湘潭大学概率论与数理统计答案.doc

习题六（P109）1. 设总体X的概率分布密度为：其中未知，为其样本，求：（1）的联合分布密度；（2），解：由题意知总体X的概率分布密度为：期望(1) 样本相互独立，且与总体X服从相同分布，即的概率密度为：（2）不难计算：所以：注：这里补充一个更一般的结果：设总体X的数学期望与方差都存在，且。从总体X中抽取样本，证明：（1） 样本均值的数学期望，方差；（2） 样本方差的数学期望 简证：（1） （2）不难计算： 2. 设总体X服从泊松分布为其样本，求其样本均值的概率分布、数学期望，方差。解：（1）已知总体因为样本与总体服从相同的分布，所以有 又因为样本相互独立，我们有结论： 用归纳法证明： （）当,结论显然成立； （）假设当时结论成立，即：，记。我们来求的分布，因为与相互独立，所以相互独立，进而有： ，即：时结论亦成立；有归纳法知结论成立。由结论知：。由此得的概率分布如下：（2）所以3.设随机变量X服从自由度为的分布，求函数的分布。解：已知，我们把随机变量写成，并设随机变量与独立，且，则按分布的定义知。 因为 ， 则按分布的定义知；因为与独立，所以与也独立；则按分布的定义知：4.设总体为其样本，记，求证：证明：已知总体所以因为所以由此得到标准化的统计量又由定理3.1（3）知，统计量因为与是独立的，所以统计量与也是独立的。于是，按t分布的定义可知，统计量证毕。注：（P62）更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态变量的线性组合仍然服从正态分布。定理： 设随机变量相互独立，并且都服从正态分布： 则它们的线性组合也服从正态分布，且有；（其中为常数）5.证明成立。证明：设，我们把随机变量写成，并设随机变量与独立，且，则按分布的定义知；同理： 。 已知随机变量，则对于给定的，有 因为得取值区间是，所以上式也可以写成由此得又因为随机变量，所以对于已给的，有由等式与可知：证毕。6. 设总体从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于5的概率。解：由题意知总体；由定理3.1（1）知；所以7. 设总体从中抽取一个容量为10的样本，其样本方差为，且，求的值。解：由题意知总体；由定理3.1（3）知，所以查表知：。所以。8. 设总体从总体X中抽取一个容量为25的样本，求样本均值小于12.5的概率，如果（1）已知；（2）已知未知，但样本方差。解：由题意知总体（1） 已知，由定理3.1（1）知 ；所以 （2）已知由定理3.1（4）知 ；所以9设总体从总体X中抽取一个容量为25的样本，和分别为其样本均值和样本方差，求。解：由题意知总体由定理3.1（1）、（3）知 ，所以因为和相互独立，所以10. 设总体总体从正态总体X中抽取容量为的样本，其样本均值为，样本方差为；从正态总体Y中抽取容量为的样本，其样本均值为，样本方差为.(1)求(2)若已知解：由题意知总体(1) 由定理3.2（1）知统计量，所以有(2) 由定理3.2（2）知统计量所以