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参考答案一、填空题1. 非本质；本质 2. 自持振荡 3. 初始条件；输入信号大小 4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性 5. 不稳定 6. 稳定；不稳定；半稳定 7. 自左向右；自右向左二、分析与计算题1. 求的描述函数。解：由于是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中A0=0、A1=0、1=0，将代入B1的计算公式，可得所以2设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.1所示，已知b=1，a=0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。题图8.1解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为其描述函数负倒数特性为可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数，即曲线为一条虚部为的直线。由于，所以由以上可知，曲线与必有交点，而且交点为稳定的，因此会产生自持振荡。令，此时有将b=1，a=0.3代入可得=5.02rad/s，A=0.57。 所以，该系统存在自持振荡，振荡的幅值为0.57，角频率为=5.02rad/s。3.设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.2所示，已知b=3，a=1。试分析系统的稳定性，并求系统不产生自持振荡时a与b应满足什么关系。题图8.2解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为其描述函数的负倒数特性为对上式求导，并令导数等于0，可知当时，有极大值。将b=3，a=1代入，可得当时，有极大值，即在负实轴上的最大值为。由于，所以令G(j)的虚部为0，即ImG(j) = 0，可得rad/s。将代入到G(j)的实部，可得。所以G(j)曲线与负实轴的交点是(，j0)。 由于小于，所以G(j)曲线与曲线必有交点，如题3解图所示。令 ，可得，解之得A1=4.9896，A2=1.0207。由于A2=1.0207小于，所以系统在A2=1.0207处不稳定，而A1=4.9896大于，所以系统在A1=4.9896处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为4.9896，频率为1.414 rad/s。题3解图要想使系统不产生自持振荡，只需G(j)曲线与曲线没有交点即可，即满足可得当时，系统不会产生自持振荡。4. 具有理想继电器非线性特性的非线性系统如题图8.3所示，已知b=1。(1) 当 =0时，系统受到扰动后会出现什么样的运动形式？(2) 当0时，如果系统输出产生一个振幅为4、角频率为1rad/s的自持振荡，求系统参数K和的值。题图8.3解：(1)理想继电器非线性特性的描述函数为其负倒数特性为将b=1代入可得，即曲线为负实轴。当 =0时，线性部分的开环幅相频特性为令G(j)的虚部为0，即ImG(j) = =0，可得rad/s。将代入到G(j)的实部，可得。所以G(j)曲线与负实轴的交点是(，j0)，如题4解图所示。题4解图 所以G(j)曲线与曲线必有交点，并且交点坐标与A和K值有关，并且，当A增大时，曲线将从不稳定区进入稳定区域，所以交点为稳定点，会产生自持振荡。因此，系统受到扰动后会产生稳定的自持振荡。(2) 当0时，线性部分的开环幅相频特性为由于系统要产生振幅为4、角频率为1rad/s的自持振荡，即=1rad/s。所以，K=9.935。又因为所以=0.32。5. 判断如题图8.4所示的系统是否稳定，是否存在自持振荡。 (a) (b) (c) (d)题图8.4解：(a) G(j)曲线与曲线有交点B，但当A增大时，由G(j)左侧进入右侧，即从稳定区进入不稳定区，所以交点B不是稳定工作点，不会产生自持振荡。(b) G(j)曲线与曲线有交点B、C。对于B点，当A增大时，由G(j)左侧稳定区进入右侧不稳定区，所以交点B不是稳定工作点，不会产生自持振荡。对于交点C，当A增大时，由G(j)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点C是稳定工作点，会产生自持振荡。 (c) G(j)曲线与曲线有交点B、C。对于B点，当A增大时，由G(j)右侧稳定区进入左侧不稳定区，所以交点B不是稳定工作点，不会产生自持振荡。对于交点C，当A增大时，由G(j)右侧不稳定区进入左侧稳定区，所以交点C是稳定工作点，会产生自持振荡。 (d) G(j)曲线与曲线有交点B，但当A增大时，由G(j)的不稳定区进入稳定区，所以交点B是稳定工作点，会产生自持振荡。6. 将题图8.5所示的非线性系统化为串联形式，并求出等效的开环传递函数。题图8.5解：系统结构图的简化如题6解图所示。题6解图所以。7. 设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.6所示，已知a=1，b=3。试用描述函数法分析K值与系统产生自持振荡的关系，并求K=3时自持振荡的振幅和振荡频率。题图8.6解：具有死区继电器非线性特性的描述函数为其描述函数的负倒数特性为对上式求导，并令导数等于0，可知当时，有极大值。将b=3，a=1代入，可得当时，有极大值，即在负实轴上的最大值为。由于，所以令G(j)的虚部为0，即ImG(j) = ，可得rad/s。将代入到G(j)的实部，可得。所以G(j)曲线与负实轴的交点是(，j0)，如题7解图所示。题7解图 当G(j)曲线与曲线有交点时，即时系统产生自持振荡，从而可得时产生自持振荡，解之得，所以当时系统会产生自持振荡。当K=3时，所以解之得A1=3.6756，A2=1.0392。由于A2=1.0392小于，所以系统在A2=1.0392处不稳定，而A1=3.6756大于，所以系统在A1=3.6756处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为3.6756，频率为1.414 rad/s。所以，当K=3时系统的振荡振幅A=3.6756，振荡频率rad/s。8. 设非线性系统结构如题8.7所示，已知a1=a2=a3=1，k1=k2= k3=1，b=1。分析当T=0.5时系统是否存在自持振荡，如果存在，求出振荡时的振幅和频率，并讨论参数T的变化对系统自振的影响。题图8.7解：题中饱和非线性特性和死区非线性特性恰好组成一个K=1的比例环节，所以，在已知条件下，系统结构图可以简化，如题8解图1所示。题8解图1由此可得系统线性部分的开环幅相频特性为可见，G(j)曲线是一条抛物线。具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为其描述函数负倒数特性为将a3=b=1代入可得，描述函数负倒数特性的虚部为常数，即曲线为一条虚部为的直线。G(j)曲线与曲线如题8解图2所示，可见G(j)曲线与曲线相交，在交点处产生自持振荡。题8解图2令G(j)=，可得，解之得=3.183。将=3.183代入到G(j)可得，。所以=-0.493，可得A=1.181。将A折合到输出端，可得输出端的振幅为。由于，所以，。可见，T增大时，振荡频率增大，同时减小，相应的A减小，即输出端的振幅减小。9. 设非线性系统结构如题图8.8所示，其中a=1，b=1，。(1) 当时，分析系统是否存在自持振荡，如果存在，求出振荡时的振幅和频率。(2) 当时，试分析其对系统的影响。 题图8.8解: 原系统结构图可以简化为如题9解图1的形式。题9解图1(1) 当G3(s)=1时，将，代入，可得线性部分的传递函数为所以 具有死区继电器非线性特性的描述函数为其描述函数的负倒数特性为对上式求导，并令导数等于0，可知当时，有极大值。将a=1，b=1代入，可得当时，有极大值，即在负实轴上的最大值为。令G(j)的虚部为0，即ImG(j) = ，可得rad/s。将代入到G(j)的实部，可得。所以G(j)曲线与负实轴的交点是(-2，j0)。 由于-2小于，所以G(j)曲线与曲线必有交点。令G(j)=，可得，即，解之得A1=2.29，A2=1.11。由于A2=1.11小于，所以系统在A2=1.11处不稳定，而A1=2.29大于，所以系统在A1=2.29处稳定，产生自持振荡。即系统会产生自持振荡，振幅为2.29，频率为1 rad/s。(2) 当G3(s)=s时，线性部分的传递函数为所以显然，题9解图2可见，G(j)曲线与曲线没有交点，如题9解图2所示，所以系统不存在自持振荡，并且G(j)曲线不包围曲线，系统稳定。10. 二阶系统的运动方程为，试用等倾线法绘制系统的相轨迹。解：系统的微分方程可以化为令，则可以得到等倾线方程为所以。表明等倾线是过相平面原点的一簇直线。令，即等倾线的斜率用表示。解表8-1列出了取不同值时等倾线的斜率和等倾线与x轴的夹角。解表8-1 题10中不同取值所对应的等倾线的斜率和等倾线与x轴的夹角-3.75-2.19-1.58-1.18-0.82-0.420.191.750.360.841.735.67-5.67-1.73-0.84-0.36020406080100120140160180可得系统的等倾线如题10解图所示。 题10解图11. 求系统运动方程的全部平衡点及其相轨迹。解：先求平衡点，令，可得。所以系统的平衡点为。令所以原方程等效为在奇点xe，0的邻域内，可将相轨迹方程线性化为其特征方程的解为，所以奇点xe，0为中心点。在奇点xe，0的邻域内，可将相轨迹方程线性化为其特征方程的解为，所以奇点xe，0为鞍点。 所以，平衡点分布及其附近的相轨迹如题11解图所示。题11解图12. 试用相平面法分析二阶系统的稳定性。解：由于，所以。则系统的等倾线方程为。令，可以求得系统的两个奇点：(0,0)和(-4,0)。令，则有在奇点(0,0)的邻域内，可将相轨迹方程线性化为，其特征方程其特征方程的解为，所以奇点(0,0)为稳定焦点。在奇点(-4,0)的邻域内，可将相轨迹方程线性化为，其特征方程其特征方程的解为，所以奇点(-4,0)为鞍点。绘制系统的相平面图如题12解图所示。从图中可知，进入鞍点的两条相轨迹起了分割线的作用，它们相平面分成两个不同的区域，在其内部是稳定区域，初始条件在此区域内的相轨迹均收敛于原点；在其外部为不稳定区域，初始条件在此区域内的相轨迹会趋于无穷远。题12解图13. 设具有死区继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.9所示，假设系统开始时处于静止状态，求系统在阶跃输入信号时的相轨迹。题图8.9解：线性环节的微分方程为选取e和作为相变量，由于，所以当阶跃输入信号作用于系统时，由于，所以死区继电器非线性的特性可以表示为 将y(t)代入可得 直线e=a和e=-a将相平面分成()、(ea)、(ea)、(e-a)三个区域。在区，因为，所以令，则，即，相轨迹是斜率为的直线或者是的直线。由于，所以上的点都是奇点，都可以成为系统最终的平衡位置。在区，因为，所以令，相轨迹斜率为，令，可得解之得，即区奇点位置为(a，0)，由于该奇点位于区和区的分界线上，是个虚奇点。此时微分方程可以看成是关于奇点的线性方程，令x=e-a，可得由于T、K大于0，所以奇点(a，0)可以是稳定的焦点或稳定的节点。在区，因为，所以令，相轨迹斜率为，令，可得解之得，即区奇点位置为(-a，0)，由于该奇点位于区和区的分界线上，是个虚奇点。由于T、K大于0，所以奇点(-a，0)可以是稳定的焦点或稳定的节点。 假设区和区的奇点都为稳定的焦点，此时的相平面图如题14解图所示。 题14解图15. 已知某二阶非线性系统的一条相轨迹如题图8.11所示，图中原点(即C点)为平衡点，BC段的相轨迹方程为，AB段平行于x轴。试求相点从A点运动到原点所需的时间。题图8.11解：因为，所以
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