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第七章 电磁感应 变化电磁场思考题7-1 感应电动势与感应电流哪一个更能反映电磁感应现象的本质？答：感应电动势。7-2 直流电流表中线圈的框架是闭合的铝框架，为什么？灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就发生偏转。切断电流后线圈在回复原来位置前总要来回摆动好多次。这时如果用导线把线圈的两个接头短路，则摆动会马上停止。这是什么缘故?答：用导线把线圈的两个接头短路，线圈中产生感应电流，因此线圈在磁场中受到一力偶矩的作用，阻碍线圈运动，使线圈很快停下来。7-3 让一块磁铁在一根很长的铅直铜管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。答：当磁铁在金属管中时，金属管内感应感生电流，由楞次定律可知，感生电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化，即：阻碍磁铁相对金属管的运动。磁铁在金属管内除重力外，受到向上的磁力，向下的加速度减小，速度增大，相应磁力增大。当磁力等于重力时，磁铁作匀速向下运动，达到动态平衡。7-4 用金属丝绕制的标准电阻是无自感的，怎样绕制才能达到自感系数为零的目的？答：如果回路周围不存在铁磁质，自感L的数值将与电流无关，仅由回路的几何性质、匝数以及周围磁介质的磁导率所决定。把一条金属丝接成双线绕制，就能得到自感系数为零的线圈。做纯电阻用的电阻器都是这样绕制的。7-5 举例说明磁能是贮藏在磁场中的。7-6 如果电路中通有强电流，当你突然拉开闸刀断电时，就会有火花跳过闸刀。试解释这一现象。答：当突然拉开通有强电流电路中的刀闸而断电时，电路中电流迅速减小，电流的变化率很大，因而在电路中会产生很大的自感电动势。此电动势可以把刀闸两端间的空气击穿，因而在刀闸处会有大的火花跳过。7-7 变化的电场所产生的磁场，是否一定随时间而变化？变化的磁场所产生的电场，是否也一定随时间而变化？7-8 试比较传导电流与位移电流。答：位移电流具有磁效应-与传导电流相同。两者不同之处：产生机理不同，传导电流是电荷定向运动形成的，位移电流是变化的电场产生的；存在条件不同，传导电流需要导体，位移电流不需要导体，可以存在于真空中、导体中、介质中；位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热。7-9 试由麦克斯韦方程组的积分形式，定性地说明怎样产生统一的电磁场；并说明静电场和稳恒磁场是统的一电磁场在一定条件下的一种特殊形式。7-10 麦克斯韦方程组积分形式中，两个高斯定理与静电场和稳恒磁场的高斯定理形式相同。其物理意义是否相同？解：上述两式形式上尽管相同，但在实质上却有原则区别，静电场中穿过任一闭合曲面的通量由静电荷的代数和决定。在电磁场中，穿过闭合曲面的通量除由静电荷的电力线外，还有变化的磁场产生的涡旋电场的电力线，而涡旋电场的电力线是闭合曲线，因而其通量总是零。习 题7-1 一导线ab 弯成如图的形状（其中cd 是一半圆，半径r =0.10m，ac 和db 两段的长度均为 l =0.10m），在均匀磁场（B =0.50T）绕轴线 ab 转动，转速 n =60rev/s 。设电路的总电阻（包括电表M 的内阻）为1,000W，求导线中的感应电动势和感应电流，它们的最大值各是多大？解：设t=0 时，半圆面的法向方向与B同向t时刻时，= 7-2 如图所示，一长直导线载有I =5.0A 的电流，旁边有一矩形线圈ABCD（与此长直导线共面），长l1 =0.20m，宽l2 =0.10m，长边与长导线平行，AD边与导线相距a =0.10m，线圈共1,000匝。令线圈在速度v 垂直于长导线向右运动，v =3.0m/s，求线圈中的感应电动势。解：以直导线上某点作为坐标原点o，沿水平方向建立x轴。在矩形框内距离原点x处取长为、宽为dx的矩形条作为面积元。则穿过此面积元的磁通量为 t时刻穿过矩形框的磁通量为 此时的感应电动势为 时, 7-3 如果上题中的线圈保持不动，而在长直导线中通有交变电流 ，t 以秒计，则线圈中的感应电动势如何？解：7-4 如图所示，质量为M、长度约为 l 的金属棒ab 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可以忽略不计。解：金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为，棒的速度。磁场沿垂直于棒运动方向（垂直于斜面）的分量为故棒的动生电动势为7-5如图所示，金属杆AB 以匀速 v 平行于一长直导线移动，此导线通有电流。问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？解:在上距长直导线为处任取一微元, 其方向指向B，根据动生电动势的定义式，可得：电动势的方向由A指向B，B端的电势高。7-6 有一均匀磁场，磁感强度为，的量值以恒定的变化率在变化，把一块质量为m 的铜，拉成截面半径为 r 的导线，并用它做成一个圆形回路（半径为R）。圆形回路的平面与垂直。试证：这回路中的感应电流为 。式中r 为铜的电阻率，d 为铜的密度。证明：磁感强度以恒定的变化率在变化，在周围产生感生电场，半径为R的圆形回路上感生电场的大小为，感应电动势大小为感应电流的大小为，其中是圆形回路的电阻是导线截面的半径，与质量的关系为， 证毕。7-7 长度为L的铜棒，以距端点（A） a 处为支点，并以角速率 w 绕通过支点垂直于铜棒的轴转动。设磁感强度为的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。解:以支点作为坐标原点0，在距O点为处取一线元，其方向指向B，则该线元相对磁场的运动速度垂直于和，其大小为 故在内产生的动生电动势为所以 7-8 在如本题图所示的平面内，无限长直导线通有稳恒电流I 。一长为L 的金属棒，绕其一端O 在此平面内按顺时针方向匀速转动，角速度为w 。当金属棒转至与长直导线垂直（ON ）位置时，棒内感应电动势的大小和方向。解：建立坐标系，在 ON 上取线元 dl ，则， ， 方向O-N7-9 一电阻为R =2.0 W 的闭合回路，处于变化的磁场中（见题 7-9 图）。若通过回路的磁通量与时间的关系为F m = (5t2+8t+2)10-3 Wb，求t = 2s时回路中的感应电动势及感应电流。解:, 时 电流大小为 方向为顺时针方向7-10 两线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M。（1）将两线圈顺串联，如图(a)所示。求1和4之间的自感。（2）将两线圈反串联，如图(b)所示。求1和3之间的自感。解：（1）将导线顺着串联，设通有电流I，线圈内的磁通量为，总磁通链数为，其中由两线圈自感L1，L2产生的磁通链数为，。由两线圈之间互感产生的磁通链数为，所以，总磁通链数,由，则（2）将两导线反串联，设通有电流I，线圈总磁通链数为，其中由两线圈自感L1，L2和它们之间互感产生的磁通链数分别为，所以，由，则7-11 已知两共轴螺线管，外管线圈半径为r 1 ，内管半径为r 2 ，线圈匝数分别为 N1 及N2 。试证它们的互感系数为 。式中L1和L2分别为两螺线管的自感系数，称为两螺线管的耦合系数。证明: 设管长为，内管通有电流，可知管内磁感强度及磁通链数分别为：由 得内管的自感系数为同理得外管的自感系数为 由 可得 （1）又因为 （2）(1)、（2）两式右边相同, 故7-12 一螺绕环，横截面的半径为 a ，中心线的半径为R，R a ，其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，一个N1 匝，另一个N2 匝。试求：（1）两线圈的自感L1和L2；（2）两线圈的互感M；（3）M与L1和L2的关系。解：（1）设线圈1中通有电流，因为R a，故螺线管内的磁场近似为匀强磁场，磁感应强度为，通过某个横截面的磁通量为，自感系数为同理可得（2）设线圈1中通有电流I1，则螺绕环中的磁感应强度在线圈2中的磁通链数为（3）由它们的表达式可见7-13 两根平行长直导线，横截面的半径都是 a ，中心相距为 d ，属于同一回路。设两导线内部的磁通量都可略去不计。证明：这样一对导线，其长为 l 的一段的自感为：解：两根长直导线在它们之间所产生的磁场沿y轴正方向，该磁场的大小为 . 忽略导线内部磁通量，一对导线长为l的一段的自感为.7-14 一螺线管的自感系数为0.010H，通过它的电流为4A，试求它贮藏的磁场能量。解: 7-15 一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I，试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为 mI 2/16p 。解：载流长直导线内磁场线是以对称轴为圆心的一系列同心圆，取半径为的圆为安培环路L，有 在长直导线内取半径为，厚度为，高为单位长的薄壁圆筒体积元，如图所示，体积元内磁能密度为直导线内总磁能为7-16 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一个0.50T的均匀磁场中的磁场能量密度相等，该电场的电场强度为多少？解:真空中，电场能量密度 磁场能量密度两者相等 7-17 试证：平行板电容器中的位移电流可写为 。式中C是电容器的电容，U是两板板间的电势差。证明：对任意形状的电容器，t时刻极板带电量，当不变时，7-18 半径为R =0.10m的两块圆板，构成平行板电容器，放在真空中。今对电容器匀速充电，使两板间电场的变化率为。求两板间的位移电流，并计算电容器内离两板中心连线 r （R）处的磁感强度 B r ，以及r = R 处的BR 。解：通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场局限在两极板间。（1）电容器的极板面积为，穿过以L为边界的圆平面的电位移通量为，位移电流为（2）在两极板间取半径为r的磁场线为安培回路L，当时，电位移通量为，位移电流为，由于磁场的对称性，H的方向在圆周回路L的切线方向，大小处处相等，根据全电流定理，得则 当时， 7-19 如图所示，电荷 +q以速度 向O点运动（+q 到O的距离以x 表示）。在O点处作一半径为 a 的圆，圆面与垂直，试计算通过此圆面的位移电流。设圆周上各点处的磁场强度为（的方向如何？想一想），试按全电流定律算出。与第六章讲过的运动电荷磁场公式是否相同？解：由运动电荷的磁感强度表示式可以看出，该磁场具有轴对称性，即以电荷运动方向为轴线，与轴线距离相等并与电荷距离相等处磁感强度大小相等，方向在垂直于轴线并以轴线为中心的圆的切线方向。以半径为a的圆中心到电荷的距离为x，其边缘到电荷的距离，当时，运动点电荷周围电场具有球对称性。以电荷为中心，r为半径的球的电位移通量为，通过给定圆的电位移通量等于以r为半径，以该圆为边界的球冠的通量。球冠的面积为，则通过给定圆的电位移通量为因，则通过圆平面的位移电流为 （*）（2）分析表明，运动电荷的磁场具有对称性，磁场线是垂直于轴线圆心在轴上的一系列同心圆。设圆边缘某点P的磁感应强度为B，磁场强度为H，以给定圆为积分回路L，应用全电流定理和（*）式，得由于，则因磁感应强度方向在垂直于轴线的圆的切线方向，并利用矢量积的定义，可以将上式写成矢量式，为与运动电荷磁感应强度计算公式相同。
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