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第二章 习题解答2-17 质量为2kg的质点的运动学方程为 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：, 为一与时间无关的恒矢量，质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12N，力与x轴之间夹角为：2-18 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：，a,b,为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明：m1m2F, 作用于质点的合力总指向原点。f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f22-19在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=(N1+m2g)=(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：+可求得：将a代入中，可求得：m1m22-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体（m1m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。Tm1gaTm2gaTTT解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： 由可求得：所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。2-21 一个机械装置如图所示，人的质量为m1=60kg，人所站的底板的质量为m2=30kg。设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使所站着的底板在空中静止不动，此人应以多大的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是多大？ 解：装置的各部分和人的受力如图所示，据题意有：解方程组得：代入数据得：，即人应以220。5N的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是367.5N。2-22 桌面上有一质量m1=1kg的木板，板上放一个质量为m2=2kg的物体。已知物体和板之间的滑动摩擦系数m2=0.4，静摩擦系数为m0=0.5，板和桌面间的滑动摩擦系数m1=0.3。（1）今以水平力拉板，物体和板一起以加速度a=1m/s2运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力；（2）若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，m1gf1N1a1a2N2N1m2gFf1f2xy（1）物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s2，所以它们之间无相对运动。解方程组并代入数据得： 所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为1N和2.94N。（2）其中，N1=N1，f1=f1=0N1，f2=2N2，选图示坐标系o-xy，对m1，m2分别应用牛顿二定律，有 解方程组，得 要把木板从下面抽出来，必须满足，即即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于2.352N的力。t(s)F(N)98202.23题图2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。 解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t（t20）,令F=mg，即4.9t=29.8，t=4s，因此，火箭发射可分为三个阶段：t=04s为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=420s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ；t20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt第三阶段运动学方程令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)2.24汽车质量为1.210kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，试求公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？ 解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.552+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律：yx=15fNmgan/得：，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。2.25 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin)mg，N = Fv = (0.04+sin)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N, 由质点平衡方程有 F+ mg sin= 0.04mg, F=(0.04-sin)mg,N= (0.04-sin)mgv.令N= N, 即（0.04+sin）mgv = (0.04-sin)mgv，可求得：v= v(0.04+sin)/(0.04-sin). 利用三角函数关系式，可求得： sintg=0.02 ,v=3v =315103/602 m/s = 12.5m/s.2.27题图2.26如图所示，质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N，木块在A点时具有向右的速率v0=6m/s，求力T将木块从A拉至B点时的速度。 2.26题图解：以A为原点建立图示坐标o-x，木块由A到B，只有拉力T做功：4m3mABTx 设木块到达B时的速度为v，由动能定理：，方向向右2.27 如图所示，质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度。 3.86 m/s. 0.5m y 0.5m B 0.5m F N F W A A x解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy，木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：AN = 0；AW = -mg(yB-yA)=-1.29.80.5= -5.88J；F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。由动能定理：代入数据，求得 vB =3.86 m/s.2.28题图2.28 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0 向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为求证物体能达到的最远距离l为证明：质点m由弹簧原长位置运动到最远位置l，弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动能由mv02/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv02/2 其中，代入中，并整理，有：kl2+2mgl-m v02=0. 这是一个关于l的一元二次方程，其根为：，负根显然不合题意，舍去，所以，2.29 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30角，不计摩擦，求：运动员离开B处的速率vB；B、C的垂直高度差h及沟宽d；运动员到达平台时的速率vc. 解：运动员在整个运动过程中,只有重力做功,故机械能守恒，取B点为势能零点。mgH = mvB2/2运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc = vB cos30 = 19.1m/smvB2/2 = m vc2/2+mgh h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：0 = vBsin30-gt t = vB /2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30t = 21.6m.2.30 装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v，弹簧原长：，在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：，可求得：2.31 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论(碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍)。证明: 设氢原子质量为m,碰前速度为零,碰后速度vH,粒子质量为4m,碰前速度为v,碰后速度为v.根据完全弹性碰撞基本公式： 即 ， 4，得 8 v= 5vH, vH= 8 v/5 = 1.6 v232 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。 解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同速度v，由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点系动量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m) 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s，速度由v变为零，由动能定理，有 fs = 0 - (M+m) v2 /2,将v代入，可求得 2.33如图所示， 质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用l =1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，u表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h由动量守恒：，可得 由能量守恒：2.34如图所示一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。解：框架静止时，弹簧伸长l=0.1m，由平衡条件mg=kl,求得：k=mg/l=0.29.8/0.1=19.6N/m铅块落下h=30cm后的速度v0，可由能量守恒方程求出：设铅快与框架碰后的共同速度为v，由动量守恒：设框架下落的最大距离为x，由机械能守恒：，进行整理并代入数据，可得x的一元二次方程：2.35 如图所示，质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为m0=0.01kg的子弹以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？ 解：整个过程可分为两个阶段处理。第一阶段：子弹射入m1内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为m0，子弹与m1获得的共同速度为v,则有m0v0 = (m1+m0) v v = v0m0 / (m1+m0) （1）第二阶段：子弹与m1以共同速度v开始压缩弹簧至m1与m2有相同的速度V,压缩结束；在此过程中，由m0,m1,m2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有：由能量守恒:将、代入中，可求得：2.36 一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g的小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。解：设鸟被子弹击中后与子弹共有的速度为v，由动量守恒：由平抛运动公式,可求得子弹落地时间：，所以，水平距离S=vt=101=10m2.37棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。 解：由Ft图可知：斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)由动量定理：可求得Fmax = 245N2.38地球质量为6.01024kg，地球与太阳相距149106km，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。 解：2.39 一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为，其中a、b和是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。证明：运动学观点：显然与时间t无关，是个守恒量。动力学观点：,该质点角动量守恒。2.40 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连。弹性绳的劲度系数为8 N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v0如图所示。当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率v及初速率v0. 解：设小球B的质量m=0.2kg,原来与固定点A的距离r0=0.4m,当速率为v时，与A点距离r=0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m.小球B的速率由v0v的过程中，作用在小球B上的力对过A点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A点的角动量守恒，有r0mv0sin30= rmv (最大距离时， （1）另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，为求解方便，将化简，并代入已知数据可得：解此方程组，求得：v0 1.3 m/s v 0.33 m/s2.41两个滑冰运动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m，当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。在抓住绳索一端之前，各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？它们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？绳长为5m时，绳内张力多大？二人在收拢绳索时，各自做了多少功总动能如何变化？ 解：设每个运动员的质量为m=70kg，收绳前相对绳中心O的距离为d = d1= 5m，速率为v=v1=6.5m/s；当把绳收拢为d = d2= 2.5m时, 速率v=v2对绳中心o点的角动量各为 L=mv1d1=706.55=2275kgm2/s（抓住绳索前后角动量相同）把两个运动员视为一个质点系,在收绳过程中，质点系对o轴的角动量守恒,有2m v1d1 = 2m v2 d2v2 = v1d1/d2 = 6.55/2.5 =13 m/s把某一运动员视为质点，作为研究对象，由牛顿第二定律，绳中张力F = m v22/d2 = 70132 /2.5 = 4732 N由质点动能定理，每人所做的功均为：总动能增大了Ek = 24436 = 8872 J
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