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1 装订线 2014-2015学 年 第 1 学 期 概 率 论 （ A 卷 ）考 试 类 型 ： （ 闭 卷 ） 考 试 考 试 时 间 ： 120 分 钟学 号 姓 名 年 级 专 业题 号 一 二 三 总 分得 分评 阅 人一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 15 分 ）1. 设 事 件 A=甲 产 品 畅 销 或 乙 产 品 滞 销 ， 则 A的 对 立 事 件 为 ( )(A) 甲 产 品 滞 销 ， 乙 产 品 畅 销 ； (B) 甲 产 品 滞 销 ；(C) 甲 、 乙 两 种 产 品 均 畅 销 ； (D) 甲 产 品 滞 销 或 乙 产 品 畅 销 . 2. 下 列 命 题 正 确 的 是 ( )(A) 若 事 件 A发 生 的 概 率 为 0， 则 A为 不 可 能 事 件 ；(B) 若 随 机 变 量 X 与 Y 不 独 立 ， 则 ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y 不 一 定 成 立 ；(C) 若 X是 连 续 型 随 机 变 量 ， 且 ( )f x 是 连 续 函 数 ， 则 ( )Y f X 不 一 定 是 连 续 型随 机 变 量 ；(D) 随 机 变 量 的 分 布 函 数 一 定 是 有 界 连 续 函 数 .3. 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 211 ( 3)82( ) (8 ) xf x e ， 若 ( ) ( )P X C P X C ，则 C 的 值 为 ( ).(A)0； (B)3； (C) 2 ； (D)2.4. 设 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X 和 Y 分 别 服 从 (0,1)N 和 (1,1)N ， 则 下 列 等 式 成立 的 是 ( ).(A) 1( 0) ;2P X Y (B) 1( 1) ;2P X Y (C) 1( 0) ;2P X Y (D) 1( 1) .2P X Y 5. 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 其 概 率 分 布 分 别 为 得 分 2 0 10.4 0.6XP 0 10.4 0.6YP则 有 ( ).(A) ( ) 0.52;P X Y (B) ( ) 0.5;P X Y (C) ( ) 0;P X Y (D) ( ) 1.P X Y 二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 ）1. 设 ( )X P （ 泊 松 分 布 ） ， 且 ( 1) 2 1E X X ， 则 = .2. 若 事 件 A和 B相 互 独 立 ， P( )=A ， P(B)=0.3， P(A B)=0.7 ， 则 . 3. 若 随 机 变 量 0,6U ， 则 方 程 2 1 0X X 有 实 根 的 概 率 为 .4. 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 1 , 0,( ) 0, 0.xe xf x x ， 其 中 0 ， 则 其方 差 ( )D X =_ .5. 某 机 器 生 产 的 零 件 长 度 （ cm） 服 从 参 数 为 =10.05， =0.06 的 正 态 分 布 。规 定 长 度 在 范 围 10.05 0.12cm内 为 合 格 品 ， 则 从 中 抽 取 一 产 品 为 不 合 格 品 的 概率 为 _0.0456_ (已 知 (2)=0.9772)6. 两 台 车 床 加 工 同 样 的 零 件 ， 第 一 台 出 现 不 合 格 品 的 概 是 0.03， 第 二 台 出 现 不合 格 品 的 概 率 是 0.06， 加 工 出 来 的 零 件 放 在 一 起 ， 并 且 已 知 第 一 台 加 工 的 零 件 数 比 第 二 台 加 工 的 零 件 数 多 一 倍 。 若 取 出 一 件 零 件 发 现 是 不 合 格 品 ， 则 它 是 由第 二 台 车 床 加 工 的 概 率 为 7. 设 二 维 随 机 变 量 ,X Y（ ） 只 能 取 （ -1， 0） ， （ 0， 0） 和 （ 0， 1） 三 对 数 ， 且 取这 些 数 的 概 率 分 别 是 12 ， 13和 16。 则 ( )P X Y .8. 设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 0,0.4,( ) 0.8,1,F x 11 11 33x xxx ， 则 1 3P X _. 得 分 得 分 3 装订线 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 61 分 ）1. 随 机 变 量 1 2, , , nX X X 独 立 并 且 服 从 同 一 分 布 ， 数 学 期 望 为 ， 方 差 为 2 ，这 n 个 随 机 变 量 的 简 单 算 术 平 均 数 为 X 。 求 iX X 的 数 学 期 望 和 方 差 。 （ 10分 ）2. 甲 、 乙 两 人 轮 流 投 篮 ， 甲 先 投 。 一 般 来 说 ， 甲 、 乙 两 人 独 立 投 篮 的 命 中 率 分别 为 0.7和 0.6。 但 由 于 心 理 因 素 的 影 响 ， 如 果 对 方 在 前 一 次 投 篮 中 投 中 ， 紧 跟在 后 面 投 篮 的 这 一 方 的 命 中 率 就 会 有 所 下 降 ， 甲 、 乙 的 命 中 率 分 别 变 为 0.4和0.5。 求 ： （ 1） 乙 在 第 一 次 投 篮 中 投 中 的 概 率 ； （ 5分 ）（ 2） 甲 在 第 二 次 投 篮 中 投 中 的 概 率 。 （ 5分 ） 3. 设 离 散 型 随 机 变 量 X 只 取 1、 2、 3 三 个 可 能 值 ， 取 各 相 应 值 的 概 率 分 别 是14, a , 2a ,求 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 函 数 . （ 10分 ） 1.5CM 4 4. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 在 区 间 (0,1)上 的 均 匀 分 布 ， 令 Y 2X +1， 求 Y 的 概 率密 度 函 数 . 5. 设 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立 ， 它 们 的 密 度 函 数 分 别 为 ：1,0 3( ) 30,X xf x 其 他 ； 33 , 0( ) 0, 0yY e yf y y 试 求 ：(1) (X,Y)的 联 合 密 度 函 数 ； （ 3分 ）(2) (2) ( )P Y X ； （ 4分 ）(3) D X Y .（ 4分 ） 5 装订线 6. 某 学 院 有 400名 学 生 参 加 全 国 大 学 生 英 语 四 级 考 试 ， 按 历 年 的 资 料 统 计 ， 该考 试 的 通 过 率 为 0.8。 试 应 用 中 心 极 限 定 理 计 算 这 400名 学 生 中 至 少 有 300人 通过 的 概 率 .（ 已 知 (2.5) 0.9938 ） 2014-2015学 年 第 1 学 期 概 率 论 （ A 卷 ） 参 考 答 案 6 一 、 选 择 题 1.A 2. C 3. B 4. B 5. A二 、 填 空 题1.1 2.3/7 3.2/3 4. 2 5.0.0456 6. 0.5 7. / 8.0.6三 、 解 答 题1. 解 1 11 1( ) ( ) ( ) 0.n ni i j i jj jE X X E X X E X EXn n 5分)1()( 1 nj jii XnXDXXD )1( 1 nijj ji nXXnnD2222 1)1( nnnn 21 .nn 5 分2. 解 令 1A 表 示 事 件 “ 乙 在 第 一 次 投 篮 中 投 中 ” ，令 iB 表 示 事 件 “ 甲 在 第 i次 投 篮 中 投 中 ” ， 1,2i （ 1） 1 1 1 1 1 1 10.7 0.5 0.3 0.6 0.53.P A P B P A B P B P A B 5分（ 2） 1 10.53, 0.47P A P A 2 1 2 1 1 2 1P B P A P B A P A P B A 5 分0.53 0.4 0.47 0.7 0.541 . 3. 解 由 21 14 a a 得 1 23 1( ).2 2a a 或 舍 去 4分即 1 1 1( 1) , ( 2) , ( 3) .4 2 4P X P X P X 2分所 以 0, 10, 1 2( 1) 2( ) ( ) ( 1) ( 2) 3 341 3 1 3xx xP X xF x P X x P X P X x xx x 当 时当 时 1， 当 1 时， 当 1 时 43， 当 2 时 ， 当 2 时， 当 时 ， 当 时 4分4. 解 已 知 X 的 概 率 密 度 函 数 为 1, 0 1,( ) 0, .X xf x 其 它 Y 的 分 布 函 数 FY(y)为 7 装订线 1 1( ) 2 1 2 2Y Xy yF y P Y y P X y P X F （ 5分 ）因 此 Y 的 概 率 密 度 函 数 为 1, 1 3,1 1( ) ( ) 22 2 0, .Y Y X yyf y F y f 其 它 （ 5分 ）5. 解 （ 1） 因 为 随 机 变 量 X， Y相 互 独 立 ， 所 以 它 们 的 联 合 密 度 函 数 为 ：3 ,0 3, 0( , ) ( ) ( ) 0,yX Y e x yf x y f x f y 其 他 3分（ 2） ( , )y xP Y X f x y dxdy 3 30 0 x ye dy dx 2分dxe x 30 3 )1(31 9303 9198)31(31 eex x)8(91 9 e 2分（ 3） 解 法 1由 密 度 函 数 可 知 (0,3), (3)X U Y E ， 所 以 ，2 2(3 0) 3 1 1( ) , ( ) ,12 4 3 9D X D Y 2分所 以 3 1 31( ) ( ) ( ) 4 9 36D X Y D X D Y 4分解 法 230 1 33 2EX xdx ； 32 2 3 300 1 1 33 9E X x dx x ； 所 以 22 23 33 ( )2 4DX E X EX ； 1分3 3 3 30 00 0 1 13 3 3y y y yEY y e dy ye e dy e 2 2 30 23 9yEY y e dy 222 2 1 19 3 9DY E Y EY 2分所 以 8 3 1 31( ) ( ) ( ) 4 9 36D X Y D X D Y 1分6. 解 解 法 1设 这 400名 学 生 通 过 考 试 的 人 数 为 X, 则 X B(400,0.8), 3分由 德 莫 弗 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 , 近 似 地 有 X N(320,64), 6分则 所 求 概 率 为PX 300=1-F(300) 300 3201 8 =1-(-2.5)=(2.5)=0.9938. 10分解 法 2 记 1,0,iX 第 i个 人 通 过 考 试第 i个 人 未 通 过 考 试 ， i=1 2 400.， ， ， 3分由 题 设 ， 这 400名 学 生 通 过 考 试 的 人 数 400 1 ii X 服 从 二 项 分 布 (400,0.8)B ， 由 deMoivre Laplace中 心 极 限 定 理 , 近 似 地 有4001 320 (0,1).8ii X N 4分所 以 400400 11 320 300 320300 1 ( 2.5) (2.5) 0.9938.8 8iiii XP X P 3分
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