CADCAM课程计算题.pdf

1 五、计算分析1、如图所示，求三角形A对直线 0635 yx 的对称变换矩阵。 平面图形对一般位置直线 ax+by+c=0 的对称变换:1)将平面图形与直线 ax+by+c=0 一起向左平移 x=c/a，使该直线通过原点，即作平移变换。1）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转=arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变换。2）将旋转之后的图形对 y 轴作对称变换，相当于对 y 轴进行对称变换。其变换矩阵为3）将图形按顺时针方向旋转角，即作旋转变换。其变换矩阵为：4）直线 ax+by+c=0从原点反平移 x=c/a，回到直线原来的位置，即作平移变换。其变换矩阵为：1 1 0 00 1 0/ 0 1T c a 2 cos sin 0sin cos 00 0 1T 3 1 0 00 1 00 0 1T 4 cos sin 0sin cos 00 0 1T 5 1 0 00 1 0/ 0 1T c a 1 2 3 4 5cos2 sin2 0sin2 cos2 0(1 cos2 )/ sin2 / 1T T T T T Tc a c a 2 2. 已知四边形ABCD各顶点的坐标为：A（0，0），B（10，0），C（10，20），D（0，20）。写出使 ABCD 图形在 X方向放大一倍，Y 方向缩小一倍的变换矩阵，并求出变换后的图形的坐标矩阵。【 答 案 】（ 1） 四 边 形 ABCD 的 齐 次 坐 标 矩 阵 为 ： （ 2） X 方 向 放 大 一 倍 ， Y 方 向 缩 小 一 倍 的 变 换 矩 阵 为 ：（ 3） 变 换 后 的 四 边 形 ABCD 的 坐 标 矩 阵 为 ：（ 以 上 1， 3 所 得 的 结 果 矩 阵 均 为 其 转 置 矩 阵 也 算 对 ）3. 已知四边形的 ABCD各顶点坐标为A(0，0)，B(15，0)，C(15，20)，D(0，20)，欲使此四边形放大为原来的 2.5 倍，并沿 x 方向平移 10 坐标单位，沿 y 方向平移 20 坐标单位，试求变换矩阵T、变换后 四边形ABCD顶点坐标矩阵及其顶点坐标。 【 答 案 】点 的 位 置 矩 阵 比 例 变 换 矩 阵 平 移 变 换 矩 阵 合 成 变 换 矩 阵 变 换 后 的 位 置 矩 阵变 换 后 的 位 置 坐 标 为 ： A（ 10， 20） ， B（ 47.5， 20） ， C（ 47.5， 70） ， D（ 10， 70） 3 4. 已知直线 AB 两端点的坐标为 A(2，3)，B(5，6)写出使直线 AB 以坐标原点为中心顺时针旋转90的变换矩阵，并求出变换后直线AB的坐标矩阵。【 答 案 】 （ 1） AB 的 齐 次 坐 标 矩 阵 为 ：（ 2） 绕 原 点 顺 时 针 旋 转 的 变 换 阵 为 ： （ 3） 变 换 后 直 线 AB 的 坐 标 矩 阵 为 ：5、如图所示，现欲将某法兰盘图形上的小六边形绕法兰盘中心 ),( 111 yxO 点旋转一个角。试求出这个变换的矩阵表示。 【 答 案 】（ 1） 平 移 ： 将 法 兰 盘 中 心 点 平 移 至 坐 标 原 点 ， 基 本 变 换 矩 阵 为 :（ 2） 旋 转 ： 将 小 六 边 形 绕 坐 标 原 点 旋 转 角 ， 基 本 变 换 矩 阵 为 : 4 （ 3） 再 平 移 ： 再 将 法 兰 盘 中 心 点 平 移 至 原 来 位 置 ， 基 本 变 换 矩 阵 为 ：最 后 ， 复 合 变 换 的 矩 阵 为 : 6、某立方体 1101 1111 1110 1100 1001 1011 1010 1000A ，试求出进行以下几种变换后，所得新图形的坐标值。（1） 对称于XOY平面；（2） 平移X方向2，Y方向1，Z方向2；（3） 绕X轴旋转45 0；（4） 压缩到YOZ平面。【 答 案 】解 ： （ 1） 对 称 于 XOY 平 面 5 （ 2） 平 移 X 方 向 2， Y 方 向 1， Z 方 向 2（ 3） 绕 X 轴 旋 转 （ ） 压 缩 到 YOZ 平 面 7、要使如图所示的五角星的中心沿36)4()3( 22 yx 的圆运动，且运动中，五角星的一条对称线AB始终通过该圆的中心，请推导其变换矩阵。答案要点 BA XY O 6 8、用最小最大测试原理判断ABC和DEF在 YOZ 坐标平面上的投影是否可能存在相互遮挡关系，请说明理由。已知：A（30，25，60），B（20，-40，12），C（-12，60，-45），D（79，25，67），E（45，-27，-80），F（-67，67，20） 9、如上图所示，将三维图形表达的工件用三视图表达，取 XOY 平面为主视图的投影平面，请写出变换为三视图的坐标变换公式。 7 俯视图的生成：左视图的生成：附加题： 10、试 证 明 如 果 比 例 因 子 a=d， 则 二 维 旋 转 和 比 例 变 换 是 可 交 换 的 ， 否 则 是 不能 交 换 的 。证 明 ： 设 比 例 变 换 的 变 换 矩 阵 为 ：设 旋 转 变 换 的 变 换 矩 阵 为 ： 则 ： =因 为 a=d 即 ：所 以 ， 二 维 旋 转 和 比 例 变 换 可 换 。11.求平面图形对一般位置直线x+y+2=0的对称变换的变换矩阵(写出变换过程) 8 答：1.先将直线沿 X 轴右移两格 T1=1 0 0;0 1 0;2 0 12. 先将直线沿逆时针旋转45T2=cos45 sin45 0;-sin45 cos45 0;0 0 13.将图形上的点沿y轴对称T3=-1 0 0;0 1 0;0 0 14.将直线沿顺时针选转45 T4=cos(-45) sin(-45) 0;-sin(-45) cos(-45) 0;0 0 15.再将直线沿-X方向移动移两格T5=1 0 0 ;0 1 0;-2 0 16.总的变换矩阵为T=T1*T2*T3*T4*T57. T=0 1 0 ；1 0 0；-2 2 1 X Y x+y+2=0