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,欢迎进入数学课堂,6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较,学习导航学习目标,重点难点重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义难点：三种增长函数模型的应用,三种函数的增长趋势当a1时，指数函数yax是_，并且当a越_时，其函数值的增长就越快当a1时，对数函数ylogax是_，并且当a越_时，其函数值的增长就越快,增函数,大,增函数,小,当x0，n1时，幂函数yxn显然也是_，并且当n越_时，其函数值的增长就越快由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”,增函数,大,想一想由于指数函数值增长非常快，所以对于xR都是2xx2，对吗？提示：不对y2x与yx2的图像有交叉现象，只有当x4时，才有2xx2成立,做一做1.当a1时，下列结论：指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的增长越快；,对数函数ylogax，当a越小时，其函数值的增长越快其中正确的结论是()ABCD答案：B,2当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是()Ay2xByx10CylgxDy10 x2答案：A,题型一指数函数、幂函数、对数函数增长的比较四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：,关于x呈指数型函数变化的变量是_【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；,而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化，故填y2.【答案】y2,【点师点睛】三种递增函数中，当自变量充分大时，指数函数的函数值最大，但必须是自变量的值达到一定程度因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数,变式训练1三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：,则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3By2，y1，y3Cy3，y2，y1Dy1，y3，y2解析：选C.通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；,指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律,故选C.,题型二比较大小问题比较下列各组数的大小,【方法小结】解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图像,变式训练2y12x，y2x2，y3log2x,当2x4时,有()Ay1y2y3By2y1y3Cy1y3y2Dy2y3y1解析：选B.在同一平面直角坐标系中画出函数y2x，yx2，ylog2x的图像(图略)，在区间(2,4)上从上往下图像依次是yx2，y2x，ylog2x，所以y2y1y3.,题型三几种增长函数模型的应用(本题满分12分)某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？,【解】借助计算器或计算机作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像如图所示：,观察图像发现，在区间10,1000上模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在y5的上方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断对于模型y0.25x，它在区间10，1000上是单调递增的，当x(20，1000时，y5，因此该模型不符合要求.5分,对于模型y1.002x，利用计算器，可知1.0028065.005，由于y1.002x是增函数，故当x(806,1000时，y5，因此，也不符合题意.6分对于模型ylog7x1，它在区间10,1000上单调递增且当x1000时，ylog7100014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.8分,再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x10,1000时，利用计算器或计算机作f(x)log7x10.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)f(10)0.31670，即log7x10.25x.10分,所以当x10,1000时，y0.25x.这说明，按模型ylog7x1奖励不超过利润的25%.11分综上所述，模型ylog7x1确实符合公司要求.12分【思维总结】借助函数图像，研究它们的变化是这类题的常用方法,变式训练318世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：,他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？,1试比较函数yx100，y5x，ylog5x的增长情况解：三个函数中，ylog5x增长的速度要比yx100和y5x增长的速度慢得多，且ylog5x增长得越来越慢，图像几乎渐渐与x轴平行;而yx100和y5x，当x比较小时，yx100要比y5x增长得快，但当x逐渐增大，增大到一定程度后，y5x要比yx100增长得快,2某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年),(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)解：(1)1年后该城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)2年后该城市人口总数为：y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为：,y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3.x年后该城市人口数为：y100(11.2%)x(xN),(2)10年后该城市的人口数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年)因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人,方法技巧选择增长型函数描述实际问题的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律,失误防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，应正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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