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150有光阑时，由公式 0lr R=k =+ Rl rRh 1 1 Rh (R+ r0 )22解：根据题意R = 1m= 1mm l = 500nmR hk2= 0.5mmR hk1r0 = 1m当 k 为奇数时，P 点为极大值；k 为偶数时，P 点为极小值。（2）P 点最亮时，小孔的直径为2r1 = 2 r0l = 0.2828cm3波长为 500nm 的单色点光源离光阑 1m，光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm 和 1mm的透光圆环，接收点 P 离光阑 1m，求 P 点的光强 I 与没有光阑时的光强度 I0 之比。kr = 400 5 10 -5 k = 0.1414 kcmcm 代入，得将r0 = 400cm, l = 5 10-5解 ：（ 1）根据上题结论r k =kr0 r2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m 的 P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的 波长为 500nm。r = 0.067cm将cm 带入上式，得k = 1, r0 = 100cm, l = 4500 10-8项，则略去k2 l 2r k =kr0l4k000r2 + r2 = r2 + kr l + k l2 2将上式两边平方，得22k00k0r - rr2 + r2 - r= kl= klkk0而解：20r2 = r2 + r2rk = r + k l1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第个带的半径。若极点到观察点的距离 r0 为 1m，单色光波长为 450nm，求此时第一半波带的半径。第二章 光的衍射16与此对应的 P 到圆孔的距离为当 P 点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为 2 时, P 点也变成暗点。Dr = r0 - r = 100cm - 75cm = 25cm则 P点移动的距离为kl4 632.8 10 -60mm = 750mm=r1.38= r22暗点,此时, P 点至圆孔的距离为(2) 当 P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到 4 时, P 点变成故 P点为亮点.00lrlr632.8 10 -6 103= 3=k = = 1.38 2r22(d )2解 ：（ 1） P 点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时,波带数为4波长为 632.8nm 的平行光射向直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 1m 处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（2）要使 P 点变成与（1）相反的情况， 至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？所以 a1 / 2 a 0 I0= 4= 1 = Ia ap 2220a= a1没有光阑时2222 231211p2 aa + a(1 1 1 13 ) - a + a= a + a = a= 1按圆孔里面套一个小圆屏幕 0l500 10-6 1000 1000 2 = 4+=k r R= hk21111 + 12R2得 1000 1000 500 10R r0l-6 1 =+k1 =+ =110.51 Rhk1 12217同样焦距和口径的透镜可划分为 200 个半波带通光1解: 100 个奇数半波带通光总振幅A100 = a = 100a I = (100a ) 26. 波长 为 的点 光源经波带片成一个像点 , 该波 带片有 100 个透 明奇数半波带(1,3,5,)。另外 100 个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时 该像点的强度比 I:I0.1007 75 53 3532f = f =f = = 1 m LLf 1f 1 = 1 mf 1 = 1 m1Q f = r = 1m = 103 mm)(3) 光强极大值出现在轴的位置是(即3 5 7f , f , f LPP24所以(2) 像点的光强:0pI = A 2 = (a + a ) 2 = 4a2I = 4a2 = 16I01 r = r kl = 103 1 500 10-6 = 0.5 = 0.707(1)kl1 l0= h = 1 f = rR2r2= r0 = 10 mm第一条最亮的像点在r0 = 1m = 1000mm 的轴上,即 f 13单色平行光l = 500nmR0 = r1 : r2 : r3 : rr = 1 : 2 : 3 : 4光; K3 = 3, r2 至r3 不透光; K4 = 4, r3 至r4 透光; K5 = 5, r4 至无穷大不透光.r1 不 透 光 ; K 2 = 2, r1至r2 透解 ： 因 为 5 个 半 波 带 组 成 的 半 波 带 片 上 , K1 = 1,光照明,最亮的像点在距波带片 1m 的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.半波带是 r4 至无穷大的不透明区域,已知 r1:r2：r3:r4=1:4 ,用波长 500nm 的平行单色2 :3 :Dr = r0 - r0 = 150cm - 100cm = 50cm.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径 r1 的不透明圆盘,第二半波带是半径 r1至 r2 的透明圆环,第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆环,第四半波带是 r3 至 r4 的透明圆环,第五则 P 点移动的距离为kl2 632.8 10 -60mm = 1500mm=1.38r = r2218所以该光为紫色光.9. 波长为 546.1nm 的平行光垂直地射在 1mm 宽的缝上,若将焦距为 100cm 的透镜紧贴 于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三 最小值的距离分别为多少?所以nm7l = 5 l = 428.6得2 2 bsinq = 3 + l = 2 + l1 1 2 bsinq = k 0 + l1 8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长. 解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知62p 0.42pb= 0.06mmy =-4lf Dj = 4.8 10 600 p当缝的两边到 P 点的位相差为 6 时，P 点离焦点的距离为p22p 0.42pb= 0.18mmy =lf Dj = 4.8 10 600 p-4当缝的两边到 P 点的位相差为 2 时，P 点离焦点的距离为p故2pby = lf Dj系式为llllf 7. 平面光的波长为 480nm,垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上,会聚透镜的焦距为 60cm.分别计算当缝的两边到 P 点的相位为/2 和/6 时,P 点离焦点的距离.解：设 P 点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 f 。缝宽为b，则位相差和光程差的关Dj = 2p d = 2p bsinq 2p btanq = 2p b y0I4 (100a ) 2 4=I(100a ) 2 11总振幅为2200a = 4(100a )2)2I0 = (A200 = a1 + a1 = 200a20019919所以q1 = 2.180.02d= 3.8 10=sinq 1 =- 27.6 10-4l红解：由光栅方程dsin q = jl 得12. 一束平行白光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波 长为 760nm)0.02bDy = 1.5 10-6 mf l = 300 0.110-9如果改用l = 0.1nm时那么300f l = Dy b = 0.02 0.885 590nmbbb21Dy = y - y 2 f l - f l = f l得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为2bk解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式 sinq= 2k0 + 1 l10. 钠光通过宽 0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距 300cm 的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为 0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用 X 射线(=0.1nm)做此实 验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?得2 b2 110y = 3 f l = 3 1000 5.46110 - 4 = 0.819mm2 f bsinq k0 b k 0 + l1 yb由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式y 3 = 3 l = 1.638mmf 1b1y = f l = 1000 5.461 10 - 4 = 0.5461mmf 得第一、第三最小值的位置分别为解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:bsinq btanq = b y = kl20则ddl3 2l= 2 红设第 2 级红光和第 3 级波长为l 2 的光重合所以22紫1l = 3 l = 3 400 = 600nm则ddl2 1l= 3 紫设第 3 级紫光和第 2 级波长的光重合所以二级和三级光谱部分交迭.因为q 3 q1dd2j = 2 ，= 800nmlsinq = 2 紫得dd1j = 1,sinq= 760nml= 红13. 用可见光(760400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？ 解：根据光栅方程dsin q = jl21所以Dq = q - q = 2.29 - 2.18 = 636 = 2 10 -3 rad式中50d = = 0.02mm1所以q 2 = 2.290.02d= 4.0 10= 2sinq 2 = 2-24.0 10-4l紫21即能得到最大为第六级的光谱线.16. 白光垂直照射到一个每毫米 250 条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30处会 出现哪些波长的光？其颜色如何？5890 10 -8j =4000 = 6.4 (sin 30 + 1)1同样,取 sin q = 1, 得lj = d(sinq + sinq 0 )(2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程d(sin sinq 0 ) = jl ( j = 0,1,2,L) ,可得即能得到最大为第四级的光谱线.5890 10 -8(此处 j只能取整数,分数无实际意义)j = 4000 = 4.21根据已知条件4000400,并取 sin q = 1, 则得cmd = mm =11可见 j的最大值与 sinq = 1 的情况相对应( sinq 真正等于 1 时,光就不能到达屏上).ldsin q = jl 得解: (1) 根据光栅方程j = d sinq15. 用每毫米内有 400 条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm 的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以 30 角入射时,最多能观察到几级光谱?djljl1802 589 10 -7 222(条/cm）1 1 = sinq q = 1510 p 解:Q dsin q = jl( j = 0,1,2,L12）400 506.7nm 重叠.14. 用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最 大值之间的衍射角为 1510，求该光栅 1cm 内的缝数是多少？综上 , 一级光 谱与 二级 光谱 不重 叠 ; 二级光 谱的 600 700nm 与三级 光谱的所以33红2l = 2 l = 2 760 = 506.7nm22Nd103 0.0041Dq= 1.52 10 -5 radl6.24 10-5令cosq 1(即q 0）(3) 谱线的半角宽度的公式为:NdcosqDq =l式中d 为光栅的光栅常数.所以看到的级数为 3.b0.012(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定d = 0.041 = 3.42b1.2 10-31Dq = 2q= 10.4 10 -2 rad= 2l = 2 6.240 10-517. 用波长为 624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b 为 0.012mm，不透明部分的宽度 a 为 0.029mm，缝数 N 为 103 条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝 衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？解 ：（ 1）单缝衍射图样的中央角宽度(为紫色)5 250 10 -6 2j当 j = 5 时= 400nm1l = dsinq =(为绿色)4 250 10 -6 2j当 j = 4 时= 500nm1l = dsinq =(为红色)j当 j = 3 时-3 250 10 6 2= 667nm1l = dsinq =所以这里 j可取 3, 4, 52.6 j 5.1l当l = 390nm 时,250 390 10 -6 2= 5.11j = d sin 30 =得l250 760 10 -6 2= 2.61当l = 760nm 时,j = d sin 30 =由公式dsinq = jl解: 由题意可知390nm l 760nmq = 30d1 = 250 条 毫米23a 0 0.3 = 18光线与界面成 18的角度时，能观察到二级光谱。2d2 0.28 10-90= 0.00525sina =jl = 2 0.0147 10-10解：Q2dsin a 0 = jl19 波长为 0.00147nm 的平行 X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为 0.28nm 问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。2= 2.819 sin1 = 0.0049nml = 2d 0 sina 0(2) 根据布喇格方程在 j = 2 时2d 0 sina0 = jl时2 2Nr 2 6.02 10 2.17230= 0.2819nm= 358.5Md = d = 3 那么相邻两离子间的平均距离d0 为d = Nr 4M 3所以晶胞的棱边由上面两式联立解得1NNaClm= M这里,NaCl 分子的质量由下式给出Vd3边长 d,由于每个晶胞包含四个 NaCl 分子,那么密度为r = m = 4mNaCl棱解: (1) 晶胞的棱边为2d, 那么亮离子间的平均距离d 0为 。现先计算晶胞的d式中 NA=6.021023/mol 为阿伏加德罗常数；（2）用 X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为 1的方向上出现.试计算该 X 射线的波长.nm2NAr= 0.28193M18. NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量 M=58.5，密度=2.17g/cm3，(1)试证明相邻两离子间的平均距离为24（1）试求入射角q 0 ；22 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成q 0 角，在和法线成 11和53的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。那么，第一级最大的方向改变为Dq = q-q = 45即q = 16.71 或q = -18.21代入数据得： sinq 0.2875或sinq -0.3125玻片加入后的光栅方程为d(sinq+ sinq 0 ) = l代入上式，得将d6q = arcsin( ) = 17.46ll = 500nm, d = 1 104 nmd ，j = 1 时，sinq = l，故玻片未加前的光栅方程为dsinq = jl21 题图单色平行光经劈后的偏向角为q 0 = (n- 1) A= 0.0125radA A = 0.025rad = 1.43解：首先求玻璃片的顶角 A,200tan A 1 - 0.5 = 0.025端由 1mm 均匀变薄到 0.5mm，试问第一辑主最大方向的改变了多少？21 一宽度为 2cm 的衍射光栅上刻有 12000 条刻痕。如图所示，以波长l = 500nm的单色光垂直投射，将折射率为 1.5 的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一3+2 (cos DF +cos2 DF +cos 3Dj )= aq2（cos DF +cos 3Dj ）2+（sin DF +sin 3Dj ）222Iq = Aq = Aqx + Aqy = aq22证明：设单缝衍射的振幅为aq ,三缝衍射的总振幅为 Aq ，则Aqx aq （cos DF +cos 3Dj ）Aqy aq （sin DF +sin 3Dj ）,式中llu2q 0I = Iu = pbsinq , v = pdsinqu3 + 2(cos 2v+ cos 4v+ cos 6v )sin220 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为 b，缝距分别为 d 和 2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：25故， j = 2j0.2sinq1=sinq 2j + 1 = 0.3解：(1)光栅方程为dsinq1 = jl dsinq 2 = ( j+ 1)l23 波长为 600nm 的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在sinq1 = 0.2 和 sinq 2 = 0.3 处，第四级为缺级。（1）试求光栅常量；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。将(4)代入（6）得 sinq = 0.6855 1(5)二级谱线：d0(b)sinq = sinq + 2 l(4)一级谱线：故 dd0l = sin 53 - sin 17.7sin 53 = sin 17.7 + ld（2）当位于法线两侧时，满足d0sinq = sinq + jl0代入(3)得将q = 11 ,q = 53q = 17.7(3)(1)- (2)，得20(a)sinq = 1 (sinq- sinq)(2)光栅方程为：dsinq- sinq 0 = l0如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧，根据光程差的计算，d(1)光栅方程为d(sinq + sinq 0 ) = l011解 ：（ 1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧，根据光程差的计算，试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？（2）26j = 0,1,2,3 5,6,7,9故 其 时 最 多 观 察 到j = 9, 又 考 虑 到 缺 级 4,8 ， 所 以 能 呈 现 的 全 部 级 次 为(3)故最大的级次为2j = 10sinq = sin p即光栅上缝的最小宽度为1.5 10 -3 mm(2) 由第四级缺级，得4即光栅常量为 6 10 -3 mmb = d = 1.5 10-3 mm故sinq 0.2d = 2 600 = 6000nm = 6 10-3 mmjl
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