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东 南 大 学 考 试 卷（A、B卷）一、 简单计算题（每题8分）：1、 已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。2求序列和的卷积和。3已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。2、 已知某连续系统的特征多项式为：试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？3、 已知某连续时间系统的系统函数为：。试给出该系统的状态方程。4、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号的频谱为。 e(t)图(a)h(t)y(t)(tf h(t)t图(c)011试：1） 分别画出的频谱图和时域波形；2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为，在t=0和t=1时测得系统的输出为，。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。四(12分)、已知某离散系统的差分方程为 其初始状态为，激励；求：1） 零输入响应、零状态响应及全响应；2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3） 判断该系统的稳定性。五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。1） 求其系统函数；2） 粗略绘出该系统的幅频特性；3） 画出该系统的框图。六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理。答案1、 已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。解法一：f(t)的拉普拉斯变换为，解法二：f(t)=L-1F(jw)=(e-t - e-2t )e(t)f(k)= (e-k- e-2k )e(k)=F(z)=Zf(k)= 2、 求序列和的卷积和。解：f1(k)=1,2,1=d(k)+2d(k-1)+ d(k-2)f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k-1)+ f2(k-2)3、已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。解：，两个单阶极点为-0.4、-0.5当收敛域为|z|0.5时，f(k)=( -0.4)k-1-( -0.5)k-1)e(k-1)当收敛域为0.4|z|0.5时，f(k)= ( -0.4)k-1e(k-1)+( -0.5)k-1e( -k)当收敛域为|z|0.4时，f(k)= - ( -0.4)k-1e(-k)+( -0.5)k-1e( -k)点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。4、已知某连续系统的特征多项式为：试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？ 解 构作罗斯-霍维茨阵列 由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明右半平面无极点。再由 令则有 可解得 相应地有jj这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j，系统为临界稳定。所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。5、已知某连续时间系统的系统函数为：。试给出该系统的状态方程。解：系统的微分方程为取原来的辅助变量及其各阶导数为状态变量并分别表示为、，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程状态方程： 输出方程：或者写成矩阵形式，上式即为6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。解：二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号的频谱为。 试：1） 分别画出的频谱图和时域波形；2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；解：1）根据傅立叶变换的性质得：2）y(t)=e(t)f(t)*h(t)=d(t+2)+2d(t)+ d(t-2) *h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t-2)3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。点评：此题做对的非常少，大多数写不出f(t)的表达方式。三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为，在t=0和t=1时测得系统的输出为，。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。解：1）电路满足KVL：得2）系统函数为：，特征根为l1=-0.5，l2=-1Yzs(s)=H(s)E(s)= =零状态响应：yzs(t)=(e-0.5t -e-t)e(t)yzs(0)=0，yzs(1)=(e-0.5 -e-1)；yzi(0)= y(0) -yzs(0)=1，yzi(1)= y(1) -yzs(1)= -e-1 ；yzi(t)=(C1e-0.5t +C2e-t)e(t),得C1=0，C2=1零输入响应：yzi(t)= e-te(t)；全响应：y (t)= e-0.5t e(t)点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分分数。四(12分)、已知某离散系统的差分方程为 其初始状态为，激励；求：1） 零输入响应、零状态响应及全响应；2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3） 判断该系统的稳定性。解：，特征根为n1=0.5，n2=11） yzi(k)=(C10.5k+C2)e(k)；代入初始条件得C1=-2，C2=2零输入响应：yzi(k)= (2-20.5k)e(k)Yzs(z)=H(z)E(z)= =零状态响应：yzs(k)= (0.5k +k-1)e(k)yzs(0)=0，yzs(1)=(e-0.5 -e-1)；全响应：y (k)= (1+k-0.5k)e(k)2）自由响应：(1 -0.5k)e(k)受迫响应：ke(k)，严格地说是混合响应。3）系统的特征根为n1=0.5（单位圆内），n2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。4） 求其系统函数；5） 粗略绘出该系统的幅频特性；6） 画出该系统的框图。解：1）系统函数为：2）系统的幅频特性为：3）系统的框图六、（10分）请叙述并证明Z变换的卷积定理。解：卷积定理 设,，则 或用符号表示为：若，则两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下 交换上式右方的取和次序，上式成为 对上式右方第二个取和式应用式(815)的移序特性，则得 点评：很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出。
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