实对称矩阵的相似对角化.ppt

6.3实对称矩阵的相似对角化,证明,一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,推论实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,定理3实对称矩阵A的k重特征值必定对应k个线性无关的特征向量。,二、正交矩阵及施密特正交化方法,定义1,上式中A用其列向量表示，即,1、正交矩阵的概念,为正交矩阵的充要条件是的行向量都是单位向量且两两正交,解,由定义可知Q为正交矩阵。,或者,由于Q的行（列）向量都是单位向量，且两两正交，故Q为正交矩阵。,2、施密特(Schmidt)正交化方法,定理5设是一组线性无关的向量，则可以找到一组正交的向量使得向量组与等价。,证明,首先，令,即从而求出,再令及,再令及,可求出,一般地，由求出的公式为,由以上公式的构成可知向量组两两正交，且都可由线性表示，反之也都可由线性表示，所以,两向量组等价。,以上求等价正交向量组的方法称为施密特(Schmide)正交化方法。,将所求正交向量组单位化：,从而可以进一步得到与等价的正交规范向量组,解,例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.,(1)第一步求的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步将特征向量正交化,第四步将特征向量单位化,于是得正交阵,