数学分析中题库.doc

数学分析（中）题库一 选择填空 （每小题4分，共分）10. 设函数在可积且平方可积，则的Fourier级数_收敛于.11. 下列集合是连通紧集的是_.A B C . D .3. 函数的Fourier级数在点x=2处收敛于_4. =_.5. 的Fourier正弦级数在收敛于_;6. 若幂级数在区间X上收敛，则下列结论不一定正确的是A 它的和函数在X上连续; B 它在X上内闭一致收敛； C 在X上收敛；D 在X上收敛7. 函数在点(1,2,1)处沿方向_的方向导数取最大值, 最大值为_.8. 函数的Fourier级数在点x=2处收敛于_.9. 若无穷级数收敛，则级数_, 级数_. (A)收敛 (B)发散 (C)不能确定.10. 若收敛，则级数_；级数_. A一定收敛 B一定发散 C不能确定11. 设函数在连续，则下列一定正确的是_.A的Fourier级数点态收敛于.B的Fourier级数平方收敛于.C的Fourier级数一致收敛于.D的Fourier级数在 上可逐项积分并收敛于.12. 集合是紧集当且仅当_.13. 函数在点(1,2)处沿方向_的方向导数取最大值, 最大值为_.14. 空间曲线在点处的切向量为_.15. 函数在点(1,1)处沿方向_的方向导数取最大值, 最大值为_.16. 集合是紧集当且仅当_17. 中点列是基本点列当且仅当_.18. 空间曲线在点（1，1，2）处的切线方程为_.19. 多元函数在一点的各性质之间的关系为(A) 连续; (B)可微; (C)可偏导；(D)在某邻域上偏导数存在且在点连续.14. 判断(1) f(x)在区间上可积且平方可积，则f(x)的Fourier级数平方收敛于f(x).（ ）(2) f(x)在区间上连续，则f(x)的Fourier级数收敛于f(x)（ ）.(3) 发散（ ）(4)（ ） （5）（6）二 解答题（每小题10分，共分）1 求幂级数的收敛域与和函数，并求级数的和。2 求幂级数的收敛域与和函数，并求级数的和。3 计算 ，并求级数的和4 求幂级数在收敛域内的和函数，并求级数的值。5 计算67 求函数在处的泰勒展开式和收敛域.8 确定函数之定义域，并利用函数项级数一致收敛性说明它的连续性及可微性.9 求的收敛域及和函数 ，并求级数的和10 求的收敛域及和函数，并计算.11 求的Fourier级数及其在上的和函数，并求级数的和。12 求幂级数的收敛域与和函数，并求级数的和。13 确定函数的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。14 确定函数的收敛域及其在收敛域上的一致收敛性（包括内闭一致收敛性）15 确定下列函数项级数的收敛域D, 并讨论其在D上的一致收敛性（包括内闭一致收敛性）以及它们的和函数在D上的可积性、连续性和可导性（20分） 16 判断下列各题的敛散性（包括绝对收敛和条件收敛性） 17 判断反常积分 的敛散性。 18 判断反常积分 的敛散性（包括发散、绝对收敛与条件收敛） 19 设, 试问(i)a，b为何值时f(x)在(-,+)内连续?(ii) f(x)在(-,+)内是否可导? 20 在上的一致收敛性21 讨论函数在点（0，0）的连续性、可偏导性和可微性。22 讨论函数在点（0，0）的连续性、可偏导性和可微性。23 求函数的Fourier级数及其和函数.24 是常数)的Fourier级数及其和函数，并求级数的和。25 求的Fourier余弦级数，并用Parseval等式求级数的和。26 的Fourier变换F(f).27 设F是可微函数，是由所确定的隐函数，计算 28 设F是可微函数，是由所确定的隐函数，求 29 设是由方程所确定的函数，求30 设由方程组，确定，求.三. 应用类1. 设具有连续偏导数，并且不全为零，求空间曲线在坐标面上投影曲线的切线方程。2. 求曲面在第一卦限的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的四面体体积最小。3. 求曲面在第一卦限的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的四面体体积最小。4. 求曲面的切平面，使得该切平面与点（2，2，2）距离最短。5. 求曲面与xoy坐标平面的最近距离。6. 在曲面上求一点，该点处的切平面平行于平面，并求此切平面和 法线方程.7. 求由方程所确定的隐函数的极值。8. 求函数的极值点和极值。9. 求函数在上的最大值和最小值.10.四. 证明类(每题6分，共分)1 若函数 在点连续且，则 有 .2 若集合D中存在数列xn，使得，则级数在D上非一致收敛。3 设, 其中f为连续函数. 证明: 在任何闭区间上一致收敛。4 若级数在D上一致收敛，则序列在D上一致收敛于0.5 若函数在点存在二重极限，则 上 有界。6 已知nun(x)在区域D上一致有界, 则在区域D上绝对一致收敛。7 已知函数序列un(x)关于n单调且在区域D上一致收敛于0, 则在区域D上一致收敛。8 若无穷级数收敛，则级数收敛。9 如果， 则。10 若函数在上连续, 且级数在上一致收敛，则级数在上一致收敛.11 设是具有连续偏导数的n次齐次函数（即：对于任意实数t和x, y, z，有），且gradF, 则曲面=0上所有切平面过原点。12 f(x)在区间上可积且平方可积，证明Bessel不等式:13. 设在上可导且在上可积，为的傅里叶系数. 证明： .14. 已知存在正整数N，使得, 且，则在D上一致收敛于。15. 设在上具有二阶连续导数，且. 证明级数绝对收敛. 16. 证明中有限覆盖定理.17. 证明中闭区域套定理.11