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提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.二、特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f（xy）f（x）f（y）幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 三、常用变换技巧四、经典例题及易混易错题型 (一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解. 例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是_.分析：因为相当于中的x，所以，解得或.例2. 已知函数的定义域是1，2，求f（x）的定义域.分析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.的定义域是1，2，是指，所以中的满足,从而函数f（x）的定义域是1，4例3.若函数的定义域为，求函数的定义域.解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：.所以函数的定义域为例4.已知的定义域为，则的定义域是_.分析：因为及均相当于中的x，所以 (1)当时，则(2)当时，则的定义域为，意思是凡被f作用的对象都在中.评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为_，值域为_.答案:(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_.分析：在条件中，令，得，又令，得，例2.设函数的定义域为，且对于任意正实数都有=恒成立。若已知,试求：（1）的值;（2）的值，其中为正整数. 分析：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律.（1）令，则，.再令=2, =, 则, （2）由于，依此类推就有 其中为正整数.例3.已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：；，求f（3），f（9）的值。解：取，得因为，所以又取得抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决.2.利用周期函数求值例4. 已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值.分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以故是以8为周期的周期函数，从而例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.分析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,3.利用约分化简求值 .2000 .( ,原式=16)(三)值域问题例1. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,所以f(x)0. 3.例2.若函数h(x),g(x)均为奇函数，f(x)ah(x)+bg(x)2在（0，）上有最大值5，求f(x)在（，0）上的最小值。解析：由于h(x),g(x)均为奇函数，故ah(x)+bg(x)也是奇函数，令F(x)=ah(x)+bg(x)，则f(x)=F(x)+2。由f(x)在（0，）上有最大值5知，F(x)在（0，）上有最大值为3。又因F(x)是奇函数，故F(x)在（，0）上有最小值为3从而f(x)在（，0）上有最小值为1.(四)奇偶性问题根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系.f(x)是偶函数与f(x+a)是偶函数的区别：f(x+a)为偶函数 ，则f(x+a)=f(-x+a)；f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a).f(x)是奇函数与f(x+a)是奇函数的区别：f(x)是奇函数，则f(-x-a)=-f(x+a)；f(x+a)为奇函数，f(-x+a)=-f(x+a).如f(2x+1)是奇函数: f(-2x+1)=-f(2x+1). 原因如下：令g(x)=f(2x+1)，即g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x)，即f(-2x+1)=-f(2x+1).例1.已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数。例2.若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。证明：设图象上任意一点为P（）,与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上， 又，即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。例3.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。解析：令，则，得；令，则，得；令，得，得因此函数为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。例4.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1B.x=2C.x=D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于x=1对称。已知y=f(x)是偶函数，则f(-2x-1) =f(2x+1).例5.已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数.证明：设t=x-y,则，所以f(x)为奇函数.（五）单调性问题抽象函数的单调性多用定义法解决例1.如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解.例2.设函数的定义域为，且对任意实数m，n，总有，且当时，（1）证明：，且当时，；（2）证明：在上单调递减分析：解决抽象函数问题，可借助具体的“模型函数”帮助同学们思考本题的“模型函数”为指数函数，同学们还没有学到它，不过没有关系，利用现有的知识同学们也同样能够解答证明：（1）在，m，n中，令，得，即，但0，故必有1设，则，令，代入条件式有，由时，01知0时，01，1，即当时，1（2）设任意且，则，又，故，从而证得在R上单调递减例3.设f（x）定义于实数集上，当时，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。例4. 已知函数的定义域为，且对，恒有，且，当时，（1）求证：是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证分析：在学过的函数中一次函数满足上述条件，而一次函数具有单调性，从而根据题设条件运用函数单调性定义加以证明在证明的过程中为了扣紧题设条件，要有一定的变形技巧（1）证明：设任意，且，则，由题意，得，是单调递增函数（2）解析：验证过程同学们可以自己试做一下例5.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2, 则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例3的解答相比较，体会解答的灵活性）例7.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.例8. 定义在R+上的函数f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n，又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)，故f(x1)f(x2),即f(x)是R+上的增函数。(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性质,得fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得 3x4.（六）单调性与奇偶性综合例1已知偶函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， （1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式（1）设，则 ，即， 在上是增函数 （2），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，0，解得： 例2.设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又,求实数的取值范围.解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例3.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围 (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2) f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故：对任意xR恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需k例4.已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1,若a,b1,1,a+b0时，有0.(1)判断函数f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x+)f();(3)若f(x)m22pm+1对所有x1,1,p1,1(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.（1）设任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定义在1，1上的奇函数，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因为x10，f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在1，1上是增函数。（2）由不等式f(x+)f()得,解得1x0,即为所求.（3）由以上知f(x)最大值为f(1)=1,所以要f(x)m22pm+1对所有x1,1,p1,1(p是常数)恒成立，只需1m22pm+1恒成立，得实数m的取值范围为m0或m2p.（七）周期性问题这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 常见结论:（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数)。（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a是非零常数)。,则T=2a(a是非零常数)。周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴是偶函数；对称中心（a,0）是奇函数2T=对称轴；对称中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x)=T=2f(x)= b-f(-x+a)对称中心6f(x)=1-T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例1. 已知函数满足，求的值。解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。所以将上式中的x用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。例2.设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。故是周期函数，2c是它的一个周期。例3.设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。证明：由的图象关于直线对称，得，又是定义在R上的奇函数，所以，则由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。例4. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x)，求f(1998)的值。解：因为f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6333)=f(0)=0。例8.设y=f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (x) = f (x)与f (4x)=f (x)，若当x0,2时，f (x) =-x2 +1 ,则当x6 , 4 时f (x)= （ ） （A）x2 +1 (B) (x2)2 +1 (C)(x+4)2 +1 (D) (x+2)2 +1紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例5. 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_。分析：在条件中，令，得 ， 又令， 得， 例6. 已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是， 所以 故是以8为周期的周期函数，从而例7设f(x)是(-,+)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=_。 分析：读懂题意，理解函数满足关系式f(x+2)-f(x)及f(-x)=-f(x)；将f(7.5)的求值问题转化到x0，1范围内解决。由f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=-f(x+2)f(x)，知f(x)是以4为一个周期的周期函数，于是f(7.5)=f(42-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。例8已知f(x)是定义在实数集上的函数且满足f(x+2)(1-f(x)=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值。分析：易知f(x)1,所以有 函数f(x)是以8为一个周期的周期函数，从而f(2001)=f(8250+1)=f(1)=1997。注：对一类抽象函数求值问题，充分利用周期性，化未知为已知。例9.函数满足若则（ ） A.13 B.2 C. D. 【解析】：由规则有，的周期T=4。，再由规则赋值，令得，即.选C。例10.定义在R上的函数满足则等于（ ）A.2 B.3 C.6 D.9【解析】：这里主要的规则是，赋值，令得，又赋值，令得，；再赋值，令，得=2，选A。 （八）图象问题（对称性）解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。对称问题:点关于点对称：点（x,y）关于点（a,b）对称的坐标为（2a-x,2b-y）.曲线关于点对称：曲线f(x,y)=0关于点（a,b）对称的曲线f(2a-x,2b-y)=0.直线关于点对称：点关于直线对称：直线关于直线对称：常见对称：f(-x)=f(x),即函数f(x)关于y轴对称；f(-x)=-f(x), 即函数f(x)关于原点(0,0)对称；f(a-x)=f(a+x),即函数f(x)关于直线x=a对称；f(a-x)=-f(a+x),即函数f(x)关于点(a,0)对称。若（为常数）函数的图象的对称轴为区分：函数与函数的对称轴是例1.设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ）A、直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对称解法一（定义证明）：设点是函数的图象上的任意一点，则，关于直线的对称点为，要使点在函数的图象上，则，应有，故，所以函数与的图象关于直线对称。解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移1个单位得到函数的图象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移1个单位，得到的图象。如图所示，选D。解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图象上，又点P、Q关于直线对称，选D。总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函数的自对称轴为；函数与的互对称轴为，即【变式训练】. 若函数是偶函数，则的图象关于直线_对称。分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。例2. 若函数是偶函数，则的图象关于直线_对称。分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。例3. 若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点_。分析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。例4. 已知函数满足，求的值。解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。所以将上式中的x用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。例5.设奇函数的定义域为，若当时，的图像如图所示，求不等式的解。例6.是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示。令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）（A）若，则函数的图像关于原点对称；（B）若，则方程有大于2的实根；（C）若，则方程有两个实根；（D）若，则方程有三个实根。（九）解析式问题例1. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数 A. B. C. D. 分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。点关于直线的对称点适合，即。又，即，选B。例2. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f（x）的解析式。解：在中以代换其中x，得：再在（1）中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。（十）比较函数值大小问题利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例1. 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，且，则的大小关系是_。分析：且，又时，是增函数， 是偶函数，, 故例2函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，求f(3.5)、f(1)、f(2.5)大小关系.例3. 若函数f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ） （A） f (2)f (1) f(4) (B)f (1)f (2) f(4) (C) f (2)f (4) f(1) (D)f (4)f (2)0时，0f（x）0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例2.若函数是定义在上的增函数，且对一切满足，则不等式的解集为 （ ）A. B. C. D. 【解析】：由已知，又是定义在上的增函数，选C。例3. 若是定义在上的减函数，且对一切，都有 试解不等式.思路：逆用函数单调性, 将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系.解：因为所以 由于是上的减函数，因此 . 故原不等式的解集是点评：（1）若函数且则由可得；（2）若且则由可得 利用这两条性质，常常能帮助我们很快获得抽象函数的自变量之间的关系。例4.若奇函数f(x)在上是增函数，且f(-3)=0，解不等式xf(x)0。解析：由奇函数f(x)在上递增，且f(-3)=0知，当时，f(x)0；当时，f(x)0。故不等式xf(x)0的解集为。例5.已知偶函数f(x)在上是增函数，解不等式。分析：要解此不等式，必须设法去掉符号“f”，而去掉符号“f”只能依据的单调性。由条件且在上递增知，只须将f 作用的对象x1和12x都转化到区间上即可。解：讨论：（1）当x时，x112x，即0x。（2）当x1时，12x 0，故原不等式可化为，所以1x 2x1，即x。（3）当x0时，x10，12x2x1，即x1矛盾。综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为0x。例6.设函数是定义在上的增函数,且,对任意,恒成立,解不等式.解析:由题意知:.又函数是定义在上的增函数,原不等式等价于不等式组.解得.故原不等式的解集为.点评:在解抽象函数不等式的时候要密切关注函数的定义域.例7.已知定义在上的函数满足:,当时,.(1)求证:为奇函数;(2)求证:为上的增函数;(3)解关于的不等式:(其中且为常数).证明:(1),令得.,再令,即得,为奇函数.(2)设,且,由已知得,即为上的增函数.(3),同理,故原不等式可化为:,即,.当,即时,不等式解集为:; 当,即时,不等式解集为:;当,即时,不等式解集为:.点评:本题容易出现的问题是:分类讨论不会,甚至认为,其中解集为空集.例8.若是定义在上的减函数，且对一切，都有 试解不等式.思路：逆用函数单调性, 将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系.解：因为所以 由于是上的减函数，因此 . 故原不等式的解集是（十二）抽象函数不等式的证明例1. 函数的定义域为,且对任意不同的都有,求证:.证明:设.(1)若.则, 即.(2)若.则又由于.综上所述,对对任意不同的都有.例2.设是定义在上的函数,当时,且对任意的实数,均有,求证:对任意,都有.证明:当时,令,则有,所以,当时,有,令,则,则.综上可得对任意,都有.（十三）讨论方程根的问题例1. 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_。分析：由知直线是函数图象的对称轴。又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。 例2.设函数f (x)=(xa)3 对任意实数x 都有 f (2+x) =f (2x) ,则 f (3)+f (3) = ( ) (A) 124 (B) 124 (C) 56 (D) 56例3.已知实系数多项式函数f (x) 满足f (1x) = f (3x) , 并且方程 f (x)=0有四个根，求这四个根之和。例4.函数 f(x)的定义域为R，且满足 f (12x) = f (x) ,方程f (x) =0 有n个实数根，这n个实数根的和为1992，那么n为（ ）（A） 996 （B） 498 （C） 332 （D） 116 （十四）解析式问题常用方法：换元法、解方程组、待定系数法、递推法、区间转移法等.例1.设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解: （2）（3）例2.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.例3.已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，则时，函数的解析式为（ D ） A B C D 解：易知T=2，当时,;当时,.故选D.22
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