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学而思网校 1 学习有意思 三角形三大模型 、三大专题 满分突破 一、 基本概念 1. 定义：由不在同一条直线三条线段首尾依次连接组成的平面图形。 2. 表示方法 ABC 3. 边 ： (1). 定义 ：组成三角形的线段 (2). 定理：三角形两边之和大于第三边 三角形两边之差小于第三边 4. 内角 (三角形有三个内角 )：三角形内角和为 0180 5. 外角 (一个三角形有 6 个外角 ) (1). 定义：三角形任意一边与另一边的反向延长线所组成的角 (2). 定理： 1) 三角形的外角和等于 0360 2) 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 3) 三角形的任意一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 6. 分类 钝角三角形 (1). 按 角 分类 直角三角形 锐角三角形 等腰三角形 (2). 按边分类 不等腰三角形 学而思网校 2 学习有意思 7. 与三角形相关的线段 角平分线 ：三条角平分线的交点 内心 中线 ：三条中线的交点 重心 高线 ：三条高线的交点 垂心 二、 三大经典模型 （ 所有模型 考试中都不能直接使用 ， 需进行证明 ） 1. “飞镖 ”模型 角的关系： B D C A B C 边的关系： A B A C B D C D 2. “8”字模型 角的关系： A B C D 边的关系： A B C D A D B C 3. “角分线 ”模型 (1). 如右图 OB ,OC 分别是 ABC , ACB 的角 平分线。 角的关系： 0 190 2B O C A A B D C O A B C D A B C O 学而思网校 3 学习有意思 (2). 如右图， BM ,CM 分别是 EBC , FCB 的平分线 . 角的关系： 0 190 2MA (3). 如右图 ， BN ,CN 分别是 ABC , ACD 的角平分线 . 角的关系： 12NA 法宝口诀：内加外减，内外一半 三、 三角形 三大专题 1.整数边三角形 1. 边长都是整数的三角形， 称 为整数边三角形 。 2. 若三角形三边长为 a ， b ， c 且 abc ，则 (1). 三角形的最小的边 a 满足： 0 3abca ，当且仅当 abc 时，等号成立 。 (2). 三角形的最大的边 c 满足： 32a b c a b cc ，当且仅当 abc 时，等号成立。 方程 (特别是不定方程 )和不等式是解决整数边 三角形或者内角是整数 的三角形的常用工具。 枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得 的结果进行检验。 A B C D N A B C E F M 学而思网校 4 学习有意思 2.多边形 及其内外角和 1. 多边形 定义 ：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做 多边形 2. n 边形对角线条数： 32nn 条 . 3. n 边形内角和： 02 180n . 4. n 边形外角和：恒为 0360 . 5. 多边形边数与内外角和关系 (1). 多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内 角和减少；每增加一条边，内角和增加 180，反过来也成立 (2). 多边形外角和恒等于 360，与边数多少无关 (3). 多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的 外角中最多有三个钝角 . (4). 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相 结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法 . (5). 在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解 决 . 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转 化思想在数学中的应用 . 3.三大专题之镶嵌 设正多边形边数为 n，所以每一个内角等于 02 180n n 镶嵌时用 m 块，即 0 02 1 8 0 360n mn ，故 42 2m n . 学而思网校 5 学习有意思 习 题 1、 如图，有一 ABC，今以 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交 BC 于 D 点， 以 C 为圆心， AC 为半径画弧，交 BC 于 E 点。若 B=40， C=36，则 关于 AD、 AE、 BE、 CD 的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. ADAE C. BE=CD D. BE”表示其关系，（ 3）、（ 4）、（ 5）问用 “=”表示其 关系。 （ 1），如图 ，点 P 在 AC 上（不同于 A、 C 两点）， BPC 与 A 的 大小关系是 ，用一句 话说出你判断的依据 （ 2），如图 ，点 P 在 ABC 内部， BPC 与 A 的大小关系是 （ 3），如图 ，点 P 是 ABC、 ACB 平分线的交点，此时 BPC 与 A 的大小关系是 （ 4），如图 ，点 P 是 ABC 平分线和 ACB 外角平分线的交点， BPC 与 A 的大小关系是 (5),如图 ，点 P 是 ABC 和 ACB 两外角平分线的交点， BPC 与 A 的大小关系是 (6),在上述五种情景中，选择其中一种情况说明理由。 （ 7），如图 ，在 ABC 中， C=90，点 P 是 ABC 平分线和 BAC 外角平分线的交点 ,则 P 的度数为 学而思网校 10 学习有意思 11、 周长为 36、各边都为整数的三角形的个数为 个 A B C P A B C P A B C P A B P C A B C P A C B P 学而思网校 11 学习有意思 解 析 1、 如图，有一 ABC，今以 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交 BC 于 D 点， 以 C 为圆心， AC 为半径画弧，交 BC 于 E 点。若 B=40， C=36，则 关于 AD、 AE、 BE、 CD 的大小关系，下列何者正确？（ ） B. AD=AE B. AD A； (2) BPC A； (3) BPC=12 （ A+180） ; （ 4） BPC=12 A； （ 5） BPC=12 （ 180- A） ; (6)第（ 1）题 BPC A A B C P A B C P A B C P A B P C A B C P A C B P 学而思网校 21 学习有意思 因为如图 ， BPC 是 APB 的外角 所以， BPC= A+ ABP（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和） 所以 BPC A 故答案为 BPC A， (三角形的外角等于不相邻的两个内角的和 ) （ 7）已知 P 是 ABC 平分线和 BAC 外角平分线的交点， 所以 1= 2， 3= 4(角平分线的性质 ) 1+ 2 是 ABC 的外角， 所以 1+ 2= C+ 3+ 4（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和） 所以 2 2=90+2 3（等量代换） 所以 2=45+ 3 如图 2 为 APB 的外角， 所以 2= P+ 3 所以 P+ 3=45+ 3（等量 代换） 所以 P=45. 故答案为： 45. 【点评】此题考查的知识点是三角形内角和定理和三角形外角的性质，解 答此题的关键是根据三角形内角和定理及三角形的外角性质判断分析解答。 11、 周长为 36、各边都为整数的三角形的个数为 个 【考点】 一元一次不等式组的整数解 【专题】 计算题 【分析】 三角形的三边中，等边三角形三边相等；除此外，必有一边是最 长边；故可设三边长分别为 abc ，则 a+b=36 c c，而且最大边须 学而思网校 22 学习有意思 满足： c12 ，故可得 c 只能在 12， 13， 14， 15， 16， 17， 18中选； 选 定 最大 边 c， 然后根据 周长为 36，两边之和 大于第三边来确定 a 和 b 的 取 值 。 【解答】 解：设三边长分别为 abc ，则 a+b=36 c c12 ， 12c 18，故 c=12， 13， 14， 15， 16， 17；分类讨论如下： 当 c=12 时， b=12， a=12； （ 1 个 ） 当 c=13 时， b=13， a=10或 b=12， a=11； （ 2个 ） 当 c=14 时， b=14， a=8 或 b=13， a=9或 b=12， a=10 或 b=11， a=11；（ 4个 ） 当 c=15 时， b=15， a=6 或 b=14， a=7，或 b=13， a=8 或 b=12， a=9 或 b=11， a=10； （ 5 个 ） 当 c=16 时， b=16， a=4 或 b=15， a=5，或 b=14， a=6 或 b=13， a=7 或 b=12， a=8 或 b=11， a=9 或 b=10， a=10； （ 7 个 ） 当 c=17 时， b=17， a=2 或 b=16， a=3，或 b=15， a=4， 或 b=14， a=5，或 b=13， a=6，或 b=12， a=7， 或 b=11， a=8，或 b=10， a=9； （ 8 个 ） 满足条件的三角形的个数为 1+2+4+5+7+8=27个 故答案为 27 【点评】 本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度较大，关键是掌握 找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握，然后用分类讨论的思想 解题 三角形 的整数边问题，一般先讨论最大 边 的范围，再确定其 它 两边 的取值 .
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