模拟试卷B答案.doc

数值分析模拟试卷（B）一、算法分析（20）1、要使的近似值的相对误差不超过，应取几位有效数字？（5）解：设取n个有效数字可使相对误差小于，则 ，而，显然，此时， ，即，也即所以，n=5。2、设近似值S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析用递推式计算S20所得结果是否可靠。（5）解：设计算Si的绝对误差为e(Si)=Si*Si，其中计算S0的误差为，那么计算S20的误差为 e(S20)=S20*S20（S19*142.8）（S19142.8）=(S19*S19) e(S19)=e(S18)=e(S0)，误差缩小，结果可靠。3、判定解方程组的高斯赛德尔迭代法的收敛性？（10）解：，因为，所以(BG-S)=21所以高斯赛德尔迭代法发散。二、基本计算（30）1、用合理途径计算。（5）解：由小到大依次相加。 2、用秦九韶算法计算的值p(2)。（5）解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。 所以，p(2)48。3、作矩阵的LU分解。（5%）解：对矩阵，设先计算U的第一行，由矩阵乘法，有再计算L的第一列，由矩阵乘法，有然后计算U的第2行L的第2列，最后计算u33。得4、给定矩阵，求。(10%)解：因为，所以；因为，所以；因为，所以的特征多项式为：，解之得。所以。5、已知x=1,2,3,4,5，对应的函数值为f(x)=1,4,7,8,6，求出插分表，写出相应的等距节点插值多项式。（5%）解：作差分表如下：f(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分134032721118326（下略）三、数值计算（50）1、用高斯赛德尔迭代法解（取）。（5）解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得，据此建立迭代格式得，取迭代初值进行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)30000112-12-59-33-2329-7可见，高斯赛德尔迭代法发散，求不出收敛的解。注： (BG-S)=21所以，高斯赛德尔迭代法发散。2、试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足(5%)解：设插值多项式为则由插值条件得解之得所以3、用最小二乘法求方程组的近似解。（10%）解：设方程组中各个方程的一般形式为，则对x、y分别求偏导，并令偏导数等于0，得将数据代入得解之得4、五等分区间用梯形法求数值积分，计算数据取小数点后两位数。（5%）解：五等分区间时，梯形法积分公式为将区间5等分，6个分点上的函数值为：x00.20.4y10.960.86x0.60.81y0.740.610.5所以， 0.2 0.5(10.5)0.96+0.86+0.74+0.61 =0.7845、确定数值微分公式的系数，使它具有尽可能高的代数精度。（10%）解：为了计算方便，令，把依次代入使其成为等式，得解之得所以此公式对于不成立，故其代数精度为2。6、用欧拉法求初值问题的数值解，取步长h=0.25，计小数点后保留2位。（5%）解：将代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：，（）取由初值y0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下：7、判断方程2x3-3x2-12x+25=0有几个实根，并求出其隔根区间。（10%）解：令y=2x3-3x2-12x+25，y=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2)当y=0时，有x=-1，x=2，而且函数没有不可导点。显然，当x-1时，x+10，x-20，所以，y=6(x+1)(x-2)0，同理可以判断出在其他几个区间上导数的符号。进一步可以得导函数在每一个区间上的单调性。列表如下：x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+00+y325y(-1)=320，y(2)=50，在区间（-1,2）上方程无根。又 y(2)=50，函数在（2，）上又是单调增的，函数值不可能再变号，在区间(2，)上方程也没有根。函数在（，1）上单调，方程在该区间上最多有一个根。而y(2)210，y(-3)=-200，方程在区间(3，2)内有一个根，区间(3，2)是方程的隔根区间。所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一个根，隔根区间为（3，2）。