前三章课后习题答案.doc

固体物理学部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。解 由倒格子定义 体心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理 可见由为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢 同理 可见由为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为，其中为正格子原胞体积证 倒格子基矢 倒格子体积 1.5 证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。证： 容易证明与晶面系正交。1.6 如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证 简单正交系 倒格子基矢 倒格子矢量晶面族的面间距面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解 (111)面与(100)面的交线的ABAB平移，A与O重合。B点位矢（111）与（100）面的交线的晶向 晶向指数(111)面与(110)面的交线的AB 将AB平移，A与原点O重合，B点位矢(111)面与(110)面的交线的晶向晶向指数2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为. 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有 前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为当X=1时，有 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为求 1）平衡间距 2）结合能W（单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取 ，计算值。解 1）晶体内能 平衡条件 2) 单个原子的结合能 3) 体弹性模量晶体的体积 A为常数，N为原胞数目晶体内能 体弹性模量 由平衡条件 体弹性模量 （） 4） 2.6用林纳德琼斯(LennardJones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值解 2.7对于，从气体的测量得到LennardJones势参数为计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为0.751kJmo1，试与计算值比较解 以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按LennardJones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：因此，计算得到的晶体的结合能为2.55KJmol，远大于实验观察值0.75lKJmo1对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因3.1已知一维单原子链，其中第个格波，在第个格点引起的位移为，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 解 任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 （1）由于数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以由于是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 （2）已知较高温度下的每个格波的能量为kT，的动能时间平均值为其中L是原子链的长度，使质量密度，为周期。所以 （3）因此将此式代入（2）式有所以每个原子的平均位移为 3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为M的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 牛顿运动方程 体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解A , B有 非零解 两种不同的格波的色散关系 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为2N M=m 长波极限情况下 与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c和10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为求在和处的大略地画出色散关系本题模拟双原子分子晶体，如。解 a/2 C 10c ， 将代入上式有 是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为 =0，解出当K=0时， 当K=时 与的关系如下图所示这是一个双原子(例如)晶体3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 解 设单原子链长度波矢取值 每个波矢的宽度状态密度 dq间隔内的状态数 对应取值相同，间隔内的状态数目 一维单原子链色散关系 令 两边微分得到 代入一维单原子链的频率分布函数3.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有求证：频率分布函数为;. 解 依据，并带入上边结果有所以3.8有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于。证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积，且则3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为证明:量子谐振子的自由能为经典极限意味着（温度较高）应用所以因此其中3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能就是各振动模零点能之和。和代入积分有，由于一股晶体德拜温度为，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟3.11一维复式格子求（1），光学波，声学波。（2），相应声子能量是多少电子伏。（3），在300k时的平均声子数。（4），与相对应的电磁波波长在什么波段。解 （1）， （2）（3）（4）