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第四章图形的认识4.2三角形及其全等,中考数学(福建专用),1.(2016厦门,3,3分)如图,点E,F在线段BC上,ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则DCE=()A.BB.AC.EMFD.AFB,五年中考,A组2014-2018年福建中考题组,答案AABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,DCE=B,故选A.,2.(2016莆田,6,4分)如图,OP是AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定POCPOD的选项是()A.PCOA,PDOBB.OC=ODC.OPC=OPDD.PC=PD,答案DA项,PCOA,PDOB得出PCO=PDO=90,根据AAS可判定POCPOD;B项,OC=OD,根据SAS可判定POCPOD;C项,OPC=OPD,根据ASA可判定POCPOD;D项,PC=PD,根据SSA不能判定POCPOD.,3.(2015龙岩,8,4分)如图,在边长为的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为()A.B.C.D.1,答案D由题意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan30=1,因为BP是ABC的平分线,所以点P到AB的距离等于点P到BC的距离,即为1,故选D.,4.(2014福州,6,4分)下列命题中,假命题是()A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于360,答案B根据三角形三条边之间的关系可知B是错误的,故选B.,5.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于.,答案6,解析D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线.BC=2DE,DE=3,BC=6.,6.(2014福州,15,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC.若AB=10,则EF的长是.,答案5,解析在RtABC中,ACB=90,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,DE=BC,DEBC,AD=5,AE=EC,AED=90.CF=BC,DE=FC.在RtADE和RtEFC中,AE=EC,AED=ECF=90,DE=FC,RtADERtEFC(SAS),EF=AD=5.,7.(2017福建,18,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:A=D.,证明BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在ABC和DEF中,ABCDEF,A=D.,8.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),解析如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点.证明如下:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90.BAC=90,AQP+ABQ=90.ABQ=PBD,BPD=AQP.BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.,9.(2016福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.求证:BAC=DAC.,证明在ABC与ADC中,ABCADC(SSS).BAC=DAC.,10.(2016宁德,19,8分)如图,D是AC上一点,AB=DA,DEAB,B=DAE.求证:BC=AE.,证明DEAB,BAC=ADE.在ABC和DAE中,ABCDAE.BC=AE.,11.(2016泉州,20,9分)如图,ABC、CDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点E在AB上.求证:CDACEB.,证明ABC、CDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,CE=CD,BC=AC,ACB-ACE=DCE-ACE,即ECB=DCA,在CDA与CEB中,CDACEB.,12.(2016南平,25,14分)在矩形ABCD中,ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点(其中EPPD).(1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将DPF绕点P逆时针旋转90后,角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.求证:PG=PF;求证:DG+DF=DP;(2)如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGPF,交射线DA于点G,你认为中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请直接写出它们所满足的数量关系式.,解析(1)证明:GPF=HPD=90,GPH=FPD,DE平分ADC,ADC=90,PDF=ADP=45,HPD为等腰直角三角形,DHP=PDF=45,在HPG和DPF中,HPGDPF,PG=PF.由知,HPD为等腰直角三角形,HPGDPF,HD=DP,HG=DF,HD=HG+DG=DF+DG,DG+DF=DP.(2)不成立,数量关系式应为DG-DF=DP.,评析本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用,灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移为其他两线段间关系是解题的关键.,13.(2016漳州,25,14分)现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.(1)如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是;(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形;(4)图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论(不必说明理由).,解析(1)OM=ON.(2)OM=ON仍然成立.如图,过O作OEBC于E,OFCD于F,OEM=OFN=90,O是正方形ABCD的中心,OE=OF,EOF=90,2+3=90,1+2=90,1=3,OEMOFN,OM=ON.(3)如图,过O作OEBC于E,OFCD于F,OEM=OFN=90,C=90,2+3=90,1+2=90,1=3,OM=ON,OEMOFN,OE=OF,点O在BCD的平分线上,若点O在BCD的平分线上,类似于(2)的证明可得OM=ON,点O在正方形内(含边界)移动过程中形成的图形是线段AC.(4)O在移动过程中所形成的图形为直线AC.,B组20142018年全国中考题组考点一三角形的相关概念,1.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()A.17.5B.12.5C.12D.10,答案DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数是()A.70B.44C.34D.24,答案C由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.,3.(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7,答案C由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形.设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且ac2,则三角形为锐角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形.32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C.,4.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC=()A.118B.119C.120D.121,答案C在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,5.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根,则三角形的周长为.,答案16,解析x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7,3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长,三角形的第三边长为7,三角形的周长为3+6+7=16.,6.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分ABC的周长,则DE的长是.,答案,解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH=AC,所以AF=AC=,DE=AF=.,思路分析延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从而求得DE的长.,解题技巧对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可2以考虑运用中位线性质来解答.,7.(2014江苏扬州,14,3分)如图,ABC的中位线DE=5cm,把ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A、F两点间的距离是8cm,则ABC的面积为cm2.,答案40,解析连接AF,因为DE是中位线,且DE=5cm,所以DEBC,且BC=2DE=10cm,因为A、F关于DE对称,所以AFDE,所以AFBC,所以ABC的面积为108=40cm2.,8.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证:BAE+CBF+ACD=360.证法1:,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3).,BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,解析BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180.证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD.APBD,CBF=PAB,ACD=EAP.BAE+PAB+EAP=360,BAE+CBF+ACD=360.,考点二三角形全等1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC,答案C根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是.,答案,解析ABOADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90,ACBD,正确.AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC,正确.ABCADC,CB=CD,正确.DA与DC不一定相等,不正确.,3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.,答案3,解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所以题图中有3对全等三角形.,4.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)ABCADE(ASA),(5分)BC=DE.(6分)(其他证法参照此标准给分),5.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD=DE,CBF=CDE,连接AF,AE.(1)求证:ABFEDA;(2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明(1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC,又CBF=CDE,ABF=ADE,在ABF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA,ABFEDA.(2)由(1)知EAD=AFB,GBF=AFB+BAF=EAD+BAF,易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90,FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90,BFBC.,6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若BAC=50,求EMF的大小;(3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.图1图2,解析(1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM=BD.又DEAB,同理,EM=BD,CM=EM.(4分)(2)由已知得,CBA=90-50=40.又由(1)知CM=BM=EM,CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100.(9分)(3)证明:DAECEM,CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形,MEF=DEF-DEM=30.证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE,FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF.=.又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF,ANEM.(14分)证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75,又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD,ACM=(180-30)=75.,由可知AC=AM,又N为CM的中点,ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,7.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图1图2,解析(1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE,ACEBCD,AE=BD.(2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE,NCBMCE.,8.(2014江苏南京,27,11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B是直角时,ABCDEF.(1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据,可以知道RtABCRtDEF.,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF.(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF.,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若,则ABCDEF.,解析(1)HL.(2分)(2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.ABC、DEF都是钝角,G、H分别在AB、DE的延长线上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCGEFH.CG=FH.又AC=DF,RtACGRtDFH.A=D.,在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABCDEF.(6分)图(3)如图,DEF就是所求作的三角形.,(9分)(4)本题答案不唯一,下列解法供参考.BA.(11分)图,C组教师专用题组考点一三角形的相关概念,1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是(),答案A三角形具有稳定性.故选A.,2.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是()A.6B.3C.2D.11,答案A设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.,3.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分BADC.SABC=BCAHD.AB=AD,答案A由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.,4.(2015广东广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()A.10B.14C.10或14D.8或10,答案B把2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得另外一个根是6;根据三角形三边之间的关系可知:当6是腰,2是底边时,周长是6+6+2=14;当2是腰,6是底边时,2+26,不能构成三角形,ABC的周长是14,故选B.,评析本题考查了一元二次方程的解法,三角形三边之间的关系,等腰三角形的性质等知识,属于容易题.,5.(2014江苏连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则()A.S1=S2B.S1=S2C.S1=S2D.S1=S2,答案C过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1=BCAM=85sin40,S2=EFDN=58sin40,所以S1=S2,故选C.,6.(2014河北,12,3分)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是(),答案D由选项A可得PB=AB,所以BC=AB+PC;由选项B可得PA=PC,所以BC=PB+PA;由选项C可得PC=AC,所以BC=PB+AC;由选项D可得PB=PA,所以BC=PA+PC.故选D.,7.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为m.,答案100,解析AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线,AB=MN,MN=200m,AB=100m.,8.(2015天津,18,3分)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.(1)如图,当BE=时,计算AE+AF的值等于;(2)当AE+AF取得最小值时,请在如图所示的网格中,用的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置是如何找到的(不要求证明).,答案(1);(2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求.,解析(1)由题图可知,AD=4,AB=3,则DB=5,因为BE=,BE=DF,所以DF=,所以F是RtABD斜边BD的中点,所以AF=BD=.因为AE=,所以AE+AF=.(2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求,思路提示在求两条线段长度之和的最小值时,常用方法是利用两点之间线段最短,题中E、F均为动点,不能直接应用两点之间线段最短这一结论,可考虑利用三角形全等把AE+AF转化为两个定点到一个动点的距离之和.先考虑一条边为AF的AFD.因为ADBC,所以FDA=DBC,设D点关于BC的对称点为H,则有HBC=DBC=FDA,因为AD=4,为了在BH上找一点P到B的距离也等于4,可取格点K,连接CK,设BH与CK相交于P,则有BP=4.在AFD与PEB中,所以AFDPEB,所以AF=PE,故AF+AE=PE+AE,要使PE+AE有最小值,则连接AP,AP与BC,的交点就是要求的点E.与找E点类似,要找到符合条件的点F,考虑一条边为AE的ABE,想法构造一个与ABE全等的三角形,取格点M,连接DM,易知DMDF,为了在DM上找一点G,使DG=AB=3,取格点N,连接CN,设DM与CN相交于G,则DG=AB=3,在ABE与GDF中,所以ABEGDF,所以GF=AE,故AE+AF=GF+AF,要使GF+AF最小,只要连接AG,AG与BD交于F,则F就是所求使得AE+AF最小的点F.,9.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析(1)如图.(2分)E点,DE即为所求.(3分)(2)DE是ABC的中位线,且DE=4,BC=2DE=24=8.(6分),评析本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.,考点二三角形全等,1.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上,答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,2.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF.求证:ABEBCF.,证明在正方形ABCD中,AB=BC,ABC=C=90.(2分)又BE=CF,(3分)ABEBCF.(5分),3.(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.,证明BE=CF,BF=CE.在ABF和DCE中,ABFDCE.AFB=DEC,GF=GE.,4.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.(2分)AB=CD,ABHDCG,AH=DG,AG=DH.(5分),思路分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,归纳总结全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理.当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.,解析(1)证明:CA=CB,BN=AM,CB-BN=CA-AM,即CN=CM,BC=AC,MCB=ACN,CM=CN,BCMACN.BCMACN,MBC=NAC,EA=ED,EAD=EDA,AGBC,GAC=ACB=90,ADB=DBC,ADB=NAC,ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90,BDE=90.(2)或180-.(3)4或.详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-;,如图2,E与N在点A同侧,可得BDE=.图1图2(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:如图3,当CN=MC=BC=2时,由ADBC可得ADMCBM,=,=,AD=.由EA=ED得AN=DF,又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知,BDE=120BDF=60,从而可得BCMBDF,=,=,BF=,CF=BF-BC=.图3图4如图4,当CN=BC=时,与同法可求得CF=4.,思路分析(1)由“边角边”可证三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等边对等角可得EAD=EDA.由BCMACN,可得CBM=CAN,由两直线平行,内错角相等,可得ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90,BDE=90.(2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解.(3)N为BC的三等分点,分类讨论BN=BC和BN=BC两种情况.,易错警示本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点,都需要分类讨论.,6.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.,解析CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB.证明:CE=BF,CF=BE.在CDF和BAE中,CDFBAE,CD=BA,C=B,CDBA.,思路分析先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系.,易错警示CD与AB之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到CD与AB之间的一种关系.,7.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明CEDF,ACE=D.(3分)在ACE和FDB中,EC=BD,ACE=D,AC=FD,(5分)ACEFDB.(6分)AE=FB.(7分),8.(2016湖北武汉,18,8分)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证ABDE.,证明BE=CF,BC=EF.(2分)在ABC和DEF中,(5分)ABCDEF(SSS).(6分)B=DEF,ABDE.(8分),9.(2015陕西,19,7分)如图,在ABC中,AB=AC.作ADAB交BC的延长线于点D,作AEBD、CEAC,且AE、CE相交于点E.求证:AD=CE.,证明AEBD,EAC=ACB.AB=AC,B=ACB.EAC=B.(4分)又BAD=ACE=90,ABDCAE.(6分)AD=CE.(7分),10.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD平分BAC;(2)若BC=6,BAC=50,求、的长度之和(结果保留).,解析(1)证明:由题意可知BD=CD,在ABD和ACD中,ABDACD(SSS).BAD=CAD,即AD平分BAC.(2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65.BD=CD=BC,BDC为等边三角形.DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6.的长度=的长度=.、的长度之和为+=.,A组20162018年模拟基础题组(时间:60分钟分值:100分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2018漳州质检,6)如图,OP平分AOB,PCOA于C,点D是OB上的动点,若PC=6cm,则PD的长可以是()A.3cmB.4cmC.5cmD.7cm,三年模拟,答案DOP平分AOB,PCOA于C,点P到OB的距离=PC=6cm,PD6cm.,2.(2017宁德质检,3)在ABC中,AB=5,AC=8,则BC的长不可能是()A.4B.8C.10D.13,答案D根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得,8-5BC8+5,即3BC13,故选D.,A.ACDB.CADC.DCED.BDC,3.(2017厦门质检,4)如图,D,E分别是ABC的边BA,BC延长线上的点,连接DC.若B=25,ACB=50,则下列角中度数为75的是(),答案B利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得,CAD=ACB+B=75.,4.(2016漳州质检,5)已知命题:“三角形外心一定不在三角形内部”,下列选项中,可以作为该命题是假命题的反例是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形,答案C三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,同时也是外接圆的圆心.锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心在斜边中点,钝角三角形的外心在三角形的外部.,5.(2017厦门质检,6)下列各图中,OP是MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(),答案D将文字语言转化为图形语言可得答案.,6.(2016福州质检,9)如图,ABC中,A=50,O是BC的中点,以O为圆心,OB长为半径画弧,分别交AB,AC于点D,E.连接OD,OE,测量DOE的度数是()A.50B.60C.70D.80,答案D由题意得OC=OB=OE=OD,CEO=C,BDO=B,A=50,B+C=130,CEO+C+BDO+B=260,COE+BOD=180-(CEO+C)+180-(BDO+B)=100,DOE=180-(COE+BOD)=80.,二、填空题(共3分),7.(2017晋江质检,14)如图,ACD是ABC的外角,若ACD-B=80,则A=.,答案80,解析利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得,A+B=ACD,A=ACD-B=80.,三、解答题(共79分),8.(2018福州质检,18)点B,F,C,E在一条直线上,ABDE,ACDF,且AC=DF.求证:AB=DE.,证明ABDE,ACDF,B=E,ACB=DFE.在ABC和DEF中,ABCDEF(AAS),AB=DE.,9.(2018龙岩质检,19)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,B,C均为格点.(1)仅用不带刻度的直尺作BDAC,垂足为D,并简要说明理由;(2)求ABC的周长.,解析(1)取线段AC的中点D,则有DC=AD,连接BD,则BDAC.理由:由题图可知BC=5,AB=5,BC=AB.又CD=AD,BDAC.(2)由题图易得AB=5,AC=2,BC=5,ABC的周长=5+5+2=10+2.,10.(2018莆田质检,20)如图,在ABC中,AB=BC,ABC=90.分别以AB、AC为边在AB同侧作等边ABD和等边ACE,连接DE.(1)判断ADE的形状,并加以证明;(2)过图中两点画一条直线,使其垂直平分图中的某条线段,并说明理由.,解析(1)ADE是等腰直角三角形.证明如下:在等边ABD和等边ACE中,BA=DA,CA=EA,BAD=CAE=60,BAD-CAD=CAE-CAD.即BAC=EAD.ABCADE.AB=AD,BC=DE,ABC=ADE,AB=BC,ABC=90,AD=DE,ADE=90,即ADE是等腰直角三角形.(2)连接CD,则直线CD垂直平分线段AE.理由:由(1)得DA=DE.又CA=CE,直线CD垂直平分线段AE.(答案不唯一),11.(2017莆田质检,19)如图,在四边形ABCD中,ADBC,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,ADE=CBF.不添加字母及辅助线,写出图中两对全等三角形,并选一对进行证明.,解析如AEDCFB,ABFCDE.(答案不唯一)选AEDCFB进行证明.证明如下:ADBC,EAD=FCB,又ADE=CBF,且AE=CF,AEDCFB.,12.(2017厦门质检,18)如图,已知ABC和FED,B,D,C,E在一条直线上,B=E,AB=FE,BD=EC.证明ACDF.,证明BD=EC,BC=ED.又B=E,AB=FE,ABCFED.ACB=FDE.ACDF.,13.(2017漳州质检,19)如图,在88的正方形网格中,ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的格点上.请你在图中找出一点D(仅一个点即可),连接DE,DF,使DEF与ABC全等,并给予证明.,解析如图1或图2的点D,证明:在DEF中,DE=,DF=,EF=2,在ABC中,AB=,AC=,BC=2,DE=AB,DF=AC,EF=BC.DEFABC(SSS).如图3或图4的点D,证明:在DEF中,DF=,DE=,EF=2,在ABC中,AB=,AC=,BC=2,DF=AB,DE=AC,EF=BC.DFEABC(SSS).,图1,图2,图3,图4,14.(2016福州质检,21)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别为D,E.求证:ACDCBE.,证明BECE,ADCE,ADC=CEB=90,1+2=90.又ACB=90,1+3=90,2=3.在ACD和CBE中,ACDCBE(AAS).,15.(2016漳州质检,19)数学课上,老师要求学生证明命题:“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”.以下是小华解答的部分内容(缺少图形和证明过程),请你把缺少内容补充完整.已知:点P在AOB的平分线OC上,PDOA于D,PEOB于E.求证:PD=PE.证明:,解析画图如图.证明:OC平分AOB,1=2.PDOA,PEOB,3=4=90.OP=OP,ODPOEP.PD=PE.,16.(2016泉州质检,21)如图,ADBC,BAD=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与射线AD相交于点E,连接BE,过C点作CFBE,垂足为F.证明:AB=FC.,证明BE、BC为B的半径,BE=BC.ADBC,AEB=EBC.CFBE,BAD=90,BFC=BAE=90,ABEFCB,AB=FC.,B组20162018年模拟提升题组(时间:15分钟分值:20分)一、选择题(共3分),1.(2017南平质检,4)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,ABOC,CD与OA交于点E,已知A=30,则DEO的度数为()A.45B.60C.70D.75,答案DABOC,A=30,AOC=A=30,又C=45,DEO=AOC+C=75.,二、填空题(共3分),2.(2018厦门质检,16)在ABC中,AB=AC,将ABC沿B的平分线折叠,使点A落在BC边上的点D处,设折痕交AC边于点E,继续沿直线DE折叠,若折叠后,BE与线段DC相交,且交点不与点C重合,则BAC的度数应满足的条件是.,答案100BAC180,解析如图,若交点恰与点C重合,则ABC=ACB=2ABE,AEB=BED=DEC=1803=60.设EBD=x,则ABC=ACB=2x,EDC=(x+60),EDC+DEC+ACB=180,(x+60)+60+2x=180,解得x=20,ABC=ACB=40,BAC=180-ABC-ACB=100.当BAC100时,折叠后,BE与线段DC不相交,故100BAC180.,三、解答题(共14分),3.(2017三明质检,24)如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,点D在BC延长线上,连接AD,过B作BEAD,垂足为E,交AC于点F,连接CE.(1)求证:BCFACD;(2)猜想BEC的度数,并说明理由;(3)探究线段AE,BE,CE之间满足的等量关系,并说明理由.,解析(1)证明:BEAD,ACB=90,CBF=CAD=90-D.AC=BC,BCF=ACD=90,BCFACD.(2)BEC=45.理由如下:解法一:在BF上截取BG=AE,连接CG,由(1)知CBF=CAD,又AC=BC,BCGACE.CG=CE,BCG=ACE.BCG+ACG=90,ACE+ACG=90,即ECG=90.BEC=45.解法二:由(1)知AEB=ACB=90,CBF=CAD,AEFBCF.=,即=.,AFB=EFC,EFCAFB.BEC=BAC.AC=BC,ACB=90,BAC=45,即BEC=45.(3)BE-AE=CE.理由如下:解法一:在BF上截取BG=AE,连接CG,由(1)知CBF=CAD,又AC=BC,BCGACE.CG=CE,BCG=ACE.BCG+ACG=90,ACE+ACG=90,即ECG=90.GE=CE.BE-BG=GE,BE-AE=CE.,解法二:延长AD到H,使得AH=BE,连接CH,由(1)知,CBF=CAD,又AC=BC,BCEACH.CE=CH,CEB=CHA.BEC=45,CHA=CEB=45.CEH=45,ECH=90.EH=CE.AH-AE=EH,BE-AE=CE.,
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