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习题二答案1随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？ 答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率PXx（x取任意的值）求得X的分布函数Fx;仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数fx,可通过积分Fx=-xdt (-x+) ,求得分布函数Fx, 可通过对Fx求导，即dydxFx=fx（对一切fx的连续点处）求得密度函数fx。2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算PX3和PX13. 解：由题意X的正概率点为2，3，12 PX=k=6-k-736 , k=2,3,12 PX3=PX=2=PX=3=136+236=112 PX12=P=03. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P1X2 解：PX=k=C3kC145-kC175 , P1X23 当k1,3 时， PXk=k30dx+362dx9+6+0dx=23 当k3,- 时， PXk=k62dx9+6+0dx=296-k00 x0 求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率。 解：Ak=在仪器使用的最初200小时内，第k只原件损坏 k=1,2,3 Xk=第k只原件的使用寿命 PAk=PXk200=200+1600e-x600dx=e-13 =PA1A2A3=P-PA1A2A3=1-PA1 A2 A3=1-e-133=1-e-19. 令X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,求F(x). 解：0X1时，Fx=1 当0x1时，Fx=12x212=x2 Fx=0 当x0时x2 当01时 10从1个白球n-1个黑球中任取k 个,令X 表示取出的白球个数.(1)求X 的分布律;(2)证Cnk=Cn-1k-1+Cn-1k 解：(1)X的可能取值为0,1，且PX=0=Cn-1kCnk PX=1=Cn-1k-1Cnk 故分布律：0 1Cn-1kCnk Cn-1k-1Cnk (2)由分布律性质，Cn-1kCnk+Cn-1k-1Cnk=1 即Cnk=Cn-1k-1+Cn-1k11已知X 的概率密度为f(x)=12x2-12x+3,0x1,0, 其他,计算P X 0.2|0.1x0.5 解：P X 0.2|0.1x0.5=P X 0.2,0.1x0.5P 0.1x0.5=P 0.1x0.2P 0.1x0.5=0.10.2fx0.10.5fx=0.1480.2560.57812已知X 的概率密度为f(x)=Ce-x2+x ,确定常数C.1=-+Ce-x2+xdx=C-+e-x-122+14dxx-12=t2 Ce142-+e-t22dt=Ce1422故，C=e1413. 设XN(108,9),(1)求P101.1x117.6;(2)求常数a,使PXa=0.90. 解：(1) P101.1x117.6=117.6-1083-101.1-1083=3.2-2.3=3.2-1-2.3=0.9886 (2) PXa=a-1083=0.90 故，a-1083=1.28 即，a=111.8414设X 为一离散型随机变量,其分布律如下表,求:(1)q 的值;(2)X 的分布函数.X-101P121-2qq2 解：(1)12+1-2q+q201-2q1q21 解得：q=1-12 分布律：X-101P122-132-2(2)由Fx=PXx知，Fx=0 x112 -1x02-12 0x3 且fx=13, &2x50, &其他 故，PA=PX3=3513dx=23 以Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数（即在3次独立实验中事件A出现的次数）显然，Y服从参数为n=3，p=23 的二次分布PY2=C3223213+C33233=202716. 设一大型设备在任何长为t的时间间隔内发生故障的次数N(t)服从参数的泊松分布，求:（1）相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率Q.17.设X的分布律为：求Y=的分布律。X123456P求Y=COS的分布律。解：X与Y的对应关系如下表:X123456Y0-1010-1P可见Y的取值只有-1,0,1三种可能。Y-101P18.设XN（0,1），求Y=的密度函数。19. 设连续型随机变量x的概率分布为：(B)1. 随机变量X与Y均服从正态分布。XN(,),YN(,),证=P,=P,则()(A) 对任何实数，都有(B)对任何实数，都有(C)只对的个别值，才有=(D)对任何实数，都有2. 设随机变量XN(,)，则随着的增大，概率P()(A) 单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定解：XN(,)N(0,1)3. 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取()(A) a=35,b=-25(B)a=23,b=23(C)a=-12,b=32(D)a=12,b=-32(C)计算题1. 设测量误差XN(0,),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001解：设100次独立重复测量中有Y次测量误差的绝对值大于19.6，则YB（100，p）,p=PN(0,1)2.一实习生用同一台机器接连独立地加工3个同种零件,第i个零是不合格品的概率,(i=1,2,3,),此 X 表示3个零件中合格品的个数,求PX=2.3.设随机变量X的绝对值不大于1,PX=-1=,PX=1=.在事件-1X1出现的条件下,X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求:(1)X的分布函数F(x)=PXx;(2)X取负值的概率
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