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1 2017 届广州市普通高中毕业班模拟考试 理科数学 2016.12 本试卷共 4 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务 必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔 在答题卡的相应位置填涂考生号。 2作答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试 卷上无效。 3第卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. （1）已知集合 ， ，则2Ax230BxAB () () () () 2,31,2,11,2 （2）设 ，其中 是实数，则i(xyxyixy （A）1 （ B） （C ） （D）235 （3）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 nanS230aq (A) (B) (C) (D) 12 （4）已知双曲线 （ ）的渐近线方程为 , 则双曲线：C2bxay0,baxy1 的离心率为 (A) (B) (C) (D) 255266 （5）若将函数 ()sin2cosfxx的图象向左平移 个单位，所得图象关于 y轴对称， 则 的最小正值是 （A） 8 （B） 4 （C ） 38 （D） 34 （6）GZ 新闻台做 “一校一特色 ”访谈节目, 分 A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期， C 期各播出 1 间学校, 现从 8 间候选学校中选出 4 间参与这三项任务, 不同的选法共 有 2 yxO yxO yxO yxO （A）140 种 （ B）420 种 （C）840 种 （D）1680 种（7）已知函数 ，则函数 的图象是2,0,()1xf()gxf()gx (A) (B) (C) (D) （8）设 ， ， ，则 的大小关系为0.47a0.7b0.4c,abc (A) (B) (C) (D) caacba （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与曲线:Cxy82FlPlPF 相交于 ， 两点，若 ，则MNMP3N () ( ) () () 21 101 （11）如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 (A) (B) 25425 (C) (D) 99 (12) 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是xaexfcossin 2,4a (A) (B) (C) (D) ,1,11,1, 3 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （13）已知菱形 的边长为 ， , 则 _ABCD260ABCD （14）按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg) 必须服从正态分布 , 根据检测210N: 结果可知 ,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福9.10.9P 利, 若该公司有 名职工, 则分发到的大米质量在 kg 以下的职工数大约为 .29. （15）已知 满足约束条件 若 的最大值为 4，则 . ,xy 20,xy0zxaya （16）在数列 中, , ,对所有正整数 均有 ，则 . na128an21na2071na 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知 的内角 , , 的对边分别为 ， ， ，若 ， .ABCabcabcC2os （）求 ； （）若 , 求 .12bsin （18） （本小题满分 12 分） 某产品按行业生产标准分成 个等级，等级系数 依次为 ，其中 为标8X1,285X 准 ， 为标准 . 已知甲厂执行标准 生产该产品，产品的零售价为 元/ 件; A3XBA6 乙 厂执行标准 生 产该产品，产品的零售价为 元/ 件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相4 应的执行标准. （）已知甲厂产品的等级系数 的概率分布列如下所示：1X 且 的数学期望 , 求 的值;1X16Eab （）为分析乙厂产品的等级系数 ，从该厂生产的产品中随机抽取 件，相应的等2 30 级系数组成一个样本，数据如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 的 数学期2X578P0.4b.1 4 MDECBA望； （）在（）,（）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由.注: 产品的“ 性价比” ；“性价比”大的产品更具可购买性.(19) （本小题满分 12 分）如图, 平面 ， 平面 , 是等边三角形， , EABCDABC2ACE是 的中点. M （）求证： ; （）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，2 求二面角 的余弦值.E (20) （本小题满分 12 分） 已知动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，记圆P21:()49Fxy1)2(:yxF 心 的轨迹为曲线 .C （）求曲线 的方程； （）设 为曲线 上的一个不在 轴上的动点， 为坐标原点，过点 作 的平QxO2FOQ 行 线交曲线 于 两个不同的点, 求 面积的最大值CMNQMN (21) （本小题满分 12 分） 设函数 . 若曲线 在点 处的切线方程为()lnfxmx()yfxe,()Pf（ （ 为自然对数的底数）.2ey （）求函数 的单调区间；()fx （）若 ，试比较 与 的大小，并予以证明.,Rab()2fab()2af 请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.Ox 已知直线 l 的参数方程为 为参数 , 曲线 的极坐标方程sin(1cotty,0)C 为 .2cos4in () 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; （II）设直线 与曲线 C 相交于 两点, 当 变化时, 求 的最小值.ABAB (23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 5 已 知 ，不等式 的解集是 .1fxa3fx21|x （）求 的值； （II）若 存在实数解，求实数 的取值范围 .|3fkk 2017 届广州市普通高中毕业班模拟考试 理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 （1）B （2）D （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）A 二、填空题 （13） （14） （15） （16）64032 三、解答题 （17）解： （）因为 ， ，1abcC2os 由余弦定理得 ,即 . 2 分 221cb 所以 . 4 分 221cosbcbA 由于 , 所以 . 603 分 （）法 1: 由 及 , 得 , 7 分12b2cb211c 即 , 8 分430c 6 解得 或 (舍去). 9 分134c134c 由正弦定理得 , 10 分siniaCA 得 . 12 分1339si6048 法 2: 由 及正弦定理得 , 72bsinibaB 分 得 . 8 分13sini6024B 由于 , 则 ,baA 则 . 9213cos1in4 分 由于 , 则 . 1080ABC120B 分 所以 sini12 11 分0cos120sinB 3324 . 12 分98 (18) 解: （） , 即 , 1 分150.4670.16EXab73.2ab 又由 的概率分布列得 , 2 分.05 由得 4 分.3,.2 （）由已知得，样本的频率分布表如下： 5 分 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视 为概率，可得等级系数 的概率分2X245678f0.0.2.10.1 7 z yxMDECBA 布列如下： 6 分 所以 . 7 分230.4.250.6.170.8.14EX 即乙厂产品的等级系数的数学期望为 . 8 分 48 （）乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 , 价格为 元/件，所以其性价比为 ，16 9 分 因为乙厂产品的等级系数的期望等于 , 价格为 元/ 件，所以其性价比为 ，4.84.82 10 分 据此，乙厂的产品更具可购买性. 12 分 (19) 解: （）因为 是等边三角形， 是 的中点,ABCMAB 所以 . 1 分 因为 平面 , 平面 , EC 所以 . 2 分 因为 , 所以 平面 . 3 分 CA 因为 平面 ,M 所以 . 4 分E （）法 1: 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 且CxBy 与直线 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系 .BDzxz 因为 平面 ,A 所以 为直线 与平面 所成角. 5 分MB 由题意得 , 即 ,6 分tan2DM 从而 .BC 不妨设 , 又 , 则 , .7 分2AAE3C1AE 故 , , , . 8 分0130120 于是 , , , ,BBD312CD 设平面 与平面 的法向量分别为 ,CE1(,),(,)mxyznxyz 2 678p20.1 8 PNMDECBA 由 得 令 ,得 , 0,mBCD 130,2xyz1x13y 所以 . 9 分1, 由 得 令 ,得 , . 0,nEC 2230,xyz21x23y2z 所以 . 10 分1,3 所以 . 11 分 cos,0mn 所以二面角 的余弦值为 . 12BCDE 分 法 2: 因为 平面 ,A 所以 为直线 与平面 所成角. 5 分MBC 由题意得 , 即 ,6 分tan2M 从而 .BDC 不妨设 , 又 , 2AE 则 , , . 7 分31BD 由于 平面 , 平面 , 则 .ECAB 取 的中点 , 连接 , 则 .N2N 在 Rt 中, ,D25E 在 Rt 中, ,ACA 在 Rt 中, ,B22BD 取 的中点 , 连接 , , ,PE 则 . 8 分ED 所以 为二面角 的平面角. 9 分C 在 Rt 中, ,23P 在 Rt 中, ,B1 在 Rt 中, ,EA25AB 因为 , 10 分25P 9 所以 . 11 分90EPB 所以二面角 的余弦值为 . 12CD0 分 (20) 解： （）设圆 的半径为 , 圆心 的坐标为 ，RP(,)xy 由于动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，21:()49Fx1)2(:yxF 所以动圆 与圆 只能内切 . 1 分 所以 2 分127,.PRF 则 . 3 分4|6|211 所以圆心 的轨迹是以点 为焦点的椭圆, PF 且 , 则 .3ac225bac 所以曲线 的方程为 . 4 分C19yx （）设 ，直线 的方程为 ，123(,) (,) (,)MxyNQMN2xmy 由 可得 ，2 ,95m=+ 29025y+-=（ 则 . 5 分1212220,5ym 所以 6 分()12124MNyy=+- 2220059-+ 7 分()2 301.m+= 因为 ，所以 的面积等于 的面积. 8 分/MNOQNOMN 点 到直线 的距离 . 9 分:yx21dm=+ 10 所以 的面积 .QMN 2 22130(1)30125959mmSd+= 10 分 令 ，则 ， . 21mt21t()()22 415ttSt=+- 设 ，则 .()()45ftt=+245tft- 因为 , 所以1250.ft- 所以 在 上单调递增.()ftt)1, 所以当 时, 取得最小值, 其值为 . 11 分=(f 9 所以 的面积的最大值为 . 12 分QMN30 说明: 的面积 .() 2221211301459mSOFyyy+-=+-= (21) 解: （）函数 的定义域为 .()fx(0,) . 1 分lnm 依题意得 ，即 3 分(e),()2ffe,2mn 所以 . 4 分1,0mn 所以 ， .()lfx()ln1fx 当 时, ; 当 时, .e()e()0fx 所以函数 的单调递减区间是 , 单调递增区间是 .6 分()fx01,)e （）当 时， .,Rab()()22fabaf 等价于 ，()2fflnln2bab 也等价于 . 7 分ln(1)ll0bb 11 不妨设 ，ab 设 （ ）, ()ln2(1)lnl2gxx1)x 则 . 8 分) 当 时， ，所以函数 在 上为增函数，1,x(0gx()gx,) 即 ， 9()ln2)ln1l210g 分 故当 时， （当且仅当 时取1,)x()l()lnl2gxx1x 等 号）. 令 ，则 ， 10 分axb()0 即 （当且仅当 时取等号） ，11 分2ln1lnl2abab 综上所述，当 时， （当且仅当 时取等号）.,R()()2ffab 12 分 (22) 解: () 由 消去 得 , 1 分sin,1coxtytcosins0 xy 所以直线 的普通方程为 . 2 分l i 由 , 得 , 3 分2cs4in2cos4sn 把 代入上式, 得 ,oxyyx 所以曲线 C 的直角坐标方程为 . 5 分2 (II) 将直线 l 的参数方程代入 , 得 , 6 分yx42sin4cos0tt 设 A、B 两点对应的参数分别为 , 12 则 , , 7 分12cosint4122sint 所以 . 9 分21211()4ABttt 24226cos1inisin4 12 当 时, 的最小值为 4. 10 分2AB (23) 解： （）由 , 得 ，即 . 1 分13ax13ax24ax 当 时， . 2 分04 因为不等式 的解集是fx|x 所以 解得 3 分 21,4a2.a 当 时， . 40x 分 因为不等式 的解集是3f |12x 所以 无解. 5 分 2,41a 所以 2. （II）因为 7 分 21212.333xxfxf 所 以 要 使 存 在 实 数 解 ， 只 需 . 8()ffk+- 分 解 得 或 . 9 分23k 所 以 实 数 的 取 值 范 围 是 . 10 分2,3
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