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高等代数(下）期末考试试卷（C卷）一. 选择题（每空2分，共12分）1( D )下列集合哪一个是R n 的子空间 2( B ) 令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量下列哪一个映射是R3的线性变换3. (C) 如果, 是线性空间V的两个子空间, 且, , , 那么为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 54. （C ）若4阶方阵A的初等因子为, l +3, l + 2. 则 A的不变因子是 () 1，（l +3），（l +2），； (B) 1，1， (l +3) (l + 2) ，；(C）1，1，（l +3），；(D) 1，1，(l +2)，； 5（ B ）设矩阵A的全部不同特征值为，则下列哪一说法与A可对角化不等价 （A） A有n个线性无关的特征向量； （B） ;（C） ;( D) A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积;6.（D） 在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为 (A) 10; （B）4； (C) 9； （D）6；.二. 填空题（每空分，共18分）1、已知是数域P上的一个固定的数，而是的一个子空间，则_， dim ()_.2. 设是的两个线性变换，定义如下, ()则 _.3. 已知的标准形为，则A的特征多项式，的最小多项式为_。4. 设，则向量是A的属于特征值 的特征向量5 若A=与B=相似，则 x =_, y=_。6设三阶实对称矩阵A的特征值，则。 三.判断题(对的打”,错的打”X”,每小题2分,共10分) 1. 对于矩阵的加法和数乘, 是的子空间 ( ）2. 任一实对称矩阵A都与对角阵既相似又合同 ( )3. 设是数域P上线性空间V的线性变换, W是一维-子空间, 那么W中任何一个非零向量都是属于特征值的特征向量. ( )4在欧几里得空间V中,保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换 必为正交变换 （ ）5与等价当且仅当它们有相同的行列式因子. （）四计算题( 共3小题, 33分)1设, 和, 是线性空间的两组基, 是的线性变换，已知 , (1) 求在基, 下的矩阵A； (2) 求基, 到基, 的过渡矩阵X ； (3) 求在, 下的矩阵。. (7分)2. 设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为 （1）令，求； （2）若与正交，求的值. （10分）3设二次型，（1）写出二次型所确定的矩阵； （2）用正交线性替换将二次型化为标准形； （3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正定性 （16分） 五. 证明题 (每题9分，共27分)1. 设与分别是齐次方程组的解空间，证明：2证明：若是实对称矩阵，则中分别属于的不同特征值的特征向量必正交 3设是一个n维欧氏空间，是的一个对称变换，证明：值域是核的正交补. 答案 幻灯片 1幻灯片 2幻灯片 3幻灯片 4幻灯片 5幻灯片 6幻灯片 7幻灯片 8幻灯片 9幻灯片 10幻灯片 11幻灯片 12幻灯片 13幻灯片 14幻灯片 15幻灯片 16幻灯片 17幻灯片 18幻灯片 19幻灯片 20幻灯片 21幻灯片 22
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