立体几何复习测试题及答案.docx

高一数学立体几何复习题必修2立体几何知识点第一章：空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、 空间几何体的表面积与体积1 圆柱侧面积；圆锥侧面积：2 圆台侧面积：（3）体积公式：；（4）球的表面积和体积：.第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。10、面面平行：判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。3 定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图一、选择题1一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球B三棱锥 C正方体 D圆柱2有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个()A棱台 B棱锥 C棱柱 D都不对3一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为()A2 B. C2 D44一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中不可能是该锥体的俯视图的是()5一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于8，俯视图是一个面积为4的正三角形，则其侧视图的面积为()A4B8 C8 D4二、填空题6以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命题的序号为_7一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由_个这样的小正方体组成8正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为_三、解答题9用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长10已知：图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成第二部分：空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1已知三个命题：若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内， 则P、A、B、C四点不在同一平面内；两两相交的三条直线在同一平面内；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中正确命题的个数是 ()A0B1 C2 D32.如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A、B、C三点的平面记作，则与的交线必通过 ()A点A B点B C点C但不过点M D点C和点M3.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 ()AACBD B AC截面PQMNCACBD D异面直线PM与BD所成的角为454在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线 ()A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条5如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是 ()A B C D6正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为 ()A30 B45 C60 D90二、填空题7如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有_8下列命题中正确的是_若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交平面于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；若a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面9直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_三、解答题10如图所示，已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点试判断四边形EBFD1的形状11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BCAA14，点O是AC的中点(1)求证：AD1平面DOC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值第三部分：直线、平面平行的判定及性质一、选择题1一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是 ()AlBl Cl与相交但不垂直 Dl或l2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 ()动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；BC平面ADE； 三棱锥AFED的体积有最大值A B C D3设、为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n， m.可以填入的条件有() A或 B或 C或 D或或4设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面，其中使“xz且yzxy”为真命题的是 ()A B C D5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：若m，n，则mn；若m，m，则；若m，mn，则n；其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D06若、是两个相交平面，点A不在内，也不在内，则过点A且与和都平行的直线 ()A只有1条 B只有2条 C只有4条 D有无数条二、填空题7已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题：若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若，l，则l；若l，ml，则m.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)8如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.9已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若a，b，且ab，则；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，则l.其中正确命题的序号是_三、解答题10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F.求证：EF平面ABCD.11如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21，在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论第四部分：直线、平面垂直的判定及性质一、选择题1给出以下命题，其中错误的是 ()A如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B垂直于同一平面的两条直线互相平行 C垂直于同一直线的两个平面互相平行D两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm3若m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A若m，则m B若m，n，mn，则C若m，m，则 D若，则4已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ()A0个B 1个 C2个 D3个5已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确命题的序号是 ()A B C D6如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是 ()AACBD BBAC90CCA与平面ABD所成的角为30 D四面体ABCD的体积为二、填空题7正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_8如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写个你认为是正确的条件即可)三、解答题9.三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBCAA12，ACB90，E为BB1的中点，A1DE90，求证：CD平面A1ABB1.10.如图，三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD.第一部分详解答案一、选择题(1 解析：选D圆柱的三视图，分别是矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形2 解析：选A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台3解析：选D直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，则S直观图y(x2yx)，而原梯形为直角梯形，其面积S2y(x2yx)24.4 解析：选C若俯视图是等边三角形且为图中的位置，则正视图是等腰三角形，且高线是实线，故选C.5解析：选A由三视图知该几何体是正三棱柱，设其底面边长为a，高为h，则其正视图为矩形，矩形的面积S1ah8，俯视图为边长为a的正三角形，三角形的面积S2a24，则a4，h2，而侧视图为矩形，底边为a，高为h，故侧视图的面积为Sah4.二、填空题6 解析：均正确，对，直棱柱的侧面都是矩形而不一定全等，错误答案：7解析：依题意可知这个几何体最多可由92213个这样的小正方体组成答案：138 解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正视图的周长为22.答案：22三、解答题 9 解：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为116，设半径分别为r、4r.设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得，解得l9.所以，圆台的母线长为9 cm.10 解：图几何体的三视图为：图所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体第二部分详解答案一、选择题1解析：当A、B、C三点都在平面内，且三点共线时，P、A、B、C四点在同一个平面内，故错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故错误答案：A2. 解析：AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上答案：D3. 解析：依题意得MNPQ，MN平面ABC，又MN平面ACD，且平面ACD平面ABCAC，因此有MNAC，AC平面MNPQ.同理，BDPN.又截面MNPQ是正方形，因此有ACBD，直线PM与BD所成的角是45.答案：C4解析：在EF上任取一点M.直线CD与点M确定的平面与直线A1D1交于点N，则直线MN与三条直线都相交，由点M的任意性可知这样的直线有无数条答案：D5解析：由于两相交直线可确定一个平面，设l过M点，与AB、B1C1均相交，则l与AB可确定平面，l与B1C1可确定平面，又AB与B1C1为异面直线，l为平面与平面的交线，如图所示GE即为l，故正确由于DD1过点M，DD1AB，DD1B1C1，BB1为AB、B1C1的公垂线，DD1BB1，故正确显然正确过M点有无数个平面与AB、B1C1都相交，故错误答案：C6解析：设AC中点为O，则OESC，连接BO，则BEO(或补角)即为异面直线BE和SC所成的角，EOSC，BOBD，SAB中，cosA，BE.BEO中，cosBEO， BEO60.答案：C二、填空题7解析：中，GMHN，所以G、M、N、H四点共面，从而GH与MN共面；中，根据异面直线的判定定理，易知GH与MN异面答案：8解析：在中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与平面的交线上，即P、Q、R三点共线，所以正确；在中，因为ab，所以a与b确定一个平面，而l上有A、B两点在该平面上，所以l，即a、b、l三线共面于；同理a、c、l三线也共面，不妨设为，而、有两条公共的直线a、l，所以与重合，即这些直线共面，所以正确；在中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以错；在中，由题设知，a和相交，设aP，如图，在内过点P的直线l与a共面，所以错答案：9解析：延长CA至点M，使AMCA，则A1MC1A，MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60.答案：60三、解答题10解：如图，取BB1的中点M，连接A1M、MF.M、F分别是BB1、CC1的中点，MF綊B1C1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，有A1D1綊B1C1，MF綊A1D1.四边形A1MFD1是平行四边形，A1M綊D1F.又E、M分别是AA1、BB1的中点，A1E綊BM，四边形A1EBM为平行四边形EB綊A1M.EB綊D1F.四边形EBFD1是平行四边形又RtEABRtFCB，BEBF，四边形EBFD1为菱形11解：(1)证明：如图，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.O、O1分别是AC和D1C的中点，OO1AD1.又OO1平面DOC1，AD1平面DOC1，AD1平面DOC1.(2)由OO1AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角在OO1D中，由题设可得OD，O1D，OO12.由余弦定理得cosOO1D，故异面直线AD1和DC1所成角的余弦值为.第三部分详解答案一、选择题1解析：l时，直线l上任意点到的距离都相等，l时，直线l上所有的点到的距离都是0，l时，直线l上有两个点到距离相等，l与斜交时，也只能有两点到距离相等答案：D2. 解析：中由已知可得面AFG面ABC，点A在面ABC上的射影在线段AF上BCDE，BC平面ADE.当面ADE面ABC时，三棱锥AFED的体积达到最大答案：C3解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确答案：C4解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知、正确答案：C5解析：错，两直线可平行或异面；两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；错，直线n可在平面内；答案：D6解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面的交线k与直线m平行，则推出nk，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面与的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条答案：A二、填空题7解析：当lm时，平面与平面不一定平行，错误；由直线与平面平行的性质定理，知正确；若，l，则l或l，错误；l，lm，m，又，m，正确，故填.答案：8解析：平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.答案：a9解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，可令平面A1B1CD为，平面DCC1D1为，平面A1B1C1D1为，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CDC1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即与不平行，故错误因为a、b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确当ab时，l垂直于平面内两条不相交直线，不可得出l，错误答案：三、解答题10. 证明：分别过E、F作EMBB1，FNCC1，分别交AB、BC于点M、N，连结MN.因为BB1CC1，所以EMFN.因为B1EC1F，AB1BC1，所以AEBF.由EMBB1得，由FNCC1得.所以EMFN，于是四边形EFNM是平行四边形所以EFMN.又因为MN平面ABCD，所以EF平面ABCD.11证明：存在证明如下：取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD.设BDACO.连接BF，MF，BM，OE.PEED21，F为PC的中点，M是PE的中点，E是MD的中点，MFEC，BMOE.MF平面AEC，CE平面AEC，BM平面AEC，OE平面AEC，MF平面AEC，BM平面AEC.MFBMM，平面BMF平面AEC.又BF平面BMF，BF平面AEC.第四部分详解答案一、选择题1解析：一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面答案：A2解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B正确答案：B3解析：对于A，由m，显然不能得知m；对于B，由条件也不能确定；对于C，由m得，在平面上必存在直线lm.又m，因此l，且l，故；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，因此D也不正确答案：C4解析：若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题，故选C.答案：C5解析：对于，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此是正确的；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此是错误的；对于，直线n可能位于平面内，此时结论显然不成立，因此是错误的；对于，由m且得m，又mn，故n，因此是正确的答案：C6解析：取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C错误；VABCDSABDCD，D错误答案：B二、填空题7解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知ACEF，又GHSO，GH平面ABCD.ACGH.又GHEFH，AC平面EFG.故点P的轨迹是EFG，其周长为.答案：8解析：由PABD，ACBD可得BD平面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)三、解答题9. 证明：ACBC2，ACB90，AB2.设ADx，则BD2x，A1D24x2，DE21(2x)2，A1E2(2)21.A1DE90，A1D2DE2A1E2.x.D为AB的中点CDAB.又AA1CD且AA1ABA，CD平面A1ABB1.10. 解：(1)AB平面BCD，ABCD.CDBC，且ABBCB，CD平面ABC.又(01)，不论为何值，恒有EFCD.EF平面ABC，EF平面BEF.不论为何值恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知，BEEF，平面BEF平面ACD，BE平面ACD.BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，BD，ABtan 60.AC.由AB2AEAC，得AE.- 16 -