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1 解析几何题库 一、选择题 1.已知圆 C 与直线 xy =0 及 xy 4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则圆 C 的方程为 A. 22(1)() B. 22(1)()x C. D. 【解析】圆心在 xy 0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 即可.2 【答案】B 2.直线 1与圆 21的位置关系为（ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 【解析】圆心 (0,)为到直线 yx，即 10y的距离 12d，而 01，选 B。 【答案】B 3.圆心在 y轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A 22()x B 22()1xy C 13D 3 解法 1（直接法）：设圆心坐标为 (0,)b，则由题意知 2()()1ob，解得 2b，故圆的方程为 22()1xy。 解法 2（数形结合法）：由作图根据点 12到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2） ，故圆的方程为 () 解法 3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在 y轴上，排除 C。 【答案】A 4.点 P（ 4，2）与圆 24xy上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A. ()(1)x B. 22()(1)4xy C. 22y D. 【解析】设圆上任一点为 Q（s，t） ，PQ 的中点为 A（x，y） ，则 2tsx ，解得： 24ytxs ，代入圆方程，得（2x4） 2（2y2） 24，整理，得： 22()(1)x 【答案】A 5.已知直线 1 2:(3)()0,:(3)0,lkkylkxy与 平行，则 k 得值是（ ） A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 【解析】当 k3 时，两直线平行，当 k3 时，由两直线平行，斜率相等，得： k43k3，解得：k5，故选 C。 2 【答案】C 6.过圆 22(1)()1Cxy： 的圆心，作直线分 别交 x、 y 正半轴于点 A、B， O被圆分成四部分（如图） ， 若这四部分图形面积满足 |,SS则直线 AB 有（ ） （A） 0 条 （B） 1 条 （ C） 2 条 （D） 3 条 【解析】由已知，得： ,IVIII，第 II，IV 部分的面 积是定值，所以， IIS为定值，即 IIS为定值，当直线 AB 绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选 B。 【答案】B 7.过原点且倾斜角为 60的直线被圆学 240 xy所截得的弦长为 科网 A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 2224 23xyxy解 析 ： （ ） ，A(0,)O=,到 直 线 N的 距 离 是 1,O=弦 长 【答案】D 二、填空题 8.以点（2， 1）为圆心且与直线 6xy相切的圆的方程是 . 【解析】将直线 6xy化为 0,圆的半径 |216|5r, 所以圆的方程为 225()(1) 【答案】 xy 9.设直线 1l的参数方程为 13 xt （t 为参数） ，直线 2l的方程为 y=3x+4 则 1l与 2的距离为_ 【解析】由题直线 1l的普通方程为 0y，故它与与 2l的距离为 503|4|。 【答案】 503 10.若圆 42yx与圆 )0(622ayx的公共弦长为 32，则 a=_. 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y1 ， 利用圆心（0，0）到直线的距离 d 1 |a 为 322，解 得 a=1. 3 【答案】1 11.若直线 m被两平行线 12:0:30lxylxy与 所截得的线段的长为 2，则 m的倾斜角可以是 5 30 45 6 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为 21|3|d，由图知直线 m与 1l的夹角为 o30， 1l的倾斜角为 o45，所以直线 m的倾斜 角等于 075430o或 05o。 【答案】 12.已知 ACBD、 为圆 O: 24xy的两条相互垂直的弦，垂足为 1,2M,则四边形 ABCD的面积的最大值为 。 【解析】设圆心 到 、 的距离分别为 12d、 ,则 2213dO+. 四边形 AB的面积 2211|(4)8()52SABCDd- 【答案】5 13.已知圆 O： 52yx和点 A（1，2） ，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= (x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 2，所以所求面积为4521 。 【答案】 14.过原点 O 作圆 x2+y2-6 x8 y 20=0 的两条切线，设切点分别为 P、 Q， 则线段 PQ 的长为 。 【解析】可得圆方程是 22(3)(4)5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 4PQ. 【答案】4 15.设直线系 :cos()sin1(0)Mxy,对于下列四个命题： A 中所有直线均经过一个定点 B存在定点 P不在 中的任一条直线上 C对于任意整数 (3)n，存在正 n边形,其所有边均在 M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 【解析】因为 cos(2)sin1xy所以点 (0,2)P到 中每条直线的距离 221cosind 即 为圆 C: 2的全体切线组成的集合,从而 M中存在两条平行直线, 4 所以 A 错误； 又因为 (0,2)点不存在任何直线上,所以 B 正确； 对任意 3n,存在正 边形使其内切圆为圆 C,故 正确；M 中边能组成两个大小不同的正三角形 A和 EF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 ,BC 三、解答题 16.（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy中，已知圆 221:(3)14Cxy和圆222:(4)54 . （1）若直线 l过点 (,0)A，且被圆 1截得的弦长为 ，求直线 l的方程； （2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1和 2，它们分别与 圆 1C和圆 2相交，且直线 1l被圆 截得的弦长与直线 2l被圆 C截得的弦长相等，试求 所有满足条件的点 P 的坐标。 解 (1)设直线 l的方程为： (4)ykx，即 40ky 由垂径定理，得：圆心 1到直线 l的距离 223()1d， 结合点到直线距离公式，得： 2|3|,1k 化简得： 2 7470,4kor 求直线 l的方程为： y或 ()2x，即 0y或 72480 xy (2) 设点 P 坐标为 (,)mn，直线 1l、 的方程分别为： ()ynkxyxk ，即： 1,kxynmxynmkk 因为直线 1l被圆 C截得的弦长与直线 2l被圆 C截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：圆心 1到直线 与 直线 2l的距离相等。 故有： 22 41|5|3nknmk ， 化简得： ()3,(8)5kmn或 关于 k的方程有无穷多解，有： 0,nm-+=或 解之得：点 P 坐标为 1(,)2或 5,。 20052008 年高考题 5 一、选择题 1.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 20 xy与 x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）. A3 B2 C 13 D 12 答案 A 解析 ,0:11kyxl ， 7,047:22kyxl ，设底边为 kxyl:3 由题意， 3l到 1所成的角等于 2l到 3所成的角于是有 71121 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。 2.原点到直线 05yx的距离为 （ ） A1 B 3 C2 D 5 答案 D 解析 521 d 。 3.将直线 yx绕原点逆时针旋转 09，再向右平移个单位长度，所得到的直线为 ( ) A. 13 B. 13yx C. yx D. 答案 A 4.如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C、 D 的定圆所围成的区域（含边界） ， A、 B、 C、 D 是该圆的四等分点若点 ()P， 、点 ()x， 满足 x 且 y ，则称 P 优于 如果 中的点 Q满足： 不存在 中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 （ ） B C D 答案 D 5.若直线 与圆 12yx相交于 P、 Q 两点，且 POQ120（其中 O 为原点） ，则 k 的值为 （ ） A.- 3或 B. 3 C.- 2或 D. 2 答案 A 6. “ 2a”是“直线 20axy平行于直线 1xy”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 6 ABlC C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 7圆 1)3()1(22yx的切线方程中有一个是 （ ） A.xy0 B.xy0 C.x0 D.y0 答案 C 8.设直线的方程是 ，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A20 B19 C18 D16 答案 C 9.设直线 l过点 )0,2(，且与圆 12yx相切，则 l的斜率是 工 （ ） A. 1B. 2 C. 3 D. 3 答案 C 10.若直线 02cyx按向量 )1,(a平移后与圆 52yx相切，则 c 的值为 （ ） A8 或2 B6 或4 C4 或6 D2 或8 答案 A 11. “m= 1”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题 12.已知圆 C 的圆心与点 (2,1)P关于直线 y=x+1 对称，直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,两点，且 6B，则圆 C 的方程为_. 答案 22()8xy 13.已知直线 :40l与圆 22:1xy，则 上各点到 l的距离的最小值为_. 答案 2 14.经过圆 xy的圆心 C，且与直线 0 xy垂直的直线 程是 答案 10 15.如图， AB， 是直线 l上的两点，且 2AB两个半径相等的动圆分别与 l相切于 ， 点， 是这两个圆的公共点，则圆弧C ， 与线段 围成图形面积 S的取值范围是 7 答案 2,0 16.圆心为 (1)， 且与直线 4xy相切的圆的方程是 答案 (x-1)2+(y-1)2=2 17.已知变量x,y满足约束条件1 x+y 4,-2 x-y 2.若目标函数z=ax+y(其中a 0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_. 答案 a 1 18.设实数 x,y 满足 的 最 大 值 是则 x,0324 . 答案 第二部分 三年联考汇编 2009 年联考题 一、选择题 1. “a= 3”是“直线 210axy与直线 640 xyc平行”的（ ）条件 A充要 B充分而不必要 C必要而不充分 D既不充分也不必要 答案 C 2.直线 x+y+1=0 与圆 2的位置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 答案 C 3.两圆 32cos3cos4ininxyy与 的位置关系是 （ ）A内切 B外切 C相离 D内含 答案 B 4.已知点 P（x，y）是直线 kx+y+4 = 0（k 0）上一动点，PA 、 PB 是圆 C： 20 xy的两条切线，A 、 B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 （ ） A3 B 1C 2D2 答案 D 5.已知实系数方程 x2+ax+2b=0,的一个根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则 1ba的取值范围是 （ ） A （ ，1） B （ ，） （ ，） （，） 答案 A 14 12 1214 13 6.点 (,)t到直线 3xy的距离不大于 3，则 t的取值范围是 （ ） A B 10t C 10D 0t或 1t 答案 C 7.已知圆的方程为 268xy，设圆中过点 (2,5)的最长弦与最短弦分别为 AB、 D，则直线 AB与 的斜率之( ) A. 1 B. C. D. 2 答案 B 8.直线 )(:kl和圆 02yx 的关系是（ ）A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切答案 C 9.过点 )2,M的直线 l将圆(x-2) 2+y2=9 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线 l的方程是 （ ） A 1x B 1 C 01yx D 032yx 答案 D 二、填空题 8 10.从圆(x-1) 2+(y-1)2=1 外一点 (,3)P向这个圆引切线，则切线长为 答案 2 11.直线 03与直线 04byax关于点 ),1(A对称，则 b_。答案 2 12.过点 C(,-)作圆 252的切线，切点为 A、B，那么点 C 到直线 AB 的距离为_。答案 5 13.光线由点 P(2,3)射到直线 1yx上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为 .答案 4x5y 10 14.过 )1,2(M的直线 l 与圆 C： (x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点，当ACB 最小时，直线的方程为 .答案 0342yx 20072008 年联考题 一、选择题 1.已知点 A（3,2） ，B（-2,7） ，若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1，则 a 的值为（ ） A3 B-3 C9 D-9 答案 D 2.由直线 1yx上的点向圆(x-3) 2+(y+2)2=1 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A. 7 B. 3 C. 19 D. 25 答案 A 3.圆 21yx被直线 0 xy分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （ ） A12 B13 C14 D15 答案 B 4.直线 yxb平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长，则 b （ ） A3 B5 C3 D5 答案 D 5.把直线 20 xy按向量 (2,0)a平移后恰与 2420 xyx相切，则实数 的值为（ ） A 或 B 或 C 或 D 2或 答案 C 6.若圆 225()3(ryx） 上有且仅有两个点到直线 4x3y2=0 的距离为 1，则半径 r 的取值范围是 （ ） A.（，6） .，） .（， .，答案 A 7.已知直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）条 A.66 B.72 C.74 D.78 答案 C 二、填空题 7.光线从点 P（3，5）射到直线 l:3x-4y+4=0 上，经过反射，其反射光线过点 Q（3，5） ，则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 . 答案 8 8.圆 (sin1 coyx 为参数）的标准方程是 ，过这个圆外一点 P2,的该圆的切线方程是 。答案 (x1) 2(y1) 21；x 2 或 3x4y60 9.与圆 ()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_条.答案 4 10.设直线 a与圆(x-1) 2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点， 且弦长为 32，则 a= 。答案 0 9 11.设直线 1l的方程为 02yx，将直线 1l绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线 2l，则 的方程是 答案 2xy 2 0 12.若 5 kx+2 对一切 x5 都成立，则 k 的取值范围是_. 答案 k1/10 或 k0）过 M（2， ） ，N ( 6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O？若存在，写出该圆的方程，并求 |AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆 E: 21xyab （a,b0）过 M（2， ） ，N ( 6,1)两点, 所以 2461ab 解得 2814 所以 2 椭圆 E 的方程为 2184xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 O,设该圆的切线方程为ykxm 解方程组 2184xy km 得 22()8xk,即 22(1)480kxm, 则= 22216()8(4)0k,即 201228xmk , 22221212112(8)48()()11kmkmkyxkxmx 要使 OAB,需使120 ,即 280 ,所以 230,所以 230 又 240,所以238m ,所以 23,即 6或 6,因为直线 ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21rk , 22831mrk , 2r,所求的圆为 283,此时圆的切线 ykxm都满足63m 或 63,而当切线的斜率不存在时切线为 6x与椭圆 2184xy 的两个交点为 26(,)3或2(,) 满足 OAB,综上, 存在圆心在原点的圆 23y，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAB . 30 因为 12248kmx , 所以 2222211148(4)()()()11kmkmxx , 22222111()|()()AByxk4224353kk , 当 0时 21|ABk 因为 2148k所以 20184k, 所以 23k, 所以 46|33AB当且仅当 2k时取”=”. 当 0k时, 46|. 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 26(,)3或 26(,)3, 所以此时 46|3AB, 综上, |AB |的取值范围为 |23AB即: 4|6,23 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法 求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 47.（本小题满分 14 分） 设 mR,在平面直角坐标系中 ,已知向量 (,1)amxy,向量 (,1)bxy, ab,动点 (,)Mxy的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 41,证明:存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 O(O 为坐标原点), 并求出 该圆的方程; 31 (3)已知 41m,设直线 l与圆 C: 22xyR(1R2)相切于 A1,且 l与轨迹 E 只有一个公共点 B1,当 R 为何值时,|A 1B1|取得最大值 ?并求 最大值. 解（1）因为 ab, (,1), ()b, 所以 20 xy, 即 21mxy. 当 m=0 时,方程表示两直线 ,方程为 ; 当 1时, 方程表示的是圆 当 0且 时,方程表示的是椭圆; 当 时,方程表示的是双曲线. (2).当 41m时, 轨迹 E 的方程为 214xy ,设圆心在原点的圆的一条切线为 ykxt,解方程组 214 ykxt 得22()xkt ,即 22(4)80kxt, 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使= 222641()16(41)ttkt, 即 20kt,即 24tk, 且 12284ktx22221212112()84()()141ktkttkyxtxtxt , 要使 OAB, 需使 120y,即 2250t , 所以 2540tk, 即 254tk且 241tk, 即 2245k恒成立. 所以又因为直线 yx为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 21 trk , 22(1)45ktr , 所求的圆为 245xy. 当切线的斜率不存在时,切线为 5x,与 24xy 交于点 ),5(或 )2,(也满足 OAB. 综上, 存在圆心在原点的圆 2y，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 . 32 (3)当 41m时,轨迹 E 的方程为 214xy ,设直线 l的方程为 ykxt,因为直线 l与圆 C: 22xyR(10,可设直线 AS 的方程为 ()ykxa. 45 由 222421() 0()xyakxakak得 设点 2,(),1TTxyak 故 21ak ,从而 2)Tx. 亦即 22(,).2,0)(,)1akBaT 由 ()xyk得 (,)(,).sOSak 由 BTOS,可得 22401T 即 2240ak0,ka 经检验,当 2时,O,M,S 三点共线. 故存在 2a,使得 O,M,S 三点共线. 方法二: () 同方法一. () 假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上, 故 SMBT. 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k0,可设直线 AS 的方程为 ()ykxa 由 22221() 0()xyabxakak得 设点 ,Txy,则有 42().1Tka 故 2 22 2, ().1Tak akaxT 从 而 亦 即 2(,0),TBSMyka故 由 ()xayk得 S(,)所直线 SM 的方程为 2()yakx O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 2().0,2aKa 故存在 ,使得 O,M,S 三点共线. 60.（本小题满分 12 分） 已知，椭圆 C 以过点 A（1， 32） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。 46 （1） 求椭圆 C 的方程； （2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 （）解 由题意， c1,可设椭圆方程为 2114xyb 。 因为 A 在椭圆上，所以 29，解得 23， b 4（舍去） 。 所以椭圆方程为 143xy （）证明 设直线 方程：得 3()2kx，代入 2143xy 得 23+4(32)410kx（ ） 设 （ E， y） ， （ F， y） 因为点 （1， 2）在椭圆上， 所以 2()134Ekx ， y 。 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k代 ，可得234()1Fkx ， y 。 所以直线 EF 的斜率 ()21FEFEEykxkkx。 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 12。 61.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. （）求椭圆 C 的方程； （）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， OPM =，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解 ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ac， ，由已知得1,4,37acac解 得 ， 所以椭圆 C的标准方程为 2167xy 47 （）设 (,)Mxy，其中 4,。由已知 2OPM 及点 在椭圆 C上可得22916() 。 整理得 2261xy，其中 4,x。 （i） 34时。化简得 9 所以点 M的轨迹方程为 47(4)3yx，轨迹是两条平行于 x轴的线段。 （ii） 34时，方程变形为 221169y ，其中 4, 当 0时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 y轴上的双曲线满足 4x的部分。 当 314时，点 M的轨迹为中心在原点、长轴在 x轴上的椭圆满足 的部分； 当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆； 62.（本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的方程为 21(0,)yxab ，离心率 52e，顶点到渐近线的距离为 25。 （1）求双曲线 C 的方程； (2)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 1,23APB ，求AO 面积的取值范围。 方法一 解（）由题意知，双曲线 C 的顶点（0， a）到渐近线 50axby的 距 离 为 ， 所以 25ab所以 25abc 由 22 515cabac得 所以曲线 C的方程是 2y41x 48 （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2yx 设 (,2),)0,AmBn（ 由 ,),Pur m-n(+得 点 的 坐 标 为 （ 1 将 P 点的坐标代入 2 2,44yx化 简 得 = 因为 2,AOB1tan()2,tan,si25 又 5m 所以 1si()122AOBSm 记 1(),3 则 21 由 ()0S得 又 S（1）=2， 89(),()34S 当 时， AOB面积取到最小值 2，当当 13时， AOB面积取到最大值 83 所以 面积范围是 , 方法二（）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 250axby的 距 离 为 ，252abbc即 由 22 515cabac得 所以曲线 C的方程是 2y41x . （）设直线 AB 的方程为 ,km 由题意知 2,0k 49 由 2,),2ykxmmAk得 点 的 坐 标 为 （ 由 ,),Byx得 点 的 坐 标 为 （ 121, (,()2APkk得 点 的 坐 标 为 （ur 将 P 点的坐标代入 21x4得 4)m 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）AOBS = BOS. 211()24()12ABxxxmkkgg 63.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 21(0)xyab 的左、右焦点分别为 12F、 ，离心率 2e，右 准线方程为 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 1F的直线 l与该椭圆交于 MN、 两点，且 2263FN ，求直线 l的方程。 解 （I）由已知得 2 ca ，解得 ,1ac 21bc 所求椭圆的方程为 2xy . （II）由（I）得 1(,0)F、 2(,) 若直线 l的斜率不存在，则直线 l的方程为 1x，由 21 xy 得 2 50 设 2(1,)M、 2(,)N， 2(,)(,)(4,0)F ，这与已知相矛盾。 若直线 l的斜率存在，设直线直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为 (1)ykx， 设 1(,)Mxy、 2(,)N， 联立 2 ky ，消元得 22(1)40kxk 221214,kxxk ， 12122()y， 又 ,(1,) FMxyFNxy 2122( 222212186)()13 kkxy 化简得 420370k 解得 21或 (舍 去 ) 所求直线 l的方程为 1或yxx 64.（本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线 2:E与圆 22:(4)(0)Myr相 交于 A、B 、C、D 四 个点。 （）求 r 的取值范围 （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 解：（）将抛物线 2:Eyx代入圆 22:(4)(0)xyr的方程， 消去 2y，整理得 27160r 抛物线 :x与圆 2:()()Myr相交于 A、 B、 C、 D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正 根 51 0167)(49222rx 即 425r、 。 解这个方程组得 451(,). （II ）设四个交点的坐标分别为 1,Ax、 1(,)Bx、 2(,)Cx、 2(,)Dx。 则由（I）根据韦达定理有 212127,6r， 5,4 则 21212|()|()Sxxx2 212()4)76(415)r 令 16rt，则 22(7)Stt 下面求 2S的最大值。 方法 1：由三次均值有：221(7)()(14)Stttt 33721428()()2ttt 当且仅当 4tt，即 76时取最大值。经检验此时 5,)r满足题意。 方法 2：设四个交点的坐标分别为 1(,)Ax、 1(,)Bx、 2(,Cx、 2(,)Dx 则直线 AC、BD 的方程分别为 )(),( 11211121 xyxxy 解得点 P 的坐标为 0,(。 设 21xt，由 216rt及（）得 )4,0(t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)2(121xxS 则 4)(2( 21212112 xxS将 721，t 代入上式，并令 tf，等 )20(349828)7()2()3 tttttf ， )76(9564tttt ， 52 令 0)(tf得 67t，或 2t（舍去） 当 t时， 0)(tf；当 67t时 0)(tf；当 276t时， 0)(tf 故当且仅当 67t时， )(tf有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大， 故所求的点 P 的坐标为 )0,(。 65.（本小题满分 13 分） 如图，过抛物线 y22 PX(P0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、 N 两点， 自 M、 N 向准线 L 作垂线，垂足分别为 M1、 N1 ()求证： FM1 FN1: ()记 FMM1、 、 FM1N1、 FN N1的面积分别为 S1、 、 S2、 ， S3，试判断 S224 S1S3是否成立， 并证明你 的结论。 （1） 证明 方法一 由抛物线的定义得11,MF 1FNF 如图，设准线 l 与 x 的交点为 11/Q 111,FMFN 而 01 8 即 012819FN 故 M 方法二 依题意，焦点为 (,0)2pF准线 l 的方程为 2px 设点 M,N 的坐标分别为 12,)xyN（ （ 直线 MN 的方程为 2pxmy，则有11212(,)(,)(,)2pyMpFp 53 由 2 pxmy 得 220py 于是， 12， 2120FMNpyp ，故 1FMN （）解 2134S成立，证明如下： 方法一 设 2(,)(,)xy，则由抛物线的定义得1112|ppFNFx ，于是1|()|22SMy1212|p 3|()|NFxy2 213111224(|4()|()|ppSyxyxy22112121212)|4py 将 12,xmpy 与 12 ymp 代入上式化简可得 22()()pp ，此式恒成立。 故 2134S成立。 方法二 如图，设直线 MNM 的倾角为 ， 12|,|FrN 则由抛物线的定义得 113|,|r11/,F 于是 222131sin,sin()sinSrSrr 在 FM和 1N中，由余弦定理可得2222221 11|cos(cos),|cos(1cos)rrFNrr 54 由（I）的结论，得 21|SFMN2 2 21 113|4(cos)()sin44SrrS 即 23，得证。 66. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C的中心为直角坐标系 xOy的原点，焦点在 x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 （1）求椭圆 的方程 （2）若 P为椭圆 C的动点， M为过 P且垂直于 x轴的直线上的点， OPeM （e 为椭圆 C 的离心率） ，求点 M的轨迹方程，并说 明轨迹是什么曲线。 解（1）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 ,7.ac 解得 a=4,c=3, 所以椭圆 C 的方程为 21.67xy （）设 M（x,y）,P(x , 1),其中 4,. 由已知得 22.e 而 34e，故 2216()9().xyxy 由点 P 在椭圆 C 上得 ， 217,6 代入式并化简得 29,y 所以点 M 的轨迹方程为 47(4),3x轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 67.（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点 运动时，d 恒等于 点 P 的横坐标与 18 之和 （）求点 P 的轨迹 C； （）设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。 55 解（）设点 P 的坐标为（x ，y ） ，则 24(3)dxy3 x-2 由题设 当 x2 时，由得 21(3)6,xyx 化简得 21.367 当 2时 由得 2,化简得 2yx 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 1:367xy在直线 x=2 的右侧部分与 抛物线 2:y在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点） 所组成的曲线，参见图 1 （）如图 2 所示，易知直线 x=2 与 1C， 2的交点都是 A（2 ， 6） ，B（2， 6） ， 直线 AF， BF 的斜率分别为 AFk= ， BFk= 6. 当点 P 在 1C上时，由知62Fx . 当点 P 在 上时，由知 3x 若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 (3)ykx （i）当 k AF，或 k BF，即 k-2 6时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ 1x， y） ，N（ 2x， y）都在 C 1上，此时由知 MF= 6 - 12x NF= 6 - 12x 从而 MN= MF+ NF= （6 - 1）+ （6 - 2x）=12 - ( 1x+ 2) 由 2 (3)167ykx 得 22(4)308kxk 则 1， y是这个方程的两根，所以 1x+ 2= 243k *MN=12 - 2（ 1x+ 2）=12 - 234k 因为当 26,k或 时 56 22110.344kMN 当且仅当 26k时，等号成立。 （2）当 ,26AEANk时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点 12(,)(,)MxyN 分别在 12,C上，不妨设点M 在 1C上，点 2上，则知， 12,3MFxN 设直线 AF 与椭圆 1的另一交点为 E 002(,).xy则 0632Fx AF 所以 NFA。而点 A，E 都在 1C上，且 ,AEk有（1）知 110,EMN所 以 若直线 的斜率不存在，则 1x= 2=3，此时02()9MN 综上所述，线段 MN 长度的最大值为 1 . 68.（本小题满分 14 分） 已知直线 20 xy经过椭圆 2:(0)xyCab 的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 C的右顶点为 B，点 S和椭圆C 上位于 轴上方的动点，直线， ,ASB与直线 1:3lx 分别交于 ,MN两点。 （I）求椭圆 的方程； （）求线段 MN 的长度的最小值； （）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点 T，使得 SB的面积为 15？若存在，确定点 T的个数，若不存在， 说明理由 57 解 方法一（I）由已知得，椭圆 C的左顶点为 (2,0)A上顶点为 (0,1)2,1Dab 故椭圆 C的方程为 214xy （）直线 AS 的斜率 k显然存在，且 0k，故可设直线 S的方程为 (2)ykx， 从而 106(,)3M 由 214 ykx 得 222(4)164kxk0 设 1(,)Sxy则 21(,4k 得 2184k ，从而 124ky 即 228(,),4k 又 (,0)B 由 1()03yxk 得 13yk1(,)Nk 故 6|3M 又 11680,|23kkkN 当且仅当 63，即 4时等号成立 14k 时，线段 M的长度取最小值 83 （）由（）可知，当 N取最小值时， 14k 此时 BS的方程为 6220,(),|55xysBS 要使椭圆 C上存在点 T，使得 的面积等于 1，只须 T到直线 BS的距离等于 24，所以 T在平行于 BS且与 距离等于24 的直线 l上。 58 设直线 :10lxy 则由 |2|,4t解得 32t或 5t 69.（本题满分 16 分） 已知双曲线 2:1,xcy 设过点 (3,0)A的直线 l 的方向向量 (1,)ekv （1） 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离； （2） 证明：当 k 2时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6。 （1）解 双曲线 C 的渐近线 :20.2xy分 直线 l 的方程 3 直线 l 与 m 的距离 261d （2）证明 方法一设过原点且平行与 l 的直线 :0bkxy 则直线 l 与 b 的距离 2 31d 当 26k时 ， 又双曲线 C 的渐近线为 20 xy 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方， 双曲线 右支上的任意点到直线 l的距离为 6。 故在双曲线 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l的距离为 。 （2）方法二 双曲线 C的右支上存在点 0(,)xy到直线 的距离为 6， 则 02036,(1)1,(kxy 由（1）得 203ykxkA， 设 t2261 59 当 2k， t2361kkA0 将 0yxt 代入（2）得 220()4(1)0 xt （*）2,1,ktktt 方程（*）不存在正根，即假设不成立 故在双曲线 C 的右支上不存在 Q，使之到直线 l 的距离为 6 70.（本题满分 16 分） 已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F30， ，一条渐近线 m: x+20y,设过点 A(32,0)的直线 l 的方向向量 (1,)ek v 。 （1） 求双曲线 C 的方程； （2） 若过原点的直线 /al，且 a 与 l 的距离为 6，求 K 的值； （3） 证明：当 2k时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6. （1）解 设双曲线 C的方程为 2(0)xy 32，解得 ， 双曲线 的方程为 21xy （2）解 直线 :20lkxyk，直线 :0ak 由题意，得 2|3|61，解得 （3）证明 方法一 设过原点且平行于 l的直线 :0bkxy 则直线 l与 b的距离 23|,1kd当 时， 6d 又双曲线 C的渐近线为 x0y 双曲线 的右支在直线 b的右下方， 双曲线 右支上的任意点到直线 l的距离大于 6。 故在双曲线 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l的距离为 （3）方法二 假设双曲线 C右支上存在点 0(,)xy到直线 l的距离为 6， 60 则 0220|36(1)12kxyk 由（1）得 203ykxk 设 23261t， 当 k时， 20tkk；221326163t 将 0ykxt代入（2）得 220()4()0kxt,t ， 2210,4,(1)0ktt 方程 (*)不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线 C的右支上不存在点 Q，使之到直线 l的距离为 6 71.（本小题满分 12 分） 已知以原点 O为中心的椭圆的一条准线方程为 43y，离心率 32e， M是椭圆上的动点 （）若 ,CD的坐标分别是 (0,3)(,，求 CDA的最大值； （）如题图，点 A的坐标为 1， B是圆 21xy上的点， N是点 在 x轴上的射影，点 Q满足条件：OQMN ， 求线段 Q的中点 P的轨迹方程； 解 （）由题设条件知焦点在 y 轴上，故设椭圆方程为 21xyab （ a b 0 ）. 61 设 2cab，由准线方程 43y得.由 2e得 3ca，解得 a = 2 ,c = 3，从而 b = 1，椭圆方程为214yx . 又易知 C， D 两点是椭圆 214yx 的焦点，所以, 24MCDa 从而 2()4M，当且仅当 ， 即点 M 的坐标为 1,0)时上式取等号， 的最大值为 4 . （II ）如图（20）图，设 M(,)(,)mBxy(,)Qxy .因为 0NOQ，故2,NM 2()4yQxyx 因为 0,AB (1)(),QNnQxyxy 所以 1N. 记 P 点的坐标为 (,)Pxy，因为 P 是 BQ 的中点 所以 22QQy 由因为 1Nxy，结合，得 62 2221()()4PQNQNxyxy 2nx (51)QNx34P 故动点 P 的估计方程为 2()xy 72.（本小题满分 12 分） 已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 5x，离心率 5e （）求该双曲线的方程； （）如题（20）图，点 A的坐标为 (,0)， B是圆 22()1y上的点，点 M在双曲线右支上，求 AMB的最 小值，并求此时 M点的坐标； 解 （）由题意可知，双曲线的焦点在 x轴上，故可设双曲线的方程为 21(0,)xyabab ，设 2cab，由 准线方程为 5x得 2ac ，由 5e得 ca 解得 1,5c 从而 ， 该双曲线的方程为 214yx . （）设点 D 的坐标为 (,0)，则点 A、D 为双曲线的焦点， |2MADa 所以 |2|2|MABMB