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第四章图形的认识4.2三角形及其全等,中考数学(广东专用),考点一三角形的相关概念,A组2014-2018年广东中考题组,五年中考,1.(2016广州,7,3分)如图,已知ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=()A.3B.4C.4.8D.5,答案DAB=10,AC=8,BC=6,AB2=AC2+BC2,ACB=90.DE是AC的垂直平分线,AED=90,点E是AC的中点,AD=DC,EDBC,ED是ABC的中位线,D为AB的中点,AD=AB=5,CD=AD=5.,2.(2014茂名,7,3分)如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在()A.ABC三边垂直平分线的交点B.ABC三条角平分线的交点C.ABC三条高所在直线的交点D.ABC三条中线的交点,答案AABC三边垂直平分线的交点到ABC三个顶点的距离相等,故选A.,3.(2015广州,16,3分)如图,四边形ABCD中,A=90,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.,答案3,解析连接DN,因为点E,F分别为DM,MN的中点,所以EF是DMN的中位线,所以EF=DN.当点B、N重合时,DN有最大值=6,所以EF长度的最大值为3.,4.(2014广东,13,4分)如图,在ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若BC=6,则DE=.,答案3,解析D、E分别是AB、AC的中点,DE是ABC的中位线,DE=BC=3.,5.(2014广州,11,3分)ABC中,已知A=60,B=80,则C的的度数是.,答案140,解析C=180-A-B=180-60-80=40,C的外角的度数是180-40=140.,6.(2015广东,16,4分)如图,ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,若SABC=12,则图中阴影部分的面积是.,答案4,解析显然点G为ABC的重心.由三角形重心性质,可得AG=2GD,则SBGF=SCGE=SABG=SABD=SABC=12=2,阴影部分的面积为4.,7.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析(1)如图.(2分)E点,DE即为所求.(3分)(2)DE是ABC的中位线,且DE=4,BC=2DE=24=8.(6分),思路分析用尺规作出线段AC的中垂线,得AC的中点,再利用三角形中位线的性质求BC.,解题关键求作AC的中点.,8.(2014广东,19,6分)如图,点D在ABC的AB边上,且ACD=A.(1)作BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).,解析(1)作图正确(实线、虚线均可).结论:DE即为所求.(3分)(2)DEAC.(6分),考点二全等三角形的判定与性质,1.(2014深圳,8,3分)如图,ABC和DEF中,AB=DE,B=DEF,添加下列哪一个条件无法证明ABCDEF?()A.ACDFB.A=DC.AC=DFD.ACB=F,答案CACDF,ACB=F,又AB=DE,B=DEF,ABCDEF(AAS),故添加A、D中的条件可以证明ABCDEF;A=D,AB=DE,B=DEF,ABCDEF(ASA),故添加B中的条件可以证明ABCDEF.故选C.,2.(2014广州,15,3分)已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题:,该逆命题是命题(填“真”或“假”).,答案如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;假,解析一个命题的逆命题,就是将原命题的条件与结论互换,因为面积相等的两个三角形不一定全等,所以其逆命题为假命题.,3.(2018广东,22,7分)如图,矩形ABCD中,ABAD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:ADECED;(2)求证:DEF是等腰三角形.,证明(1)ACE是由ACB折叠得到的,AD=BC=EC,AE=AB=DC,DE=ED,ADECED.(2)由ADECED得AED=CDE,即FED=FDE,FE=FD,DEF是等腰三角形.,思路分析(1)由矩形的对边相等知AD=BC,AB=DC,由折叠可得BC=EC,AB=AE,等量代换可得AD=CE,AE=CD,还有DE=ED,由“SSS”可证ADECED.(2)由ADECED可得AED=CDE,故由等角对等边,可证FE=FD,即得DEF是等腰三角形.,4.(2018广州,18,9分)如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:A=C.,证明在AED和CEB中,AEDCEB(SAS),A=C.,方法总结要证角相等,可先证两三角形全等,由全等三角形的性质可得两对应角相等,而证明三角形全等应根据边边边,边角边,角边角,角角边,斜边直角边(仅适用于直角三角形),找全条件进行证明.,5.(2017广州,18,9分)如图,点E,F在AB上,AD=BC,A=B,AE=BF.求证:ADFBCE.,证明AE=BF,AE+EF=BF+EF,AF=BE.在ADF和BCE中,ADFBCE(SAS).,6.(2016广州,21,12分)如图,利用尺规,在ABC的边AC上方作CAE=ACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并证明:CDAB.(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法),解析如图为所求作的图形.证法一:CAE=ACB,ADBC,又AD=BC,四边形ABCD是平行四边形,CDAB.证法二:ACB=CAE,CB=AD,AC=CA,ABCCDA,BAC=DCA,CDAB.,7.(2015梅州,20,9分)如图,已知ABC.按如下步骤作图:以A为圆心,AB长为半径画弧;以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:ABCADC;(2)若BAC=30,BCA=45,AC=4,求BE的长.,解析(1)证明:根据作法知,AB=AD,CB=CD.(1分)又AC=AC,(2分)ABCADC.(3分)(2)由(1)可得,AB=AD,BAC=CAD,AEBD,即ACBE.(5分)RtABE中,BAE=30,AE=BE,(6分)RtBEC中,BCE=45,EC=BE.(7分)又AE+EC=AC=4,BE+BE=4,(8分)BE=2-2.BE的长为2-2.(9分),考点一三角形的相关概念,B组2014-2018年全国中考题组,1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是(),答案A三角形具有稳定性.故选A.,2.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()A.50B.70C.75D.80,答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,3.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A.6B.5C.4D.3,答案D在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE=BC,BC=6,DE=BC=3.故选D.,4.(2015辽宁沈阳,4,3分)如图,在ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC上一点,且DEBC,B=40,AED=60,则A的度数是()A.100B.90C.80D.70,答案CDEBC,AED=C.又AED=60,C=60.在ABC中,A+B+C=180,B=40,C=60,A=180-B-C=180-40-60=80.故选C.,5.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为.,答案64,解析BD平分ABC,CE平分ACB,1=ABC,2=ACB,又ABC+ACB=180-A,21+22=180-A=128,1+2=64.,考点二全等三角形的判定与性质,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC,答案C根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2016北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知:直线l和l外一点P.求作:直线l的垂线,使它经过点P.作法:如图,(1)在直线l上任取两点A,B;(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;(3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的垂线.,请回答:该作图的依据是.,答案三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合;两点确定一条直线,解析连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB,PABQAB(三边分别相等的两个三角形全等),PAB=QAB(全等三角形的对应角相等).由两点确定一条直线作直线PQ.PA=QA,ABPQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).,3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.,答案3,解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所以题图中有3对全等三角形.,4.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.(2分)AB=CD,ABHDCG,AH=DG,AG=DH.(5分),思路分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,归纳总结全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理.当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.,5.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析(1)证明:ABDE,A=D,AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF,又AB=DE,ABCDEF.(2)(过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).,6.(2017湖北黄冈,16,6分)已知:如图,BAC=DAM,AB=AN,AD=AM.求证:B=ANM.,证明BAC=DAM,BAC-DAC=DAM-DAC,即BAD=NAM.(2分)在ABD和ANM中,ABDANM(SAS).(5分)B=ANM.(6分),7.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,证明BE=CF,BE+EF=CF+EF.BF=CE.(2分)又B=C,AB=DC,ABFDCE.(4分)A=D.(5分),8.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:ABCDEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析(1)证明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF.(3分)又AB=DE,AC=DF,ABCDEF.(5分)(2)ABDE,ACDF.(7分)理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF.(9分),9.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明CEDF,ACE=D.(3分)在ACE和FDB中,EC=BD,ACE=D,AC=FD,(5分)ACEFDB.(6分)AE=FB.(7分),10.(2014山东青岛,15,4分)已知:线段a,.求作:ABC,使AB=AC=a,B=.,解析此图即为所求作三角形.,11.(2017济南,23,7分)(1)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于点F.求证:AB=DF.,证明四边形ABCD是矩形,B=90,ADBC.DAF=BEA.DFAE,AFD=90.B=AFD=90.又AD=AE,ADFEAB.AB=DF.,考点一三角形的相关概念,C组教师专用题组,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A.2B.3C.D.,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD=,故选D.,思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上,答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,3.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分BADC.SABC=BCAHD.AB=AD,答案A由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.,4.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为()A.50B.60C.70D.80,答案D,如图,作点A关于BC所在直线的对称点M,及关于CD所在直线的对称点N,连接MN,分别交BC、DC于点E、F,此时AEF的周长最小.易知M=BAE,N=DAF.在四边形ABCD中,BAD=360-90-90-50=130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50,所以BAE+DAF=50.所以EAF=130-50=80.故选D.,5.(2015河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直线lAB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:线段MN的长;PAB的周长;PMN的面积;直线MN,AB之间的距离;APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是(),A.B.C.D.,答案B点M,N分别为PA,PB的中点,无论点P怎样移动,总有MN=AB,直线l与直线MN的距离及直线MN,AB之间的距离不变,所以中的值不变.随着点P的移动,点P与点A,B的距离及APB的大小发生变化,故选B.,6.(2017吉林长春,5,3分)如图,在ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DEBC,若A=62,AED=54,则B的大小为()A.54B.62C.64D.74,答案CDEBC,C=AED=54,A=62,B=180-A-C=64.故选C.,7.(2016陕西,6,3分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=8,BC=6.若DE是ABC的中位线,延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A.7B.8C.9D.10,答案BDE是ABC的中位线,DEBC,DE=BC=3,EFC=FCM.AB=8,BC=6,ABC=90,AC=10,E是AC的中点,EC=AC=5.CF平分ACM,ACF=FCM,ACF=EFC,EF=EC=5,DF=DE+EF=8.故选B.,8.(2014江苏镇江,5,2分)如图,CD是ABC的中线,点E、F分别是AC、DC的中点,EF=1,则BD=.,答案2,解析点E、F分别是AC、DC的中点,EF是ACD的中位线,AD=2EF=2,又CD是ABC的中线,BD=AD=2.,9.(2014江苏扬州,14,3分)如图,ABC的中位线DE=5cm,把ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A、F两点间的距离是8cm,则ABC的面积为cm2.,答案40,解析连接AF,因为DE是中位线,且DE=5cm,所以DEBC,且BC=2DE=10cm,因为A、F关于DE对称,所以AFDE,所以AFBC,所以ABC的面积为108=40cm2.,10.(2014湖南郴州,14,3分)如图,在ABC中,若E是AB的中点,F是AC的中点,B=50,则AEF=.,答案50,解析因为E、F分别为AB、AC的中点,所以EFBC,所以AEF=B=50.,11.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线;(2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,解析画法如图.(1)AF即为所求.(2)BF即为所求.,思路分析(1)(见答案第一个图)连接EC,通过判断四边形BEDC是平行四边形得出EC和BD的交点F为线段BD的中点,进而画出所求;(2)(见答案第二个图)连接EC,ED,连接点A与EC和BD的交点,利用三角形重心的性质及等腰三角形三线合一的知识画出ABD的AD边上的高.,解题关键本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三线合一等知识解决问题.,12.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),解析如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点.证明如下:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90.BAC=90,AQP+ABQ=90.ABQ=PBD,BPD=AQP.BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.,考点二全等三角形的判定与性质,1.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)ABCADE(ASA),(5分)BC=DE.(6分)(其他证法参照此标准给分),2.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=.(1)求证:APMBPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析(1)证明:P为AB中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APMBPN.(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50,40BPN90,即4090.,思路分析(1)根据ASA可证明:APMBPN;(2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,方法归纳证明三角形全等的一般思路:,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,3.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:PCEEDQ;(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形.OCE=ODE.又OAP,OBQ都是等腰直角三角形,PCO=QDO=90.PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ.又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,PCEEDQ.(5分)(2)证明:如图,连接OR.,PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30.ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60.ABR为等边三角形.(9分),如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.又AOED,CED=ACE.PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90,即PEQ为等腰直角三角形.由于ARBPEQ,所以ARB=90.于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD=ARB=45,MON=135.此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2PQ=PQ,则=.(14分),4.(2016河南,22,10分)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示).图1(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;直接写出线段BE长的最大值.,图2(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,BPM=90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.,解析(1)CB延长线上;a+b.(2分)(2)DC=BE.理由如下:ABD和ACE为等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60.BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB.(5分)CADEAB.DC=BE.(6分)BE长的最大值是4.(8分)(3)AM的最大值为3+2,点P的坐标为(2-,).(10分)【提示】如图a,构造BNPMAP,则NB=AM.由(1)知,当点N在BA的延长线上时,NB有最大值(如图b).易得AN=2,AM=NB=3+2.过点P作PEx轴于E,PE=AE=,P(2-,).,5.(2015福建福州,19,8分)如图,1=2,3=4,求证:AC=AD.,证明3=4,ABC=ABD.在ABC和ABD中,ABCABD(ASA).AC=AD.,6.(2014北京,13,5分)如图,点B在线段AD上,BCDE,AB=ED,BC=DB.求证:A=E.,证明BCDE,ABC=D.在ABC和EDB中,ABCEDB.A=E.,7.(2014陕西,18,6分)如图,在RtABC中,ABC=90.点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EFAC,分别交AC于点E、CB的延长线于点F.求证:AB=BF.,证明EFAC,F+C=90.A+C=90,F=A.(3分)又FBD=ABC,DB=BC,FBDABC.AB=BF.(6分),8.(2014江苏南京,27,11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B是直角时,ABCDEF.(1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据,可以知道RtABCRtDEF.,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF.(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF.,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若,则ABCDEF.,解析(1)HL.(2分)(2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.ABC、DEF都是钝角,G、H分别在AB、DE的延长线上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCGEFH.CG=FH.又AC=DF,RtACGRtDFH.A=D.在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABCDEF.(6分),图(3)如图,DEF就是所求作的三角形.,图(9分)(4)本题答案不唯一,下列解法供参考.BA.(11分),9.(2017山东济南,27,9分)某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题:如图1,在ABC和ADE中,ACB=AED=90,CAB=EAD=60,点E,A,C在同一条直线上,连接BD,点F是BD的中点,连接EF,CF,试判断CEF的形状并说明理由.问题探究:(1)小婷同学提出解题思路:先探究CEF的两条边是否相等,如EF=CF,以下是她的证明过程.,请根据以上证明过程,解答下列两个问题:在图1中作出证明中所描述的辅助线;在证明的括号中填写理由(请在SAS,ASA,AAS,SSS中选择).(2)在(1)的探究结论的基础上,请你帮助小婷求出CEF的度数,并判断CEF的形状.问题拓展:(3)如图2,当ADE绕点A逆时针旋转某个角度时,连接CE,延长DE交BC的延长线于点P,其他条件不变,判断CEF的形状并给出证明.,解析(1)证明中所叙述的辅助线如图所示:,证明的括号中的理由是:AAS.(2)CEF是等边三角形.证明如下:设AE=a,AC=b,则AD=2a,AB=2b,DE=a,BC=b,CE=a+b.BGFDEF,BG=DE=a.CG=BC+BG=(a+b).,=,=,=.又ACB=ECG,ACEECG.CEF=CAB=60.又CF=EF,CEF是等边三角形.(3)CEF是等边三角形.证法一:如图2,过点B作BNDE,交EF的延长线于点N,连接CN,则DEF=FNB.又DF=BF,DFE=BFN,DEFBNF.BN=DE,EF=FN.设AC=a,AE=b,则BC=a,DE=b.AEP=ACP=90,P+EAC=180.DPBN,P+CBN=180.CBN=EAC.在AEC和BNC中,=,CBN=EAC,AECBNC.ECA=NCB.ECN=90.,又EF=FN,CF=EN=EF.又CEF=60,CEF是等边三角形.证法二:如图3,取AB的中点M,连接CM,FM,则CM=AB=AC.又CAM=60,ACM是等边三角形.ACM=AMC=60.,AM=BM,DF=BF,MF是ABD的中位线.MF=AD=AE且MFAD.DAB+AMF=180.DAB+AMF+AMC=180+60=240.即DAB+CMF=240.又CAE+DAB=360-DAE-BAC=360-60-60=240,DAB+CMF=CAE+DAB,CMF=CAE.又CM=AC,MF=AE,CAECMF.CE=CF,ECA=FCM.又ACM=ACF+FCM=60,ACF+ECA=60,即ECF=60.又CE=CF,CEF是等边三角形.,10.(2014江苏苏州,23,6分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF.(1)求证:BCDFCE;(2)若EFCD,求BDC的度数.,解析(1)证明:CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在BCD和FCE中,BCDFCE.(2)由BCDFCE得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90.BDC=90.,11.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD平分BAC;(2)若BC=6,BAC=50,求、的长度之和(结果保留).,解析(1)证明:由题意可知BD=CD,在ABD和ACD中,ABDACD(SSS).BAD=CAD,即AD平分BAC.(2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65.BD=CD=BC,BDC为等边三角形.DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6.的长度=的长度=.,、的长度之和为+=.,考点一三角形的相关概念,三年模拟,A组20162018年模拟基础题组,1.(2018东莞五校一模,7)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.2,3,5B.7,4,2C.3,4,8D.3,3,4,答案DA.2+3=5,2,3,5不能组成三角形,故A错误;B.4+24,3,3,4能组成三角形,故D正确.故选D.,2.(2017茂名模拟,9)如图,在ABC中,CD是ACB的平分线,A=80,ACB=60,那么BDC=()A.80B.90C.100D.110,答案DACB=60,CD平分ACB,ACD=30.BDC=A+ACD,A=80,BDC=110.故选D.,3.(2017深圳南山外国语学校模拟,6)如图,直线ABCD,A=40,D=45,则1的度数是()A.80B.85C.90D.95,答案BABCD,C=A=40,1=C+D,D=45,1=40+45=85,故选B.,4.(2016清远二模,5)已知ABC中,AB=6,BC=4,那么边AC的长可能是()A.11B.5C.2D.1,答案B由三角形的三边关系得2AC10,故选B.,5.(2016台山二模,7)如图,在ABC中,ABC,ACB的平分线BE,CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC等于()A.118B.119C.120D.121,答案CA=60,ABC=42,ACB=78,BE平分ABC,CBF=21,CD平分ACB,BCD=39,BFC=180-21-39=120,故选C.,6.(2017东莞二模,14)如图,在ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若ABC的周长为10cm,则DEF的周长是cm.,答案5,解析D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,DE=AC,DF=BC,EF=AB,DE+DF+EF=(AC+BC+AB),即DEF的周长为ABC周长的一半,DEF的周长为5cm.,7.(2018湛江三校联考,20)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.(1)求作ABC的平分线(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)若ABC的平分线分别交AD,AC于P,Q两点,证明:AP=AQ.,解析(1)如图,BQ就是所求作的ABC的平分线.,(2)证明:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90.BAC=90,AQP+ABQ=90.ABQ=PBD,BPD=AQP.,BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.,考点二全等三角形的判定与性质,1.(2017化州模拟,7)如图,ABCABC,AB和AB是对应边,AC和AC是对应边,点B在AB上,AB与AC相交于点D,A=25,BCA=45,则ABD等于()A.30B.35C.40D.45,答案CABCABC,ABC=B,A=A,CB=CB,B在AB上,B=CBB=ABC,设B=x,BCB=y,2x+y=180,x+y+45+25=180,x=70,ABB=2x=140,ABD=40,故选C.,2.(2018东莞模拟,13)如图,已知ABCADE,若AB=7,AC=3,则BE的值为.,答案4,解析ABCADE,AE=AC,AB=7,AC=3,BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4.,3.(2017梅州二模,13)如图,ABCFDE,C=40,F=110,则B等于.,答案30,解析ABCFDE,BAC=F=110,C=40,B=180-C-BAC=180-40-110=30.,4.(2016开平二模,13)如图,ABCDEF,则EF=.,答案5,解析ABCDEF,EF=BC=5.,5.(2018广州黄埔一模,19)如图,点E,F在AC上,且AE=CF,ADBC,AD=CB.求证:DF=BE.,证明ADBC,A=C,AE=CF,AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在ADF和CBE中,ADFCBE(SAS),DF=BE.,6.(2017佛山模拟,17)如图,点B、D、C、F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.(1)请你只添加一个条件(不再添加辅助线),使ABCEFD,你添加的条件是;(2)添加了条件后,证明ABCEFD.,解析(1)答案不唯一,B=F或ABEF或AC=DE.(2)添加条件B=F.证明:在ABC和EFD中,ABCEFD(SAS).,7.(2016乐昌二模,20)如图,在ABC中,已知AB=AC,AD平分BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:DM=DN.,证明AD平分BAC,MAD=NAD,AM=2MB,=,AN=2NC,=,=,又AB=AC,AM=AN.又AD=AD,AMDAND,DM=DN.,一、选择题(每小题3分,共9分),B组20162018年模拟提升题组(时间:45分钟分值:60分),1.(2017湛江模拟,9)如图,已知AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44,则CAD的度数为()A.68B.88C.90D.112,答案B解法一:设ABD=x,BDC=y,AB=AC,BAC=44,ACB=ABC=68,AD=AB=AC,ADB=ABD=x,ACD=ADC=(x+y),CBD=2BDC,CBD=2y,ADC=ACD=22+24=46,CAD=180-462=88,故选B.解法二:AB=AC=AD,B、C、D在以点A为圆心,AB为半径的圆上,BDC=BAC=22,CBD=2BDC,CBD=44,CAD=2CBD=88.故选B.,2.(2016恩平二模,8)如图,在ABC中,CD平分ACB,BE平分ABC,CD与BE交于点F,若DFE=120,则A等于()A.30B.45C.60D.90,答案CDFE=120,BFC=120,FBC+FCB=60,BE平分ABC,CD平分ACB,ABC+ACB=120,A=60,故选C.,思路分析先求FBC+FCB,再求ABC+ACB,最后求A.,3.(2016从化二模,5)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于()A.10B.7C.5D.4,答案C如图,作EFBC于F,由角平分线的性质,得EF=DE=2,SBCE=BCEF=52=5,故选C.,解题关键求出BCE底边BC上的高.,二、填空题(每小题4分,共12分),4.(2018深圳福田八校联考,15)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,AD平分CAB交BC于D点,E,F分别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为.,答案,解析如图所示:在AB上取点F,使AF=AF,连接EF,过点C作CHAB,垂足为H.在RtABC中,依据勾股定理可知BA=10,CH=,EF+CE=EF+EC,当C、E、F共线,且点F与H重合时,EC+FE的值最小,最小值为.,5.(2017江门二模,14)如图,ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P,若P=40,则A=.,答案80,解析设PBC=x,PCD=y,BP平分ABC,CP平分ACD,ABC=2PBC=2x,ACD=2PCD=2y.PCD=PBC+P,ACD=A+ABC,2-得A=80.,解题关键活用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.”,6.(2016梅州二模,14)如图,点C在AB的延长线上,CEAF于点E,交BF于点D.若F=40,C=20,则FBC的度数为.,答案110,解析CEAF,C=20,A=70,FBC=A+F=70+40=110.,三、解答题(共39分),7.(2018广州白云一模,19)如图,AD是RtABC斜边BC上的高.(1)尺规作图:作C的平分线,交AB于点E,交AD于点F(不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母);(2)在(1)的条件下,过F画BC的平行线交AC于点H,线段FH与线段CH的数量关系如何?请予以证明;(3)在(2)的条件下,连接DE、DH.求证:EDHD.,解析(1)如图所示.(2)结论:FH=HC.证明:FHBC,HFC=FCB,FCB=FCH,FCH=HFC,FH=HC.(3)证明:AD是RtABC斜边BC上的高,ADC=BAC=90,B+BAD=90,BAD+CAD=90,B=CAD,BAD=DCH,AEF=B+ECB,AFE=CAD+ACF,ACF=ECB,AEF=AFE,AE=AF,FHCD,=,AF=AE,CH=FH,=,=,又BAD=DCH,EADHCD,ADE=CDH,EDH=ADC=90,EDDH.,8.(2017河源模拟,23)如图,已知ABC=90,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AFAB,并截取AF=BD.连接DC、DF、CF,判断CDF的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.图1图2,解析(1)CDF是等腰直角三角形.ABC=90,AFAB,FAD=DBC,AD=BC,AF=BD,FADDBC.FD=DC,ADF=BCD.BCD+BDC=90,ADF+BDC=90,即CDF=90,CDF是等腰直角三角形.(2)是.过点A作AFAB,并截取AF=BD,连接DF、CF.ABC=90,AFAB,AFCE.又BD=CE,AF=BD,AF=CE.四边形AFCE是平行四边形,FCAE,APD=FCD.由(1)知,FCD=45,APD的度数是一个固定的值,且APD=45.,9.(2016佛山二模,23)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中BAE=BCE=ACD=90,且BC=CE,求证:ABCDEC.,证明BCE=ACD,ACB+ACE=DCE+ACE,ACB=DCE,BAE=BCE=90,B+AEC=180,又AEC+CED=180,B=CED,又BC=CE,ABCDEC.,10.(2016广东模拟,19)如图所示,在ABC中,ABC=ACB.(1)尺规作图:过顶点A作ABC的角平分线AD;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在AD上任取一点E,连接BE、CE.求证:ABEACE.,解析(1)如图所示:(2)证明:AD是ABC的角平分线,BAD=CAD,ABC=ACB,AB=AC,在ABE和ACE中,ABEACE(SAS).,
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