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群一、填空题1. 设是复数集到复数集的一个映射, 则=_.2. 设=(134),=(13)(24), 则=_.3. 群的元素的阶是，的阶是，则 ，如果 = 1，则 _.4. 设是任意一个循环群.若|=，则与_同构；若|=n，则与_同构.5. 设=（14）（235），=（153）（24），则| = _， =_.6. 设群的阶为，则 .7. 设“”是集合的一个关系，如果“”满足_，则称“”是的元素间的一个等价关系. 8. 设(23)(35)，(1243)(235)S5，那么_(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， 是 (奇、偶)置换.9. 设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 .10. 一个群的非空子集做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设为群，若对于任意的元，都有，则称群为 群.12.次对称群的阶是_.13.设=是10阶循环群，则的全部生成元有 ，的子群有 个，分别是 .14.设是群的子群，则 .15.设=是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 .16在3次对称群中，(1),(123),(132)是的一个正规子群，则商群中的元素(12).17如果是与间的一一映射，是的一个元，则 .18.设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设=是12阶循环群, 则的生成元集合为 .21. 一个群的一个子群的右陪集（或左陪集）的个数叫做在中的 .22. 设是一个阶群，其中是素数，则的子群的一切可能的阶数是 _ .23. 写出S的一个非平凡的正规子群_.24. 已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于 . 25. 一个有限非可换群至少含有_个元素.26. 设是阶群（是素数），则的生成元有_个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设是实数集，规定的一个代数运算，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“”适合如下运算律： .29. 设是群的子群，则 .30. 写出三次对称群的子群的一切左陪集 .31. 如果是一个含有15个元素的群，那么，有 个5阶子群，对于，则元素的阶只可能是_.32.设是一个阶群，其中都是素数，则的真子群的一切可能的阶数是 ，的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群中的元素的阶等于，则的阶等于的充分必要条件是 .34. 设(，)是一个群，那么对于，()1_.35. 群中元素的阶为，的阶为，则= .36若一个群的每一个元都是的某一个固定元的方幂，则称为 .375-循环置换，那么 .38设为群，且对于任意的，有 ，则叫做的正规子群.39. 设为乘群，则能够使得的最小正整数，叫做的_.设为加群，则能够使得 的最小正整数，叫做的阶.40设(1243)(235)，那么_.是 (奇、偶)置换.41. 设是集合的元间的一个等价关系，它决定的一个分类：则所在的等价类= .42. 设=，则到的映射共有_个，到的一一映射共有 _个，到的映射共有_个（上可以定义 个代数运算）.43. 设是6阶循环群，则的生成元有_个.44. 非零复数乘群中由生成的子群是_.45. ，则的阶数等于 .46素数阶群的非平凡子群个数等于_.47. 设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 .48. 设是集合到集合的一个映射,则存在到的映射,使 为 ; 存在到的映射,使为 .49. 若群中的每个元素的阶都有限,则称为 群. 若群中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称为 群.50. 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若,则阶循环群必有阶子群,其阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群的每个子群都是其正规子群,则称为 群.55. 元置换的阶为 ， .二、选择题 1. 设 (实数集)，如果到的映射,则是从到的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射;D) 既非单射也非满射.2.中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)中的所有元素.3.设是以15为模的剩余类加群，那么的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设和都是群中的元素且，那么（ ）.A) B) C) D) .5. 设是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数，有，则=( ).A) 1，-1; B) ，-; C) 1， -1，-; D) 空集.6. 设=所有实数，的代数运算是普通乘法，则以下映射作成到的一个子集的同态满射的是( ).A) B) C) D) .7. 设是实数集，定义乘法，这里为中固定的常数,那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）.A) 1和； B) 1和0； C) -和； D)和.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法; C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设是群,是群中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A) B) C) D) .10. 设是实数集合,规定的元素间的四个关系如下,( )是的等价关系.A); B) ; C) ; D) 0.11.设是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) 中有左单位元，同时中的每个元素都有左逆元；B) 对于中任意元素和，中恰好有一个元素满足=；同时中恰好有一个元素y满足y=； C) 中有单位元，同时中的每个元素都有逆元； D) 在中两个消去律成立.12.设是群的子群，且有左陪集分类. 如果子群H的阶是6，那么的阶（ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群= (1),(12),(13),(23),(123),(132)，那么下面关于的四个论述中，正确的个数是( ). (1) 是交换群；(2) 的2阶互异子群有三个；(3) 的3阶互异子群有两个；(4) 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。A) 2B) 4 C) 6 D) 815.指出下列那些运算是二元运算（ ）A) 在整数集上，； B) 在有理数集上，；C) 在正实数集上，；D) 在集合上，.16.设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）.A) 不适合交换律；B)适合结合律；C) 存在单位元；D)每个元都有逆元.17. 设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）.A) 的同态核是的不变子群； B) 的不变子群的逆象是的不变子群；C) 的子群的象是的子群； D) 的不变子群的象是的不变子群.18. 设是两个带有乘法的非空集合，且，则下列结论不正确的是( ).A) 是群时，也是一个群；B) 是群时，也是一个群；C) 是交换群时，也是交换群；D) 的单位元的象是的单位元.19. 设为实数集，位正实数集，如果到的映射，则是从到的（ ）.A）满射而非单射; B) 单射而非满射; C) 一一映射; D)既非单射也非满射.20. 设是实数集，定义乘法，那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）.A) 1和1； B) 1和； C) 0和； D) -1和.21. 设是群的正规子群，且关于的商群为五阶群. 如果子群的阶是6，那么群的阶（ ）.A) 6 B) 36 C) 30 D)25.22. 设集合含有个元素，那么的子集共有( )个.A) ! B) C) D) . 23. 下列法则，( )是集合的代数运算.A) = B) =C) = D) =.24. 设=, 中规定一个代数运算如下表，。c则关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为( ).A) ，与 B) ，与 C) ，与 D) ，与.25. (素数)阶有限群的子群个数为( ).A) 0 B) 1 C) 2 D) 26. 6元置换（23）（1356）的阶数为（ ）A) 2 B) 4 C) 5 D) 827. 是正有理数集合，下列规定不是的关系的是（ ）A) 是整数； B) 4 C) 5 D) 28. 设集合含有个元素，那么的代数运算共有( )个.A) ! B) C) D) 三、判断题（ ）1. 设是正整数集，规定，则是的元间的一个等价关系.（ ）2. 如果群中的每个元素都满足方程，则必是交换群. （ ）3. 一个非交换群至少要有6个元素（ ）4. 群的任意个子群的交仍是的一个子群. （ ）5. 四次交代群中存在6阶子群. （ ）6. 设是非空集合，则到的每个映射都叫作上的二元运算.（ ）7. 是到的单射，则有唯一的逆映射.（ ）8. 如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构.（ ）9. 如果群的子群是循环群，那么也是循环群.（ ）10. 群的子群是正规子群的充要条件为.（ ）11. 阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群 （ ）12. 集合的一个关系可以决定的一个分类 （ ）13. 有限群的任一元素的阶整除的阶 （ ）14. 整数集按照普通乘法可以构成一个群.（ ）15. 循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构 （ ）16. 有限群的任一子群的阶都能整除的阶（ ）17. 是一个群，是的正规子群，则与中元素相乘可交换 （ ）18. 在一个群中，消去律不一定成立. （ ）19. 任何一个循环置换的阶是.（ ）20. 集合的一个分类决定的元间的一个等价关系；反之，集合的元间的一个等价关系也决定的一个分类. （ ）21阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数. （ ）22群的子群在中的指数为2，则一定是的正规子群. （ ）23设为集合到的满射，则：若是的逆象,一定是的象;若是的象，也一定是的逆象. （ ）24是群的正规子群，是的正规子群，则是群的正规子群. （ ）25一个群同它的每一个商群同态. （ ）26一个群的子群的左陪集个数和右陪集个数不一定相同. （ ）27群的两个正规子群的交集还是正规子群. （ ）28循环群的子群也一定是循环群. （ ）29全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群. （ ）30. 设为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群. （ ）31. 一个循环群一定是一个交换群. （ ）32. 一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群. （ ）33. 有理数加群与非零有理数乘群同构.（ ）34. 无限循环群可与任何循环群同构.（ ）35. 设是集合到集合的任意一个映射,为的非空子集,则.（ ）36. 设是集合到集合的任意一个映射,为的非空子集,则.（ ）37. 设是集合到集合的任意一个映射,，为的两个非空子集,则.（ ）38. 为一个群,为有限阶元,则.（ ）39. 为交换群,且中所有元素有最大阶,则有.（ ）40. 为一个群, 为有限阶元,则为有限阶元.（ ）41. 在一个有限群里,阶大于2的元素个数必为偶数.（ ）42. 偶数阶群必有2阶元.（ ）43. 设是群的3个子群,则.（ ）44. 设是群的3个子群,则.（ ）45. 交换群中所有有限阶元作成一个子群.（ ）46. 群中所有有限阶元作成一个子群.（ ）47. 任何群都不能是两个真子群的并.（ ）48. 任何群都不能是三个真子群的并.（ ）49. 有限群的元素的阶都有限.（ ）50. 无限群至少有一个无限阶元.（ ）51. 集合的变换群含有的单射变换,则必为双射变换群.（ ）52. 集合的变换群可能既含有的双射变换,又含有的非双射变换.（ ）53. ,集合的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.（ ）54. 互不同构的阶群只有有限个.（ ）55. 不相连的置换相乘可交换.（ ）97. 置换的阶为.（ ）56. 当时,次对称群为无中心群.（ ）57.为一个群,为关于的一个左陪集代表系,则也是关于的一个右陪集代表系.（ ）58.设为一个群,有限，则（ ）59.设为一个有限群,则.（ ）60.为阶群,则必有阶子群.（ ）61.阶(为互异素数)交换群必为循环群.（ ）62.设为群到的同态满射,与有相同的阶.（ ）63.设与各有一个代数运算,且, 是群,则也是群.（ ）64.素数阶群是单群.（ ）65.设是群到群的一个同态映射,则.（ ）66.设是群到群的一个同态满射,则的含的子群与的子群之间存在一一对应关系.（ ）67.任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.（ ）68.存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.（ ）69.两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.（ ）70.设为群，它的两个子群的交和乘积还是子群.（ ）71.有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元.（ ）72.一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半.（ ）73.设是两个群，且，如果是有限群，则必是有限群，而且 整除.（ ）74. 整数加群和它的任意一个非零子群同构.（ ）75.在同构意义下,无限循环群只有一个.（ ）76.在同构意义下,阶循环群只有一个.环与域复习题一、填空题1. 模12的剩余类环Z的特征是_，它的全部单位为_.2. 设是有单位元的环,是中任一元素, 则由生成的主理想 =_.3. 模8的剩余类环上的二次多项式在内的所有根为_.4. 设是交换环，是的任意一个元素，则由所生成的主理想的元素表达形式为_.5. 设高斯整数环，其中1，则中的所有单位_.6. 设Z6是模6的剩余类环，则Z6中的所有零因子是_.7.若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当 是 .8. 设是一个无零因子的环，其特征是一个有限数，那么是_.9. 除环的理想共有_个.10一个无零因子的 称为整环.11. 设是整系数多项式环，是由多项式生成的主理想，则_ _.12. 设是一含有4个元的域，则的特征是 .13. 剩余类环Z6的子环S =, , 的单位元是_.14. 一个环的一个不等于的理想叫做一个 ，假如除了同自己外，没有包含的理想. 15. 一个交换除环叫做一个 .16. 实数域的全部理想是 .17. 一个环的非空子集做成一个子环的充分必要条件 . 18. 剩余类环Z的零因子个数等于_ _， Z的零因子个数等于_.19. 当是有单位元的交换环时,生成的主理想 .20整环的一个元叫做的一个 ，假如是一个有逆元的元.21一个整环叫做一个 ，假如的每一个理想都是一个主理想.22设为环，且，则叫做环的 ，叫做环的_.25. 一个无零因子环的非零元相同的（对于加法）阶，叫做环的 . .26. 设是一个含有个元的域，则的特征是 .27. 剩余类环的子环=,则的单位元是_.28. 是一个特征为的环，,则_.29. 是一个单环，则有 时，是一个域.30. 是环的理想，是单环的充分必要条件是 .31. 是有单位元的整环, ，则有子环与整数环同构； ，则有子环与模剩余类环同构。32. 是一个无零因子环，则的特征必为_.二、选择题 1. 下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）.A）整系数多项式全体关于多项式的加法与乘法;B）有理数域上的阶矩阵全体关于矩阵的加法与乘法;C）整数集关于数的加法和新给定的乘法“”：;D）整数集关于数的加法和新给定的乘法“”： .2. 设是环同态满射，那么下列结论错误的为（ ）.A) 若是零元，则是零元； B) 若是单位元，则是单位元；C) 若不是零因子，则不是零因子；D) 若是不交换的，则不交换.3. 整数环Z中，可逆元的个数是( ).A) 1个B) 2个C) 4个D) 无限个.4. 设是一个四元域, 则域的特征为( ).A) 1 B) 2 C) 4 D) 0.5.下面的四个群中,不是循环群的是( ).A) 模12的剩余类加群; B) 整数加群; C) U(Z); D) U(Z).6. 下面哪一个环必定是域( ). A) 整数环; B) Z; C) Z; D) 四元数除环.7. 模10的剩余类环上二阶全阵环中以下元素可逆的是（ ）A) ； B) ； C) ； D)8. 以下命题中，正确的是( ).A) 任意一个环，必含有单位元;B) 环中至多有一个单位元;C) 环有单位元，则它的子环也有单位元;D) 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同.9.下列理想不是偶数环的素理想的是（ ）A)4; B)6; C)0; D) .10.下列命题正确的个数为（ ）A)1; B)2; C)3; D) 4.整数环的非平凡素理想都是极大理想；整数环上的一元多项式环的非平凡素理想都是极大理想；数域上的一元多项式环的主理想是极大理想；是一个有单位元的交换环，是的理想，是域，则是的极大理想.三、判断题 （ ）1. 除环是单环. （ ）2. 有限除环必为域. （ ）3. 一般的环中以下运算规则成立：.（ ）4. 域和其子域有相同的单位元. （ ）5. 除环是无零因子环. （ ）6. 如果环的阶，那么的单位元. （ ）7. 若环满足左消去律，那么必定没有右零因子. （ ）8一个环的理想必是一个子环，子环未必是理想. （ ）9一个环没有零因子，则它的同态象也没有零因子 （ ）10一个环有单位元，则它的子环也有单位元 （ ）11如果环没有右零因子，则在环上左消去律成立 （ ）12是环的理想，是的理想，则必是环的理想 （ ）13是整数环，的理想等于由4生成的主理想4 （ ）14如果环没有左零因子，则在环上右消去律成立 （ ）15一个环的两个子环都有单位元，则它们的单位元必定一致 （ ）16域与域同构 （ ）17是偶数环，的理想等于由4生成的主理想4. （ ）18设是整数环，则是的一个主理想 （ ）19设是有理数环，则是的一个主理想 （ ）20除环的所有非零元集关于的乘法构成一个群 （ ）21. 设为整数环，为素数，则为域. （ ）22. 若无零因子环的特征是有限整数，则一定是素数. （ ）23. 除环或域里一定没有零因子. （ ）24. 一个除环一定是一个整环. （ ）25. 一个环中可能没有单位元，但若有单位元，则单位元必是唯一的.（ ）26. 若有单位元()的交换环除了零理想同单位理想以外没有其它的理想，那么一定是一个域 （ ）27. 是的极大理想.（ ）28. 是的极大理想.（ ）29.是有单位元的交换环,则中方阵在中可逆的充要条件是在中可逆.（ ）30.是有单位元的环,1是的单位元,则1对加法的阶数就是的特征.（ ）31. 设是一个环,对,方程在中有解,则为一个除环.（ ）32.设是有单位元的环,且,则是单环的充要条件是全阵环 是单环.（ ）33.为偶数环,是的极大理想,从而是一个域.（ ）34.为偶数环,的极大理想只有为素数.（ ）35.为偶数环,的素理想只有和.（ ）36.整数环的每个理想都是主理想.（ ）37.域上的多项式环的每个理想都是主理想.（ ）38.整数环上的多项式环的每个理想都是主理想.（ ）39.一个环与它的子环都有单位元，则它们的单位元一致.（ ）40.一个域和他的子域有相同的单位元.（ ）41.一个环的同态象没有零因子，则这个环没有零因子.（ ）42.有限环的特征必有限，无限环的特征必无限.（ ）43.是一个有单位元的交换环，当时，可逆.（ ）44. 整数环和它的任意一个非零子环同构.（ ）45. 剩余类环的子环=是有单位元的环.（ ）46.在中, 因为, 所以只有两个根.（ ）47.有单位元交换环的极大理想必为素理想.（ ）48. 域的所有非零元集合关于的乘法构成一个交换群（ ）49.环的中心必是环的理想.（ ）50一个域不一定是一个整环. （ ）51域的所有非零元集合关于的乘法构成一个交换群 （ ）52除环的所有非零元集关于的乘法构成一个群 （ ）53. 当时,次交代群是一个重传递群.（ ）54.循环群的同态象必为循环群，循环环的同态象必为循环环.（ ）55. 设是两个群，是到的同态满射，则与的子群之间可以建立保持包含关系的双射. 回答说明题（下列题均需给出肯定或否定的回答，并说明理由或给出反例）1.设、都是有理数集合，法则是否到的映射？2.是数域上全体阶方阵做成的集合，为上一个取定的可逆阶方阵，法则是否的双射变换？3.是数域上全体（1）阶方阵做成的集合，法则是否到的满射？4.是数域上全体阶方阵做成的集合，法则是否的满足结合律的代数运算？5.集合的变换的乘法是否满足交换律？6.设是两个代数系统且,当满足交换律时，是否也满足交换律？7.设是两个代数系统且,当满足交换律时，是否也满足交换律？8. 设是有理数集合，的关系是否的等价关系？9. 设是实数集合，的关系是否的等价关系？10.是集合到集合的映射，分别是、的非空子集合，是否一定成立？11.是集合到集合的映射，分别是、的非空子集合，是否一定成立？12.分别是集合到和集合到的映射，是满射，是否一定是满射？13.分别是集合到和集合到的映射，是单射，是否一定是单射？14.为一个有限半群且在两个消去律成立，是不是一个群？15.为一个群，它的每个元素都满足方程，是一个交换群吗？16.为一个有限群，它的每个元的阶是否都有限？17.为一个无限群，它是否必有无限阶元？18.为一个群，的中心是否一定是一个子群？19.为一个群，是的三个子集合，是否成立？20.为一个群，是的三个子集合，是否成立？21.均为有限阶元，是否为有限阶元？22.为一个偶数阶群，是否一定有一个2阶元？23.为一个群，它能否表成它的两个真子群的并？24.为一个群，是它的两个子群，是否的子群？25.为一个群，是它的两个正规子群，是否的正规子群？26.设是的正规子群，是否一定有成立？27.设的阶数为，为的因数，是否一定存在阶子群？28.为集合的变换群，如果含有的单射变换，它是否必为双射变换群？29.为集合的变换群，如果含有的满射变换，它是否必为双射变换群？30.循环群的子群是否循环群？31.循环群的商群是否循环群？32.循环群的同态象是否循环群？33.是群关于子群的左陪集代表系，它是否也是群关于子群的右陪集代表系？34.循环置换乘积的阶是否为各因子的阶的最小公倍数？35.指数为2的子群是否一定是正规子群？36.为一个群，是它的子群，是否一定有？37.设是两个素数且，阶群最多有一个阶子群吗？38.设是两个素数且，阶交换群一定是循环群吗？39.在群的同态映射下，一个元素与它的同态象的阶数是否一定相等？40.四阶群不是循环群，它一定与四元群同构吗？41.正规子群的正规子群还是原群的正规子群吗？42.阶为素数的群一定是单群吗？43.是两个有限群，,的阶数是否一定是的阶数的因数？44.一个环的左单位元一定是单位元吗？45.一个环没有单位元，它的子环是否也没有单位元？46.一个环的两个子环都有单位元，它们的单位元是否一定相等？47.环上的阶方阵的行列式不为零，是否一定可逆？49.有限无零因子环的特征一定是素数吗？50.一个有单位元的环的特征一定等于单位元关于加法的阶数吗？51.除环中有零因子吗？52.环有零因子，它的同态象一定有零因子吗？53.环没有零因子，它的同态象一定没有零因子吗？54.模47的剩余类环有没有零因子？55.域与域是否同构？56.整数环与偶数环是否同构？57.两个阶循环环是否一定同构？58.一个环的子环是否一定是它的理想？59.理想的理想是否一定是原环的理想？60.含有单位的理想一定是单位理想吗？61.整数环是主理想环吗？62.整数环上的一元多项式环是主理想环吗？63.数域上的一元多项式环是主理想环吗？64.由素数生成的理想是整数环的素理想吗？65.由素数生成的理想是整数环的极大理想吗？66.环是一个有单位元的可换环，如果还是单环，它一定是一个域吗？67.设是模6的剩余类环，且. 如果的次数记作， 是否成立？68.设Z是整数环，是Z的理想吗？69.环上的次多项式的根的个数不超过吗？70.高斯整环的单位只有吗？12
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