昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案.doc

昆明理工大学 数值分析考试题昆明理工大学数值分析考试题（07）一填空（每空3分，共30分）1 设是真值的近似值，则有 位有效数字。 2 若，则，。3 A=,则= ；= ；= = 。4 求方程根的牛顿迭代格式是 。5设，则求函数的相对误差限为 。6A=,为使其可分解为（为下三角阵，主对角线元素0），的取值范围应为 。7用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。）二推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分）0121233（二）已知和满足-31。请利用构造一个收敛的简单迭代函数，使收敛。（8分）（三）利用复化梯形公式计算，使其误差限为，应将区间0，1 等份。（8分）（四）设A= ，detA0，推导用a，b表示解方程组AX=f的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS型求积公式 。（10分）（六）对微分方程初值问题（） 用数值积分法推导如下数值算法：，其中，。（8分）（） 试构造形如 的线形二步显格式差分格式，其中。试确定系数，使差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分）（考试时间2小时30分钟）（08）一、填空（每空3分，共30分）1若开平方查6位函数表，则当x=30时，的误差限为 。2若= 。3若 是3次样条函数，则 a= ，b= ，c= 。4A=,则A= ；A= ；Cond(A)= 。5考虑用复化梯形公式计算，要使误差小于，那么0，1应分为 个子区间。6,要使迭代法局部收敛到，即在邻域时，则的取值范围是 。二、计算与推导1、 用追赶法解三对角方程组，其中，。 （12分）2、已知一组试验数据t12345y4.006.408.008.809.22请确定其形如的拟合函数。（13分）3、确定系数，建立如下 GAUSS型求积公式 。（13分）4、证明用Gauss-seidel迭代法求解下列方程组 时，对任意的初始向量都收敛；若要求，需要迭代几次（推导时请统一取初始迭代向量）？（13分）5、试用数值积分法或Taylor展开法推导求解初值微分问题 的如下中点公式： 及其局部截断误差。（14分）6、 试推导的复化Simpson数值求积公式。（5分）（考试时间2个半小时）（09）一、（填空(每空3分,共36分)1是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b= ，c= 。2设，则差商 ， 。3函数在-1，1上的最佳2次逼近多项式是 ，最佳2次平方逼近多项式是 。4，当a满足条件 时，A可作 LU分解；当a满足条件 时，A可作 分解；5，则 ， 。6求方程根的newton迭代格式是 。7用显式Euler法求解，要使数值计算是稳定的，应使步长0h 。二、计算与推导一、 计算函数在附近的函数值。当n=100时，试计算在相对误差意义下的条件数，并估计满足时自变量的相对误差限和绝对误差限。（12分）二、 有复化梯形，复化simpson公式求积分的近似值时，需要有多少个节点，才能保证近似值具有6位有效数字。（12分）四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法中的值，使方法是四阶的。（12分）五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据（小数点后保留5位）1.02.03.04.00.81.51.82.0并计算其最小二乘误差。（14分）六、对下列线性方程组，（1）构造一定常迭代数值求解公式，并证明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为，若取初始迭代向量,要使，请估计需要多少次迭代计算。（14分）（考试时间2个半小时）（10）一、填空（每空2分，共24分）1近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。2设，则 ， 。3设，的三次最佳一致逼近多项式为 。 4， ， ， 。5，其条件数 。6，为使分解成立（L是对角线元素为正的下三角阵），a的取值范围应是 。7给定方程组为实数。当a满足 且时，SOR迭代法收敛。8对于初值问题，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h的范围是 。二、推导计算1应用下列数据表建立不超过3次的插值多项式并给出误差估计式x0121293（15分）2用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据x10203040y08151820（小数点后至少保留5位）。（15分）3确定高斯型求积公式 的节点及积分系数。（15分）书内三、证明1.在线性方程组中，。证明当时高斯-塞德尔法收敛，而雅可比法只在时才收敛。（10分）2.给定初值以及迭代公式 证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分）3.试证明线性二步法当时，方法是二阶，当时，方法是三阶的。（14分）（12）一、填空题（每空2分，共40分）1设是真值的近似值，则有 位有效数字，的相对误差限为 。3. 过点和的二次拉格朗日插值函数为= ， 并计算 。4设在上的最佳二次逼近多项式为 ，最佳二次平方逼近多项式为 。 5高斯求积公式的系数 ， ，节点 ， 。6方程组，建立迭代公式，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵， ， 。7，其条件数 。8设，计算矩阵A的范数，= ， = 。 9求方程根的牛顿迭代格式是 。10对矩阵作LU分解，其L=_， U= _二、计算题（每题10分，共50分）1. 求一个次数不高于4次的多项式P(x), 使它满足: 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。2. 若用复合梯形公式计算积分，问区间0, 1应分成多少等分才能使截断误差不超过? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间0, 1应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。00.250.50.75111.281.642.11 2.713. 线性方程组，其中，（1）建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗?4. 已知如下实验数据, 用最小二乘法求形如的经验公式，并计算最小二乘法的误差。1234544.568 8.55. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题，取步长 计算到（保留到小数点后四位）。三、证明题（共10分）1 如果 A 是对称正定矩阵，则A可唯一地写成，其中L是具有正对角元的下三角阵。（考试时间2个半小时）07答案填空1226；034；4； 4567一、 推导与计算（一） 方法1先确定2次插值 再设该Hermit插值为 将导数要求代入即可确定k值（略） 得： 方法2直接设 将插值要求代入得方程组（略） 解得各待定系数 得 推导余项： 根据条件要求设余项构造关于t的辅助函数 其是充分光滑的，且满足故有4个零点 反复运用Roll定理，有（二） - - 故设 -（三）令 解得 -（略） - 故需将区间578等分。 （四）G-S迭代阵 令 迭代收敛的充要条件是需解出既（五）方法1则有 整理得 解出 又该公式应对准确成立，代入有解之得 - 故可构造出Gauss积分公式为。 方法2直接用代数精度验证法列方程组求解 方程组 每个待定系数 积分公式（六）（1）将两边同时在区间上积分得 右边用积分的Simpson公式展开得 （略） 将用相应数值值代替既推出公式（2）方法1因前提是 故利用Tarlor公式 考察局部截断误差，使可得 解之得 方法2直接套课本中公式，但此时 令列方程组可解出各系数。（09）一、填空(每空3分,共36分)1. b= -2 ，c= 3 。2. 4 ， 0 .3. ,4. 5. 2 ， 1 6. 7. 0h。二、解 取n=100,则 由要求知要求时 则自变量的相对误差限 绝对误差限三解 用复化梯形时，即要求 由此解得应取214个节点 用复化Simpson时,即要求 由此解得应取9个节点。四（该题是课本-清华第4版372页的例题）正确展开正确合并同阶项为3项。求出五解 按题意，所求拟合函数应形如 其最小二乘拟合误差平方和为 为使其达到最小，应令 。 代入数据后得出。解出a,b，即得所求拟合函数为。最小二乘拟合误差或。六 （10）一、填空(每空2分) (1)5 0.005 0.0000102; (2)4 0; (3) (4)6 7 ; (5); (6); (7); (8)二、推导计算1.解：(待定参数法):根据节点条件及多项式性质,设所求函数为 代入导数条件,求出A=1 设余项为 当且不同于0,1,2时,构造关于变量t的函数 - 此函数是充分光滑的,且有零点:0,1,2,x(1是2重零点)- 在4个零点的3个区间上反复运用Rolle定理，可知至少有一倚赖于0，1，2，x的点，使 于是本题H(x)的推出也可以用 1重节点的差商表方法；2直接设为3次多项式一般式，代入条件建立方程组求出。2解：由过原点条件,可知拟合函数形如: 故需按最小二乘法定义来推导。 设最小二乘拟合误差为 要使其为极小，必需符合 可得法方程-解之得a=0.94968,b=-0.112903 3解：设为区间0，1上带权的正交多项式， 于是应有 积分展开并令解相应方程组得 由韦达定理，知是方程的根。 于是可求出 再由此积分公式对精确成立得 解之得 本题也可利用Gauss代数精度要求展开，直接解一个4元非线性方程组。三、证明1证 A是一对称阵 我们令其顺序主子式 ， 联立解之得 此条件下，A对称正定，G-S法收敛。 对Jacbi法，求出其迭代阵为 令 于是可知，当，即时，雅可比法才收敛。 2（a）即，其牛顿迭代格式为 (b)显然，迭代函数为 的不动点。 容易求出： 所以该迭代公式是二阶收敛的3.证 此方法的局部截断误差将其各项函数在处泰勒展开并合并同类项得 -于是，当时 ，方法是2阶的； 当时 ，方法是3阶的。（12）一填空题（每空2分，共40分）1. 2 0.025或0.02162. 3 03. ，34. 5. 0.28 0.39 0.29 0.826. 7. 18. | A |1 = 3_，9. 10. ，二、计算题（每空10分，共50分）1求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:P(0) =0，P(0) =0，P(1) =1，P(1) =1，P(2) =1，并写出其余项表达式。解：由题意 P(x) = x2(ax2 + b x + c )，由插值条件得方程组求解，得 a =1/4，b= 3/2 ，c =9/4。所以插值余项为2 若用复合梯形公式计算积分，问区间0, 1应分成多少等分才能使截断误差不超过？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间0, 1应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。00.250.50.75111.281.642.11 2.71解：由于，则在区间0,1上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n等分，则h=1/n., 故对复合梯形公式，要求，即，因此n=213，即将区间0,1分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过。若用复合辛普森公式，则要求，因此n=4，即将区间0,1分成8等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过。3. 线性方程组，其中，（1）建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）问Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收敛吗？解：（1） Jacobi迭代法的分量形式，为任意初始值。Gauss-Seidel迭代法的分量形式，为任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵，故Jacobi迭代法不收敛。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵，故G-S迭代法收敛。4. 已知实验数据，如下表，用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。1234544.568 8.5解： 令故由法方程得线性方程组解得于是所求拟合曲线为2-范数的误差5. 用改进的欧拉公式（预估-校正方法）解初值问题，为步长，（1）取步长 计算到（保留到小数点后四位）。解：（1）由改进的欧拉公式因为，所以0，=0.00050.0015=0.0030三、证明题（共10分）1、证明：如果 A 是对称正定矩阵，则A可唯一地写成，其中L是具有正对角元的下三角阵。法一：因为A对称正定，A的所有顺序主子式不为零。A 有唯一的Doolittle分解其中D为对角阵，为单位上三角矩阵。又因为A是对角正定矩阵=由分解的唯一性，代入分解式子又A对称正定知道所以，其中为对角元为正的下三角矩阵。