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第二章 设施选址10.一家银行准备在某县的农村地区投放一批ATM自动取款机，以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图2.13所示。为了能确保任一村的人都可以在20分钟之内到达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们的位置又在哪里?图2.13 村落座落情况和相对距离要点： 1. 明确N，M，A(j)，B(i)含义；2. A(j)分析正确后，B(i)可参照A(j)直接写出，无需再看网络图；3. 熟悉最少点覆盖启发式算法的步骤，考虑是否有容量约束。 解：【集合覆盖模型】区域中需求点集合N=1,2,3,4,5,6,7；ATM取款机设施候选点集合M=1,2,3,4,5,6,7；由网络图确定候选设施点j可覆盖的需求点集合A(j)和可覆盖需求点i的设施节点的集合B(i)，见表2.10.1。2.10.1 候选点服务范围村落号A(j)B(i)11,2,31,2,321,2,4,51,2,4,531,3,41,3,442,3,4,6,72,3,4,6,752,5,62,5,664,5,64,5,674,74,7因为A(4)=2,3,4,6,7，| A(4)|=5为最大，故首先j=4。因无容量约束，指派2,3,4,6,7归村落4服务。此时N=1,5，M=1,2,3,5,6,7；则更新候选点服务范围，见表2.10.2。2.10.2 更新后的候选点服务范围村落号A(j)B(i)111,2,321,5314552,5,6657因为A(2)=1,5=N，恰好满足条件。则j=2。综上所述，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4的位置，2号为1,5村落服务，4号为 2,3,4,6,7村落服务。11. 个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办公室。在经过一定的精简之后，该公司有5个大的合作伙伴。在一个以km为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7 ，2)，(11，11)， (14，7)。它们的服务需求量的权重分别为：wl=3，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，主要的日常费用是他们员工完成任务过程中的运输费用。因此，用城市距离进行考虑，要求新的办公室到各个合作伙伴之间运输的运输费用最小。1）请确定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2）如果由于该地区的人口稀少，城市还没有达到一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间的关系。 要点：1. 补充交叉中值模型知识点 关键句：将n点需求的选址问题转化为i=1nwi点需求的选址问题。 2.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离； 3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C编程/matlab编程迭代+迭代终止条件解：（1）设新办公室的地址的坐标为(x,y),给题目已知的5个点编号15。由于笛卡尔距离di=|x-xi|+|y-yi|。则目标函数为时总运输距离H最短。H=i=15widi=i=15wix-xi +i=15wi|y-yi|xiwiwi yiwiwi 43343342511257272271141111411141127112wi=12为偶数，即x,y均在第六个、第七个点之间。可得x=7，y7,11。H=81。（2）设初始点为（x0， y0）有题意得，阿基米德距离为di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)2, 目标函数H(运输总费用)=i=15widi,利用不动点算法，取一个初始的迭代点（x0(0),y0(0)）=(8,7),此时H0=62.51令x0(1)=i=15wixidii=15xidi, y0(1)=i=15wiyidii=15yidi,di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2H1=i=15widi(1)=62.14由EXCEL迭代得，结果如图费用结果保留四位小数得最优解为x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为H=62.1020（3）比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是直角距离，因此用欧基米德距离更为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。12.一台机器工具小制造商要迁址，并确定了两个地区以供选择。A地的年固定成本为800000元，可变成本为14000元/台；B地的年固定成本为920000元，可变成本为13000元/台。产品最后售价为17000元/台。（1） 当产量为多少时，两地的总成本相等？（2） 当产量处于什么范围时，A地优于B地？当产量处于什么范围时，B地优于A地？解：答：设x为之制造商的年产量 A地，总成本C(A)=800000+14000x B地，总成本C(B)=920000+13000x1)若两地成本相等，则C(A)=C(B)解得：x=120 2）若A地优于B地，则C(A)C(B),因此得0x120时，B地优于A地。13利用表2.8所示的因素评分，以最大综合得分为基础，建模分析应选择地点A、B、C中的哪一个? 表2.8 因素评分表解：权重矩阵设为W，则WT=0,15 0.20 0.18 0.27 0.10 0.10三个位置的因素评分作为3行构成因素矩阵S。S=80 72 88 94 98 9670 76 90 86 90 8560 92 90 80 82 75可得综合加权矩阵E=S*W=87.0282.6280.90。可知E(A) E(B) E(C)。即选择A点。14.一个玩具制造商在全国的五个地区生产玩具，原材料将从一个新的中心仓库运出，而此仓库的地点还有待确定。运至各地的原材料数量相同，已建立一个坐标城，各地的坐标位置如表2.9所示。请确定中心仓库的坐标位置。表2.9 各地的坐标位置解：设仓库的坐标为（x0，y0)，五个生产地为(xi,yi),仓库到各生产地的距离为di,因运至各地的原材料数量相同，故可设wi=1(i=1,2,5）;初始解：，即x0(0)=5，y0(0)=4。直线距离为di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)2目标函数运输总费用H=i=15widi ，其中 wi=1(i=1,2,5）H(0)=j=15dj=13.6094根据下列进行迭代：x0(1)=i=15xidii=151di， y0(1)=i=15yidii=151di，di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2直到运费无法减小。用MATLAB 进行编码：运行结果得，迭代78次得到最优解。其中选址坐标为（5.6235,4.9918），最小运费为H=13.4550。或由EXCEL迭代得，结果如图费用结果保留三位小数得最优解为X=5.5767，y=4.010,H=13.45615.某物流公司拟建一仓库负责向四个工厂进行物料供应配送，各工厂的具体位置与年物料配送量见表2.10，设拟建物流公司仓库对各工厂的单位运输成本相等。利用重心法计算确定物流公司的仓库坐标位置为多少。 表2.10 各工厂的具体位置与年物料配送量解：设仓库的坐标为（x0，y0)，4个工厂的坐标为(xi,yi),仓库到各生产地的距离为di=(x0-xi)2+(y0-yi)2,目标函数运输总费用H=i=15icidi=i=15widi，i为工厂年配送量，ci为单位运输成本，因单位运输成本相等，故令ci=1，于是有w1 =2000,w2=1200,w3 =1000,w4=2500初始解x0=1nxi=37.5, y0=1nyi=42.5di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)2, 此时H0=192249.4令x0(1)=i=15wixidii=15xidi, y0(1)=i=15wiyidii=15yidi,di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2H1=i=15widi(1)=190400.4由EXCEL迭代得，结果如图结果保留整数得最优解为（42.22076，33.82437）,H=188709或用MATLAB进行编码（文件见附件）：运行结果得，迭代59次得到最优解。其中选址坐标为（42.2865, 33.6732），最小运费为H= 188707.914。16. 筹建一农副产品流通加工厂，可供选择的候选厂址有D、E、F三处，因地址不同各厂加工成本亦有区别，各厂址每年费用如表2.7所示。此外，为决定厂址还考虑了一些重要的非成本因素，如当地竞争能力、气候变化和周围环境是否适合农副产品流通加工等。对于竞争能力而言，F地最强，D、E两地相平；就气候来说，D比E好，F地最好；至于环境，E地最优，其次为F地、D地。如果各主观因素的重要性指数a、b、c依次为0.6、0.3和0.1，要求用因次分析法评定最佳厂址在何处。表2.11 各候选厂址每年加工成本费用要点：P中值法分5个步骤进行。解: （1）计算客观量度值OMi ，OMi=Ci1Ci-1 OMD=523*(1523+1525+1551)-1=0.3395同理可得：OME=0.3382,OMF=0.3223。（2）计算主观评比值Sik（有3个不同的主观因素） 竞争能力（FD=E） 注：D=E，比较记为0.5两两相比厂址FED比重SiaD00.50.50.167E00.50.50.167F1120.666 气候（FDE）两两相比厂址FED比重SiaD0110.33E000F1120.67 环境（EFD）两两相比厂址FED比重SiaD0000E1120.67F0110.33（3）计算主观量度值SMi， SMi=k=13IkSik，其中Ik为各主观因素的重要性指数。因素kDEF重要性指数IkSia0.1670.1670.6660.6Sib0.3300.670.3Sic00.670.330.1计算可得SMD=0.167*0.6+0.33*0.3+0*0.1=0.1992SME=0.167*0.6+0*0.3+0.67*0.1=0.1672SMF=0.666*0.6+0.67*0.3+0.33*0.1=0.6336（4）计算位置量度值LMi，LMi=X*SMi+（1-X）*OMi由于题中没有给出主观因素与客观因素的相互比重，假设两者相等即同种重要，即主客观比重值X=0.5。LMD=0.5*0.3395+0.5*0.1992=0.26935LME=0.5*0.3382+0.5*0.1672=0.2527LMF=0.5*0.3223+0.5*0.6336=0.47795（5）决策根据各位置量度值LMi的大小，F厂址所得位置量度值在3个候选地址中最高，故选F为建厂厂址。17.在某区域需规划建设若干个农贸市场为将来该区9个主要居民点提供服务，除第6居民点外，其他各点均有建设市场的条件，如图26所示。已知市场的最大服务直径为3km，为保护该区域的环境，希望尽可能少地建造农贸市场。问应如何规划？3图26 小区居民点位置图解：N1,2,3,4,5,6,7,8,9，M1,2,3,4,5,7,8,9，由图26两点间的最短距离，根据最大服务半径为3km的约束及第6居民点不适合建市场的要求，可确定集合A(j)和B(i)。如表23所示。表23 候选点服务范围因为A(4)=1,3,4,5,6,7，A(3)=1,2,3,4,5,6,|A(4)|= |A(3)|=6为最大,随机选取j4。由于无容量约束故依次指派5,7,1,6,3,4点归节点4服务。此时，N2,8,9,M1,2,3,5,7,8,9,更新集合A(j)和集合B(i)后如表24所示。表24 候选点服务范围因为A(8)8,9，|A(8)|A(9)|=2为最大，故选取j8或j9，并且8，9两点归节点8或9服务。同理，再迭代一次，得j2，居民点2归节点2服务。 因此，计算结果为（4,8,2）或（4,9,2）。若选择j3，故依次指派1,2,3,4,5,6点归节点3服务。此时，N7,8,9,M1,2,4,5,7,8,9,更新集合A(j)和集合B(i)后如表25所示。表25 候选点服务范围由于|A(8)|3最大，选择j8。因此计算结果为（3,8）。第三章 设施规划11. 某生产线共有8项作业，其工作周期为8分钟。已知各项作业的装配顺序和时间如表3.30所示。请根据周期时间和作业顺序限制，确定最少工作站数和各项作业的安排，并算出此安排下生产线的效率。表3.30 周期时间和作业顺序表解：由题意得网络活动图（Job on nodes）：ABCDEFGH由题意各作业所需时间之和=5+3+4+3+6+1+4+2=28最小工作数=28/8=3.5,因此需要4个工作台根据作业的相关情况进行安排，结果如下表工作站序号作业单元工作时间空闲时间1H,G,F 712E 6 23D，C 7 14B，A 8 0生产线效率=完成作业所需时间总和/(实际工作站总数*时间周期)=2848=0.875。12.某流水线有17项作业需要平衡，其中最长的作业为2.4分钟，所有作业的总时间为18分钟。该流水线每天工作450分钟。试求：（1）最大和最小的周期时间各是多少？（2）该流水线理论上可能达到的每日产能是多少？（3）按最大产能来算，最少需要几个工作站？（4）若每天产能为125分钟，则周期时间应为多长？（5）若周期时间分别是9分钟和15分钟，则产能分别是多少？ 解：（1）当17项作业只能串行依次进行时，可得最大周期为18min。当17项作业均并行进行时，可得最小周期为2.4min。（2）产能为单位时间生产的产品数量。以最大周期计算，得最小产能为1/18min=0.056/min；以最小周期计算，得最大产能为1/2.4min=0.417/min；综上所述，每日可能产能为25,187.5。（3）依题意有需要18/2.4=7.58，所以最少需要8个工作站。（4）周期时间为450/125=3.6min。（5）当周期时间为9min时，产能为450/9=50/天；当周期时间为15min，产能为450/15=30/天。13. 某学院注册有四道手续：领取表格、咨询、领取班级卡和确认交费，分别安排在A、B、C、D四个连续相邻的同样大小的房间，因为同时有新老学生，如果450名新学生领表后去咨询，550名老学生领表后直接去领班级卡，而毕业班学生已经注册过，领表后直接去缴费，详细学生流向如表3.31所示。试问已有布置是否可以改进，若能，该如何改进？表3.31 学生流向表要点：1.解题思路：单向物流从至表 双向物流从至表 作业对按双向物流从至表中强度值排序，划分物流等级确定物流路线比例 参考相关图得接近程度排序表 按接近程度得作业单位位置相关图 按接近程度排序得作业单位面积相关图 2.参考相关图：物流强度等级A E I O U X物流路线比例10% 20% 30% 40% 0 0承担的物流量比例40% 30% 20% 10% 0 0接近程度4 3 2 1 0 0 3.路线比例设计=线路条数/总线路条数解：由学生流向表得到双向物流表如下：双向物流表领表（A）咨询(B)领班级卡(C)缴费(D)领表（A）700（2）550（3）50（5）咨询(B)200（4）领班级卡(C)750（1）缴费(D)根据学生流量划分物流等级确定物流路线比例如下：序号作业单位对强度值路线比例设计路线条数物流强度比例强度等级1C-D75020%133.3%E2A-B70020%131.1%E3A-C55020%124.4%E4B-C20040%211.1%O5A-D50O合计2250由以上关系图得接近程度排序表领表A咨询B领班级卡C缴费D领表A3/E3/E1/O咨询B3/E1/O0/U领班级卡C3/E1/O3/E缴费D1/O0/U3/E合计7474排序2413作业单位位置相关图和作业单位面积相关图领 表缴 费领班级卡咨 询领班级卡缴 费领 表咨 询现四道手续：领取表格、咨询、领取班级卡和确认交费，分别安排在A、B、C、D四个连续相邻的同样大小的房间，即位置为下图关系领班级卡缴 费领表咨询该布置可得到改进，改进方案为领班级卡缴 费领 表咨 询14. 根据作业相关图，绘制作业单位位置相关图。 图3.28 习题14作业相关图解：由该作业相关图可得接近程度排序表如下：ABCDEA4/A2/I0/U0/UB4/A2/I3/E3/EC2/I2/I0/U0/UD0/U3/E0/U1/OE0/U3/E0/U1/O合计612444排序21534可得作业单位位置相关图如下：BADEC15. 某工厂有ABCDE五个车间，布置图如下，其中为各车间距心。该厂生产四种产品，各产品的工艺路线和每月产量如表3.4所示，而且每种产品的生产批量为50件。（1）试以直角距离计算两两车间的距离从至表；（2）计算物流搬运量从至表F；（3）计算搬运工作量，并以之作为物流强度表示从至表。假设每批次搬运移动1米的成本是2元/米批，试将上述物流强度从至表转化为物流成本从至表。解：（1）车间直角距离从至表ABCDEA27547539B27274866C54273969D75483948E39666948(2) 物流搬运量从至表ABCDEA6006509000B60000C850400D1750E(3)物流强度从至表（物流强度=距离*物流量）ABCDEA1620035100675000B1620000C3315027600D84000E因为每批次搬运移动1米的成本是2元/米批，所以每件搬运成本为2/50=0.04元/米*件，得到物流成本从至表如图。物流成本从至表ABCDEA648140427000B64800C13261104D3360E16. 已知某工厂的各作业单位原始数据如表3.23、表3.24所示。试用作业单位关系图法布置平面图。表3.23 各作业单位及面积表3.24 作业单位关系要点：1.选出的第一个作业至少有三面被其它作业包围； 2.不带面积的平面图与带面积的平面图没有完全的对应关系。 3.此题多解。解：第一阶段，确定各作业单位的相对位置。画出样板，包括作业单位的名称代码及相关代码。选出A级关系最多的样板Y，将Y布置在平面图中部，其它按AEIOU级关系从多到少的顺序依次放到平面图中，可得放置顺序为YXZUWTV,在布置的过程中应保持关系强度大的样板尽量靠近放。第二阶段，据各作业单位面积，以20 m2为一个面积单位得带面积的平面图如下：
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