)，受到 ( ) 240 sin 3p t t N 的简谐力的作用，试 ： （ 3） 写出系统的运动方程； （ 4） 求其稳态响应。 （ 1）解：由题意可知，该系统为单自由度系统受迫振动，其运动方程为 )( tpkxxcxm 带入数据后可得 ,该系统运动方程为： 03si n24017000400275 txxx （ 2） 由（ 1）可知，系统的固有频率为： 17000 7 . 8 6 2 / 275n k r a d s m 系统的阻尼比为： 400 0 . 0 9 2 5 2 2 2 7 5 1 7 0 0 0 c mk 系统的频率比为： 1 3 1 . 1 9 9 7 . 8 6 2 p n 对应的频响函数的幅值和相位角如下所示： 2 2 211 11 (1 ) ( 2 )uh k 2 2 2 11 17000 ( 1 1 . 1 9 9 ) ( 2 0 . 0 9 2 5 1 . 1 9 9 ) 41 . 1 9 9 1 0 m 11 22 2 2 0 . 0 9 2 5 1 . 1 9 9t a n t a n 2 . 6 7 1 1 1 . 1 9 9h r a d 故有： 41 . 1 9 9 1 0 2 4 0 0 . 0 2 8 8 u u ux h p m 因此，系统的稳态响应为： m )67.23s i n (0288.0)s i n ()( ttxtx u 3、 已知频率响应函数 2 1H ( ) 12 j ，当阻尼比 = 0 .1 0 .3 0 .5 0 .7 ， ， ，时， 分别画出该频率响应函数的幅频特性曲线以及相频特性曲线的大致形状。 4、 已知频率响应函数 2 22 1H ( ) 2n nnk j ，刚度 52 10k N/m， 7n rad/s，当阻尼比 = 0 .1 0 .3 0 .5 0 .7 ， ， ，时，分别画出该频率响应函数的幅 频特性曲线以及相频特性曲线的大致形状。 机械振动第四 次作业参考答案 1、 如下图 ，一个弹簧 -质量 -阻尼系统放置于一小车之上。已知 m=10kg， b=20N.s/m， k=100N/m，忽略小车的质量。假设小车的运动 u已知，试： （ 1）建立系统 的运动方程 ； （ 2） 求 系统的 固有频率 。 解 ： （ 1） 根据 力的平衡可得： ( ) ( ) 0m y y u b y u k 代入参数 ，可得运动方程： 1 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 0y y y u u （ 2） 无阻尼 固有频率： 100 1 0 /10n k r a d sm 阻尼比 ： 2 0 1 0102 2 1 0 0 1 0cmk 系统 固有频率： 21 3 /dn ra d s 2、 某单自由度 弹簧 -质量 -阻尼 系统 ， 已知其质量 275 kg，刚度为 17 kN/m，阻尼 为 400 N/(m.s-1)，受到 1 ( ) 240 sin 3p t t N和 2 ( ) 1 2 0 co s 2 3p t t N两 个 简谐力的同时作用，试 ： （ 5） 画出系统的力学模型； （ 6） 写出系统的运动方程 ； （ 7） 求其稳态响应。 解 ： （ 1） 力学 模型： k c m x p 1 ( t ) p 2 ( t ) （ 2） 系统 运动方程为： 2 7 5 4 0 0 1 7 0 0 0 2 4 0 s i n 3 1 2 0 c o s ( 2 )3x x x t t （ 3） 本 系统激励包含两个频率成分，可以用叠加原理进行求解。 首先 计算系统 无阻尼 固有频率和阻尼比： 17000 7 . 8 6 2 /275n k r a d sm 400 0 . 0 9 2 52 2 2 7 5 1 7 0 0 0cmk 对于激励 1()pt，求 其频率比 11 3 1 .1 9 97 .8 6 2p n 对应 的频响函数的幅值和相位角分别为： 1 2 2 21111(1 ) ( 2 )uh k 2 2 2 1117000 ( 1 1 . 1 9 9 ) ( 2 0 . 0 9 2 5 1 . 1 9 9 ) 41.199 10 1111 22 1 2 2 0 . 0 9 2 5 1 . 1 9 9t a n t a n 2 . 6 71 1 1 . 1 9 9h r a d 所以 41 1 1 1 . 1 9 9 1 0 2 4 0 0 . 0 2 8 8u u ux h p m 1 1 1 2 . 6 7 0 2 . 6 7u h p r a d 对于 激励 2()pt，求其 阻尼比 22 2 0 .7 9 9 27 .8 6 2p n 对应 的频响函数的幅值和相位角分别为： 2 2 2 22211(1 ) ( 2 )uh k 2 2 2 1117000 ( 1 0 . 7 9 9 2 ) ( 2 0 . 0 9 2 5 0 . 7 9 9 2 ) 41.507 10 1122 22 2 2 2 0 . 0 9 2 5 0 . 7 9 9 2t a n t a n 0 . 3 8 81 1 0 . 7 9 9 2h r a d 所以 42 2 2 1 . 5 0 7 1 0 ( 1 2 0 ) 0 . 0 1 8 1u u ux h p m 2 2 2 0 . 3 8 8 1 . 4 3 53u h p r a d 运用 叠加原理，求得稳态响应为： ( ) 0 . 0 2 8 8 s i n ( 3 2 . 6 7 ) 0 . 0 1 8 1c o s ( 2 1 . 4 3 5 )x t t t 3、 总 结求单自由度系统对一般激励的稳态响应的主要步骤。 解 ： （ 1） 写出 系统的运动方程； （ 2） 若 信号为简谐激励，直接通过公式进行求解； 若 信号为非简谐激励， 则 将此信号通过傅里叶 级数展开（对于 周期激励） 或者傅里叶 变换（对于 非周期激励） 分解 为在频域内分布的谐波分量。 （ 3） 分别 求 各谐波分量 激励 下的强迫振动响应 ； （ 4） 运用 叠加原理，将各谐波分量激励 对应 的强迫振动响应叠加，就可得到 相应 的 强迫振动稳态 响应 。