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概率论与数理统计习题及答案习题 一4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.66.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设Ai=恰有i个白球（i=2,3），显然A2与A3互斥.故 23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求将此密码破译出的概率.【解】 设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.458习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.64.（1） 设随机变量X的分布律为PX=k=，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数a.【解】（1） 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故 所以 .21.设XN（3，22），（1） 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 24.设随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】习题三13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.习题四1.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 习题七2.设总体X的密度函数f（x,）=X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计.【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估计量为 3.设总体X的密度函数为f（x，），X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函数由知所以的极大似然估计量为.(2) 似然函数,i=1,2,n.由知所以的极大似然估计量为 10.设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kgcm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率为0.95的置信区间.（2） 求2的置信概率为0.95的置信区间.【解】 (1) 的置信度为0.95的置信区间(2)的置信度为0.95的置信区间14. 设总体X的概率分布为X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2其中(0)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和极大似然估计值.【解】所以的矩估计值（2） 似然函数解得 .由于 所以的极大似然估计值为 .8
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