北大物理科学营营员资格赛试题及参考答案.pdf

1 2015 年物理科学营营员资格赛 试题 2015 年 8 月 11 日 总分： 140 分 时间： 3 小时 一、简答题（ 30 分） 1.（ 6 分）试估算人体平均密度，需给出估算依据。 2.（ 8 分）如图所示，圆环在水平直轨道上纯滚动。 （ 1）若为匀速纯滚动，相对地面参考系，某时刻圆环上 各点运动加速度中的最大值 max a 和最小值 min a 之比为何值？ 为什么？ （ 2）若为初速度为零的匀加速纯滚动，相对地面参考系，初始时刻圆环上哪一个点部 位运动加速度值最大，哪一个点部位运动加速度值最小？为什么？ 3.（ 8 分）若干静止的带电导体和静止的本不带电的均匀介质块，互相分离，静电平衡 后，全空间（包含导体和介质块所占据空间）存在静电场。 （ 1） 若将其中一个导体取走， 但将其表面分布电荷全部留在原处， 试问空间场强分布、 电势分布和电场能量密度分布中，哪些是不变的，哪些是变的？请简述理由。 （ 2）若改将其中一个均匀极化的介质块取走，但将其表面分布着的极化电荷全部留在 原处，试问空间场强分布、电势分布和电场能量密度分布中，哪些是不变的，哪些是变的？ 请简述理由。 4.（ 8 分）如图所示，图平面的介质折射率 n 随 y 变化的 关系为 n 0 n y A 2220 0 0 n x Ay x y A 光线从 0 x 、 0y 处以某锐角 0 入射后，理论上已确认可沿 0 sin x yA x 曲线行进。 （ 1）试求 0 （ 2）光线行进到图中 P处时，行进方向已与 x 轴平行，在该方向上始终为 0 nn ，为 何光线没有画成沿着此方向的直线行进，而是只画成向下偏转沿曲线行进？ 二、计算题（ 110 分） 5.（ 16 分）某种双原子分子理想气体，其振动自由度在温度 0 2TT 时未被激发，在 0 2TT 时被激发。 摩尔的此种气体经 历的矩形循环过程如图所示， 其中 A、 B、 C处温度分别为 0 T 、 0 P O y A 0 x 0 2 x x A p V O D CB 2 0 2T 、 0 3T 。 （ 1）画出循环过程中气体内能 U 随温度 T 的变化曲线，其中 U 的单位取为 0 RT 。 （ 2）计算循环效率 。 6.（ 22 分）如图所示，水平桌面上平放着 质量 2m 、每边长 l、两端开口的 U 形空心匀 质绝缘细管道，它的 AB 边与 AB边平行， AB 边、 AB边分别经极小的圆弧段过渡到 与原方向垂直的 AA边。图中 AA边的中分 线 MN 朝 AB 边一侧有场强为 1 E 的水平匀强 电场； MN 朝 AB边一侧有场强为 2 E 的水平 匀强电场。 1 E 、 2 E 大小相同，记为 E。 AA管内有两个质量同为 m 、电量同为 0q 的 带电小球 1、 2，它们非常靠近地分居中分线 MN 两侧。开始时，管道、小球均静止。一起 自由释放后，设系统处处无摩擦，小球间作用力可略。管道、小球在而后的运动过程中，因 为对称， 球 1、 2 相对管道的运动速度大小始终相同。 已知 1 E 电场线、 2 E 电场线与中分线 MN 的夹角大小同为锐角 。 （ 1）试求球 1、 2 分别即将到达 A、 A时相对管道的运动速度大小 1 v ，再求此过程中 电场力总得作功量 W 。 （ 2）设球 1、 2 通过 A、 A处极小圆弧段所经时间可略，试求刚过圆弧段时球 1、 2 相对管道的运动速度大小 2 v 。 （ 3）试求球 1、 2 分别从 B、 B开口处刚离开管道时，相对管 道的运动速度大小 3 v 。 7.（ 18 分）惯性系 s、 s间的相对运动 关系如图所示， O、 O重合时取为 0tt 时刻。 s系的 y 轴上对称地固定着一个焦距 0f 的会聚透镜，两个点光源 A、 B分别 固定在 x 轴上，坐标量分别为 2 A x f ， 3 2 B x f 。图中未画出 x 轴上所成的像 点 a 、 b ，它们的坐标量分别记为 a x、 b x。 （ 1）设 A、 B持续发光。 1 E 2 E B A B A N M 1 2 2 A x f 3 2 B x f y x A B s s O O y x v 系 系 透 镜 3 （ 1.1）试求 s系测得的 a、 b 之间的距离 ab l ； （ 1.2）试求 s系测得的 a、 b 之间的距离 (1) ab l 。 （ 2）设 s系中 A、 B同于 0t 时刻瞬时发光， a、 b 也瞬时成像，试求 s系测得的 这两个像点之间的距离 (2) ab l 。 8.（ 30 分）由匀质小球、固定斜面 和固定挡板组成的系统如图所示，图中 给出的参量中仅有 和 H 可在本题答 案中出现。 将小球从图中静止位置自由释放， 恰好能沿斜面作纯滚动，且而后与挡板 发生的每次碰撞都是弹性的。试求： （ 1）小球与斜面间的摩擦因数 ； （ 2）小球与挡板第一次碰撞后，球心相对水平方位线 MN 上升的高度 1 H ； （ 3）小球与挡板第二次碰撞后，球心相对水平方位线 MN 上升的高度 2 H ； （ 4）直到最终小球停在挡板右侧为止的全过程中，球心经过的路程 S 。 9.（ 24 分）某惯性系 Oxy 坐标原点处，静质量 0 m 的质点开始，沿 2 2 x y A 抛物线 轨道的 0 x 一侧运动。 （ 1）用质点运动学方法，计算 x 位置处该抛物线的曲率半径 ()x 。 （ 2）利用积分公式 22 2 1 11ln1 22 x x dx x x x B （不定常量） 计算该抛物线从 0 x 到 x A 位置的一段曲线长度 l。 （ 3）该质点从 0 x 到 x A 位置，沿抛物线轨道运动的初速度为零，切向加速度大 小为常量 2 0 42ln1 2ac A ， c：真空光速 试求质点在 x A 处所受法向 （即与速度方向垂直的方向） 力的大小 F 法 和切向力的大小 F 切 。 H N M R 2 , 2 /5 C mRI mR 挡板 面 水平方位线 斜 1 参考解答与评分标准 1.（ 6 分） 可能的解答 ：因为人体大部分（约 60% ）分子为水分子，且人体的重金属分子或原子含量极少， 故人体平均密度可估算为水的密度，即为 3 1gcm。 ：因为正常人学游泳不是非常困难，也不是非常容易，故人体平均密度与水的密度 相近，近似为 3 1gcm。 ：其它合理的估算。 2.（ 8 分） （ 1） max min :1:1aa （ 1 分） 因环心加速度为零，环上各点相对地面参考系加速度即为相对环心加速度，后者都为等 值的向心加速度，无大小之分，即 max min aa 。 （ 2 分） （ 2）圆环最高点部位运动加速度值最大，最低点（与直轨道接触的点）部位加速度值 最小。 （ 2 分） 初始时刻，环上各点 P相对地面参考系加速度 P a 可分解为 P P aa a 环心 切 a 环心 ：环心相对地面加速度，方向水平朝右 P a 切 ： P点相对环心切向加速度 各个 P点对应的 P a 切 值相同，方向不同。 参见题解图可知，左图可合成的最高点 a 上 值最大；中图可合成的最低点 a 下 值最小； 右图可合成的其它点 P a 值介于其间。 （ 3 分） 3.（ 8 分） （ 1）都不变。 （ 2 分） 据场强和电势叠加原理， ()Er 和 ()Ur 仅由空间电荷分布确定。静电平衡时，导体电 荷只分布表面上，取走导体，留下表面电荷，即留下其对 ()Er 、 ()Ur 的贡献，故 ()Er 、 ()Ur 都不变。空间的真空中和导体内的场能量密度 () e wr 仅由 ()Er 确定，故 () e wr 不变， P a 切 aa 环心上切 aa 环心下切 a 环心 a 环心 a 环心 题解图 2 介质块内 ()Er 和 ()P r 不变，由它们确定的场能量密度 () e wr 也同样不变。 （ 2 分） （ 2）场强 ()Er 、电势 ()Ur 都不变，取走介质的那个介质块内 () e wr 分布要变，其余 空间部位 () e wr 都不变。 （ 2 分） 均匀极化的介质块无极化体电荷， 取走介质块后， 留下的极化面电荷， 空间 ()Er 、 ()Ur 以及余下介质块中的 ()P r 都不变，对应的 () e wr 也都不变。取走的介质把原存在于其内的 介质极化能也取走了，该区域内的 () e wr 发生变化。 （ 2 分） 4.（ 8 分） （ 1） 0 00 0 22 0 0 tan sin 2 x xdy A dx x A x 0 0 22 0 arcsin x A x （ 3 分） （ 2）光线实为一细束光波，在 P处将其波阵面放大为 题解图所示，可能有一部分在 yA 直线方位上方，另有一 部分在下方。经 dt 时间，上方因各处波速相同，波阵面仍 为平面，于是沿 yA 直线方位继续传播，形成直线行进的 光线。经 dt 时间，下方各处波速不同，波阵面向下偏转， 于是沿题图正弦曲线向下偏转地传播，形成曲线行进的光线。几何光学涉及此类问题时，已 成习俗地约定只关注题目关注的那个方向偏转地光线。 （ 5 分） （此问不必要求学生解答如上述那样细致。 ） 5.（ 16 分） （ 1）由 0A TT 、 0 2 B TT 、 0 3 C TT ，可 将 A、 B、 C 、 D四处 p 、 V 参量标记为题解图 1 所示， 可得 D处温度和 CD 过程中存在状态 E ，其状态 量分别为 0 3 2 D TT ， 1 4 3 E p p ， 0 2 E TT 据 5 2 R， 0 2TT mV UCT ， mV C 7 2 R， 0 2TT 3 得 UT 曲线如题解图 2 所示。 （ 6 分） （ 2） 75 22 BA B AAB QUU RT RT 吸 0 9 2 RT 1 0 9 2 mp C BBC QCTT RT 吸 0 9 AB BC QQ Q RT 吸吸吸 0 7527 22 4 CD C DCD QUU RT RT RT 放 2 0 7 4 mp D ACD QCTTRT 放 0 34 4 CD DA QQ Q RT 放放放 得 1 15.6% 18 Q Q 放 吸 （ 10 分） 附注： 1 9 2 mp CR ， 2 7 2 mp CR 6.（ 22 分） 解：球 1、 2 相对桌面运动学量的右上方均无角标，管道相对桌面运动学量的右上方有 角标 *。沿 AA方向运动学量的右下方均带角标 ，沿 MN 方向运动学量的右下方均带角 标 。 （ 1）参考题解图 1，对小球有 sinaqE m ， 2 1 () 22 l at t 为小球走完 2l 路程所需的时间，为 sintmlqE 因管道相对桌面无 AA方向运动，即得 4 1 (1) sinuatqElm v （ 6 分） 对管道，因两小球与其一起沿 MN 方向运动，有 * 2 cos 4 cos 2aqE mqE m 经 t 时间所得末速度大小为 * 1 (1) cos 2sin qEl uat m 此过程中电场力总得作功量便为 2 2 2* 1 11 cos 24(1)sin 22 2in Wm muqEl v （ 4 分） （ 2）球拐弯前后，相对桌面运动学量分别 在题解图 2（ 1） 、 （ 2）中示出，由动量、能量 守恒方程 * 2 (2) 2 (2) 4 (1)mu mu mu 2*2 11 2(2) 2(2) 22 mu mu 2*2 11 2 (1) 4 (1) 22 mu mu * (2) (2) 2 (1)uu u 2 *2 (2) (2) 4 (1)uu u 2*2 2 *2 (2) (2) (1) 2 (1)uuu u 相减得 *22 2(2)(2) 2(1) (1)uu u u 继而又可得 2 *2*2*2 (2) (2) (2) (2) 2 (2) (2) 2 (1)uu u u uu u 即有 * 21 (2) (2) 2 (1) 2uu u vv 2 2sinqEl mv （ 8 分） （阅卷参考答案： * 1 (2) 2 (1) 2 (1) 2 uuu ， * 1 (2) 2 (1) 2 (1) 2 uuu ） （ 3）球拐弯后，管道沿 MN 方向无加速度，球沿 MN 方向相对桌面加速度同为相对管 道加速度，大小为 cosaqE m 球相对管道初速度大小为 2 v ，末速度为 3 v ，则有 5 22 32 22sincosla qEl m v=v 3 2sincosqEl m v （ 4 分） 7.（ 18 分） （ 1） （ 1.1） s系中由成像公式，对 Aa 、 Bb 分别由 111 2 a f xf ， 111 3 2 b x f f 解得 2 a x f ， 3 b x f ab b a lxxf （ 4 分） （ 1.2） s系观察到 a 、 b 为两个持续亮点， s系于同一时刻测量 a 、 b 位置得间距，相 当于测量 a 、 b 之间一把运动直尺的长度，故有 22 (1) 1 1 ab ab llf ， c v （ 4 分） （ 2） s系中 a 、 b 在不同时刻点亮，期间有时差。 s系观察到 a 、 b 也在不同时刻依 次点亮，期间也有时差。 s 系在不同时刻测到 a 被点亮的位置 a x 和 b 被点亮的位置 b x ， (2) ab l 即为 a x 到 b x 的间距，故不可用动尺缩短公式计算。 透镜成像已约定取小角度近轴范围，即可近似为沿主光轴过光心（坐标原点 O）的直 线途径。计算光从 A到 a 所需时间和从 B到 b 所需时间分别为 4 f c 和 4.5f c 其中 系因透镜介质形成的附加光程差。据此可得， s系中 a 被点亮的点事件 4 2, aa f xft c b 被点亮的点事件 4.5 3, bb f xft c s系中 a 被点亮的点事件 22 4 12 1 aaa f xxt f c vv b 被点亮的点事件 4.5 13 1 bbb f xxt f c vv 所求量便为 2 10.5 (2) 1 ab a b lxx f （ 10 分） 8.（ 30 分） 得 末 态 过 程 末 态 得 得 末 （ 1）向下 纯 sinmg c I 2 7 态 0e v （ 2）初态 从 v 程 态如题解 图 sinmg 1 9 7 a g 态 ： 1 0 e v ， 为（ 3）问 求 末 态逆时针 方 （ 3）初态 从 2 v 纯 滚，最大 静 cosmg 2 2 5 mR ， tan ， 0 a 0 2a H 从 小球与挡 板 10ie v 图 2 所示， 滑 2 sin 7 mg sin 上升高度 H 22 11ie vv 1 5 9 H 求 解需要， 由 2 sin 7 mg 111i ta v 方 向角速度 11ei 从 （ 2）问 末 21 =0 ie v ， 静 摩擦力向 上 0 ma ， 00 aR 5 sin 7 g ， sin 板 碰后开始， 10 7 gH ， 滑 动摩擦力向 1 ma 1 ，则由 11 2sinaH H （ 由 1c RI 10 7 9 gH 11 4 9 t R 末 态开始： ， 21ie 6 上 ，参考题 解 cosmg R 0 5 si 7 g R 10 7 gH ， 速度反向， 10 1 ie R 下，有 （ 3 分） 1 5 7 7 sing 10 0 7 gH 410 97 g R 解 图 1，由 0c I n （ 7 分 ） 0 0 e e RR v 角速度方 向 10 7 gH sin g R H （逆时 针 ） 110 7 gH R 向 和大小都 不 （ 3 分） 针 方向） 不 变，有 （ 3 分） 讨 论 得 继 而 刚 好 此 时 小 球 此 时 到 此 这 样 论 小球沿斜 面 过程态如 题 sinmg 2 sin 7 mg 21 aa 而 有 2 v 好 走到向下 纯 2 a 2 t 2 t 时 达纯滚状 态 2e av 球 此时位置 相 h 下 时 小球所处 纯 此 位置所达 状 h 上 样 ，可等效 地 H H 5 9 H 面 向下从连 滚 题 解图 3 所 示 2 sin 7 mg 2c RI 9 sin 7 g ， 2 at ， 2 纯 滚时，有 22e t v 2 2 i R a 2 9sing 态 ： 22 2 7 t 相 对初态 1 H 高 2 2 2 sin 2 e a 下 v 纯 滚动状态， 状 态，即有 2 2 0 sin 2 e a 上 v 地 替换成， 小 1 h 下 210 77 滚 带滑直到刚 好 示 ，由 2 ma 21 22i 22ei R 2 4 1 9 R 10 7 gH 10 7 gH ， 高 度的位置， （ h 下 也可等效 为 （ h 上 球在据 MN 1 2 hH 上 2 1 s 2 gH 7 好达到纯滚 动 5 sin 7 g R t 22 tR 09 77 gH 22ee R v 下降的高 度 20 49 9 H 为 小球在该 位 4 49 H 上 水平方位 线 2 2 1 sin e v 7 in 9sing 动 状态为止 的 5 sin 7 g 210 77 g R 度 量为 ） 位 置上方 h 上 h 下 ） 线 上方 20 11 aa 7 5sing 的 过程。 sing H 处从静止自 由释放纯 滚 下行 8 5210 11 7 9497 95 HgH gg 5204 94945 HH 29 49 H 处，从静止自由释放，开始向下作纯滚动。而后的运动与本题从初态开始的运动相同，只是 需将 H 改取为 H，经挡板碰撞后所求 2 H ，可类比于 1 5 9 HH 而得 21 5529 9949 HH H H （ 8 分） （ 4）据（ 3）问解答可知，小球第 k 次与挡板碰后相对水平方位线 MN 上升到 1 529 949 k k HH 1, 2k 高处。开始时， 0k ，小球只是下行高度 H ；而后上升 1 H ，又下行 1 H ； 最终停靠在 挡板右侧。球心经过的总路径即为 1 2sin k k SHH 0 10 29 10 1 sin sin 29 949 9 1 49 i i SHH H 得 67 18sinSH （ 6 分） 9.（ 24 分） （ 1）设质点 x 方向分运动为 0 x t v ，则 y 方向分运动为 22 0 2 t y A v ，有 0 x vv， 2 0y tAvv 22 2 22 0 00 11 xy t x AA v vvv v v 0 x a ， 2 0y aAv cos y aa 心 ， cos x v v 222 0 aAx 心 v 9 得 32 22 2 2 ()x Ax A a 心 v （ 6 分） （ 2）由 22 22 11 dy x dl dx dy dx dx dx A 得 222 00 1 11ln1 22 x x A xx x x x x ldlA d A AA A A A A 将 x A 代入，所求量为 2ln1 2 2 A l （ 4 分） （ 3） x A 处速度大小为 2 2 2 0 22 2ln12 4 2 42ln1 2 cA ual c A 2uc 质量为 2 002 2 12 3 u mm c m c 由 dmu dm du dm Fumumama dt dt dt dt 切 法 得 Fmama 心法法 ， 0 dm Fuma dt 切 F 法 的计算： 2 0 2 3 u Fma m x A 心法 ， 22x AA 2 0 46Fmc A 法 （ 7 分） F 切 的计算： x A 处 20 0 22 2 2 2 3 3 42ln1 2 4 c m dm dm du mu c a dt du dt c u A c 0 33 2 ln1 2 dm mc A dt 10 2 0 00 2 2 3 33 2ln1 2 4 2ln1 2 mcdm c c Fuma m dt A A 切 2 0 2332ln12Fmc A 切 （ 7 分）