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1 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.证明 方法一 分别过E，F作EMAB于M，FNBC于N，连接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.2 已知P为ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PCB、PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.（1）证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解 由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，其相似比为13，SSABC=19.3如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解 SG平面DEF，证明如下：方法一 连接CG交DE于点H，如图所示.DE是ABC的中位线，DEAB.在ACG中，D是AC的中点，且DHAG.H为CG的中点.FH是SCG的中位线，FHSG.又SG平面DEF，FH平面DEF，SG平面DEF.方法二 EF为SBC的中位线，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可证，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF.5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.证明 （1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE DC，又D1G DC，OE D1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.6如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.（1）证明 四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB，EFAB.AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH. (2) 解 设EF=x（0x4），由于四边形EFGH为平行四边形， .则=1-.从而FG=6-.四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0x4,则有8l12,四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.7如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O为DD1、DB的中点，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.8正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ平面BCE.证明 方法一 如图所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AE=BD.又AP=DQ，PE=QB，又PMABQN，PM QN，四边形PMNQ为平行四边形，PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二 如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，AE=BD，AP=DQ，PE=BQ，=又ADBK，=由得=，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三 如图所示，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM.PMBE，PM平面BCE，即PM平面BCE，=又AP=DQ，PE=BQ，=由得=，MQAD，MQBC，又MQ平面BCE，MQ平面BCE.又PMMQ=M，平面PMQ平面BCE，PQ平面PMQ，PQ平面BCE.8如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC,证明:BC平面EFG.(1)解 如图(1)所示.图（1）(2)解 所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-(22)2=(cm3). (3)证明 如图(2),在长方体ABCDABCD中,连接AD,则ADBC. 因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG,从而EGBC. 又BC平面EFG, 图（2）所以BC面EFG.9.如图所示，正四棱锥PABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PMMA=BNND=58.（1）求证：直线MN平面PBC；（2）求线段MN的长.（1）证明 连接AN并延长交BC于Q，连接PQ，如图所示.ADBQ，ANDQNB，=，又=，=，MNPQ，又PQ平面PBC，MN平面PBC，MN平面PBC.（2）解 在等边PBC中，PBC=60，在PBQ中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2PBBQcosPBQ=132+-213=，PQ=，MNPQ，MNPQ=813，MN=7.10 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN平面PAD 证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，MACD，E是PD的中点，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四边形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中点F，连接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD11 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1 【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可证明：连接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，侧面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC112 在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化证明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC13如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60，E，F分别是AB1，BC的中点 ()求证：直线EF平面A1ACC1；()在线段AB上确定一点G，使平面EFG平面ABC，并给出证明证明：()连接A1C，A1E侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点，E也是A1B的中点，又F是BC的中点，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直线EF平面A1ACC1(2)解：当时，平面EFG平面ABC，证明如下：连接EG，FG侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB是等边三角形E是A1B的中点，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC14 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点()求证：平面BEC1平面ACC1A1；()求证：AB1平面BEC1证明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中点，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()证明：连接B1C，设BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中点， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC115 在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8， ()设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；()求四棱锥PABCD的体积证明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD是边长为4的等边三角形因此在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故16如图，三棱锥PABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点()求MN的长；()求证：PABC()解：连接MB，MC三棱锥PABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，且底面ABC也是边长为1的等边三角形N为BC的中点，MNBC在RtMNB中，()证明：M是PA的中点，PAMB，同理PAMCMBMCM，PA平面MBC，又BC平面MBC，PABC17如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点求证：()直线EF平面ACD；()平面EFC平面BCD证明：()E、F分别是AB、BD的中点，EF是ABD的中位线，EFAD又EF平面ACD，AD平面ACD，直线EF平面ACD()EFAD，ADBD，EFBDCBCD，F是BD的中点，CFBDCFEFF，BD平面CEFBD平面BCD，平面EFC平面BCD18如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，G，H分别为FA，FD的中点()证明：四边形BCHG是平行四边形；()C，D，F，E四点是否共面?为什么?()由题意知，FGGA，FHHD，GHAD，又BCAD，GHBC，GHBC，四边形BCHG是平行四边形()C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF，G是FA的中点，得BEFG，且BEFGEFBG由()知BGCH，EFCH，故EC，FH共面，又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面
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