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徐树方数值线性代数习题解答习题1求下三角阵的逆矩阵的详细算法。解 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法111，逐一求解方程便可求得注意 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。解 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。解 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有 确定一个Gauss变换L，使解 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理112中的L和U都是唯一的。证明 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。设的定义如下证明A有满足的三角分解。证明 令 是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下容易验证：设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。证明 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为其中，将A分块为那么即 由A的对称性，对称性则是显而易见的。设是严格对角占优阵，即A满足又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。证明 依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的，即故从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？解 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法112求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵，证明仍是正定阵。证明 不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有由x的任意性知，正定。11设并且是非奇异的。矩阵称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（114）的矩阵证明 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知，故有12证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有证明 略。13利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。解 设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组便可求得于是也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）经求解：得；（3）对X进行列置换得：。14假定已知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。解 求解方程组则x的第i个分量就是的（i,j）元素。15证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且证明 仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到其中仍是严格对角占优阵。A的三角分解A=LU中这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。因此，16形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（3）给出一种利用Gauss-Jordan变换求的逆矩阵的算法。并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。解 为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：性质1： .事实上，性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必要条件是.（1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使，则应有即因此，应满足，便可按上述方法得到使得。（3）设A的逆矩阵，则应有下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记第1步：假若，令，构造，用左乘和，得到其中第2步：假定，令，构造，用左乘和，得到其中照此下去，直到第n步：假定 ，构造，用左乘和，得到经上述n步，我们得知：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理。定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异。证明 对于用归纳法。当时，定理显然成立。假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可。由归纳假定知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换使（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式若将的阶顺序主子阵分别记为，则由（16-1）知注意到 所以即非奇异的充要条件是17证明定理131中的下三角阵L是唯一的。证明 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明L的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即从而于是得知18证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。L的带宽为多少？证明 带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar的Colicky分解算法，可改写成下列形式：从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+1.19若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。证明 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。显然故有。即是的Colicky分解。20证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。证明 先证明存在性。根据定理112知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零。令，则有单位上三角阵使，即有又因为，则从而根据L和的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因此它们等于对角阵。再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。因此两端都等于D。于是从而有再证唯一性。令，故有。左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。又因，故。21给出按行计算Cholesky因子L的详细算法。解 略。22利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。解 算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法132计算出正定矩阵的如下分解其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。（2）求解矩阵方程其解矩阵.（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵注意 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。23设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。解 由Colicky分解可得其中显然，L是非奇异矩阵。因此，对.于是所以是正定的。由方程组，解得，再由方程组，解得24设是一个正定Hermite矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组解 既然是正定的，又对，有，且.且注意到显然H正等价于A、B正定。对，则有由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的。由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。习题22.1 设是个正数。证明：由定义的函数是一个范数。证明 只需验证满足定义2.1.1的三个条件。其中（1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。像2范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成立用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有（E2.1）现在来考虑时的情形，注意到至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了Cauchy-Schwartz不等式。又因为是个正数，因此有从而对，我们有2.2 证明：当且仅当和线性相关且时，才有.证明 因为对任意的于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当，即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。2.3 证明：如果是按列分块的，那么证明 因为.2.4 证明：证明 记，那么，根据第3题的结果我们有根据Frobenius范数定义易知，对. 于是2.5 设是由定义的。证明是矩阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数的相容性。证明 （1）证明是矩阵范数。因为显然满足矩阵范数定义中的前三条：正定性、齐次性、三角不等式。下面我们证明还满足“相容性”。对任意，记，且则，且（2）一个不满足矩阵范数的相容性的例子。取，则。于是，从而2.6 证明：在上，当且仅当是正定矩阵时，函数是一个向量范数。证明 由于A是正定矩阵，不妨设是A的特征值，是其对应的标准正交特征向量，即显然，是线性无关的。因此，=span. 记，那么，且对任意，总有使.命题的充分性是很显然的。因为是上的向量范数，则由其正定性可知A必为正定矩阵。现在我们来证明命题的必要性。即假设是正定矩阵，则函数满足向量范数定义的三条性质：正定性。由A的正定性，正定性显然成立。齐次性。对任意的，因为，故有.三角不等式。对于任意给定的，有，使应用习题2.1的结果，得即有2.7 设是上的一个向量范数，并且设. 证明：若，则是上的一个向量范数。证明 当时，当且仅当是上的零向量。再由假设是上的一个向量范数，于是可证得满足：正定性。事实上，对任意，而且当且仅当.齐次性。事实上，对所有的和有，因此.三角不等式。事实上，对所有的有，因此有2.8 若且，证明.证明 首先用反证法，证明的存在性。设奇异，则有非零解，且，于是，从而. 这与假设矛盾。现在来证明命题中的不等式。注意到：，且故有即2.9 设|.|是由向量范数|.|诱导出的矩阵范数。证明：若非奇异，则证明 因为|.|是向量范数诱导的矩阵范数，故|I|=1，且对和，有 于是对，有且当|x|=1时，有（E2.2）现在只需证明：存在且|x|=1，使即可。根据算子范数的定义，我们不妨假设且|y|=1，使. 再取，显然|x|=1，且（E2.3）综合(E2.2)和(E2.3)得2.10 设是的LU分解。这里，设和分别表示和的第行，验证等式并用它证明解 记于是注意到：. 则有现在来证明因为2.11 设（）计算；（）选择，使得而且很小，但却很大；（3）选择，使得而且很小，但却很大。解 （1）显然从而，于是选取：，则可计算得选取：，则可计算得.2.12 证明对任意的矩阵范数都有，并由此导出证明 由定理2.1.6（1）可知，对任意矩阵范数都有，而，于是，从而.2.13 若和都是非奇异的，证明.证明 因为所以，根据矩阵范数的相容性可得.2.14 估计连乘中的上界.解 假定那么则由定理2.3.3，若假定，则，从而.2.15 证明：若，则其中证明 由定理23.2得以此类推，我们有其中： 令 ，那么再由定理2.3.3知2.16 设，而且 证明：其中的元素满足证明 因为由例2.3.1的结果我们可以得到其中再由定理2.3.3得令，则注意到从而得到其中.2.17 证明：若是维向量，则，其中证明 由定理2.3.2可知，对一切，有下面对用数学归纳法证明。当=1时，命题显然成立。假设当时，命题仍然成立，即有那么当时，我们有，其中， 于是 ，从而由介值定理显然存在，使即当时，命题亦成立。习题3设用正则化方法求对应的问题的解解由定理.1.4可知, 问题的解就是下列正则化方程组解：即解得：设求对应的问题的全部解解由定理.1.4可知, 问题的解就是下列正则化方程组解：经初等行变换得其同解方程组从而即,其中设,求一个Householder变换和一个正数使得解 由于2范数具有正交不变性, 故. 于是于是,令那么,可以验证满足该题的要求.4确定和使得解由范数具有正交不变性，故于是从而假定是一个二维复向量，给出一种算法计算一个如下形式的酉矩阵使得的第二个分量为零解对于复向量的范数定义如下：显然，在复数空间中，2范数仍然保持着正交不变性。即对酉矩阵Q有根据题意，不妨设，从而注意到于是由，从而不妨设，即，又因，所以.6假定和是中的两个单位向量，给出一种使用Givens变换的算法，计算一个正交阵，使得解 首先考虑对指定的一个二维非零向量和一个实数，如何构造Givens变换使。注意2范数的正交不变性，则(这里我们假定了，稍后对此加以处理)那么，G应满足即注意，则矩阵于是这样，我们便可考虑从的前两个分量开始，施以Givens变换，便其第一个分量变换为. 然后对施以Givens变换，使其首分量变换为；这样一直继续次变换，最后使得变换为几点说明： 为使算法能一步步正常进行，需要首先对单位向量用一组Givens变换进行规范化处理，使其成为标准单位向量.这样在接下来的步的Givens变换中就能保证. 在规范化后，对其实施正交变换的每一步中，可以通过逐次计算向量的范数，当其等于1时，即可结束算法。因为此时，和的剩余分量均以为零。算法总结：算法1（用Givens变换求正交矩阵使单位向量满足：）void standard(double *g,double *x,int n) int i,j; for(i=0;in;i+) for(j=0;j=0;i-) if(xi+1=0) continue; else if(fabs(xi+1)fabs(xi) t=xi/xi+1; s=1.0/sqrt(1.0+t*t); c=s*t; else t=xi+1/xi; c=1.0/sqrt(1.0+t*t); s=c*t; xi=c*xi+s*xi+1; xi+1=0; for(j=0;jn;j+) a=gij;b=gi+1j; gij=c*a+s*b; gi+1j=c*b-s*a; 算法2（计算Givens变换，其中已知）void GetCS(double *g,double *x,double y) double a; a=sqrt(x0*x0+x1*x1-y*y); if(a=0) g0=1; g1=0; else g0=(x0*y+a*x1)/(x0*x0+x1*x1); g1=(x1*y-a*x0)/(x0*x0+x1*x1); x0=y; x1=a; 算法3（使用Givens变换，求正交矩阵G使单位向量满足：）void XtoY(double *g,double *x,double *y,int n) standard(g,x,n); double c,s,t; double cs2; t=0.0; for(int i=0;in-1;i+) GetCS(cs,x+i,yi); for(int j=0;jn;j+) c=gij;s=gi+1j; gij=cs0*c+cs1*s; gi+1j=cs0*s-cs1*c; t+=yi*yi; if(t=1) break; 7设是中的两个非零向量，给出一种算法来确定一个householder矩阵，使，其中解 （1）当线性相关时，.（2）当线性无关时，令：，则即为所求。8假定是下三角阵，说明如何确定Householder矩阵，使得其中是下三角阵。解 为讨论方便，我们记第1步：令其中：，构造，则由householder变换的性质得第2步：令其中：，构造：，则；第n步，令：，构造，则有。9假定的秩为，并假定已经用部分主元Gauss消去法计算好了LU分解，其中是单位下三角阵，是上三角阵，是排列方阵。说明怎样用上题中的分解方法去找向量使得并证明：如果，那么解 由上题的结果可知，存在正交矩阵使.由2范数的正交不变性可知，记则有从而最小二乘问题：的求角解算法可按下列计算过程实现： 利用上题的算法分解下三角阵，即求正交阵：； 计算：； 求解下三角方程组现在来证明：如果，那么结合上面讨论的算法，我们只须证明：等价于事实上，与是等价的。10设且存在使得对每一个均极小化。证明：解 由矩阵奇异值分解定理知，设的秩 ，则存在阶正交阵和阶正交阵，使其中：是的非零特征值全体。可以证明矩阵，且.事实上，由定理3.1.4可知，对任一是=min.的解。另外，于是我们有11. 设是一个对角加边矩阵，即试给出用Givens变换求A的QR分解的详细算法。解 算法可分两部分：第一部分通过n-1次Givens变换，将A变换成如下形式第二部分通过n-1次Givens变换，将变换成如下形式下面我们详细描述这两部分算法过程：第一部分：对于.构造其中从而算法1（计算Givens变换1）算法2：（完成本题中的第一部分计算）第二部分，也是需要n-1个Givens变换其中从而算法3（计算Givens变换2）算法4：（完成本题中的第二部分计算）12利用等于证明：如果，那么证明 令泛函如果，那么对当且充分小时，从而由连续性有，由的任意性，则必有，即习题四1. 设方程组的系数矩阵为证明：对来说，Jacobi迭代不收敛，而G-S迭代收敛；而对来说，Jacobi迭代收敛，而G-S迭代不收敛。解 对于，则有从而，于是从而，即有由定理4.2.1知，Jacobi迭代法不收敛；G-S迭代收敛。对于，从而进而显然， 故由定理4.2.1知，Jacobi迭代法收敛；G-S迭代不收敛。2. 设满足，证明对任意的，迭代格式最多迭代次就可得方程组的精确解。证明 由于，故的所有特征值均为零。于是存在正交矩阵及矩阵使，注意到于是：另一方面，记： 从而，即.3.考虑线性代数方程组这里（1）为何值时，是正定的？（2）为何值时，Jacobi迭代收敛？（3）为何值时，G-S迭代收敛？解（1）对称矩阵正定的充分必要条件是其特征值均为正数。而的特征多项式为于是的特征值为：欲使它们均大于零，则（2）由于Jacobi迭代矩阵为的特征多项式为其特征值为：，于是谱半径. 由定理4.2.1可知，Jacobi迭代收敛当且仅当. 从而当时，Jacobi迭代收敛。（3）由于G-S迭代矩阵为其特征多项式为特征值为：从而 故由定理4.2.1可知，当时，G-S迭代收敛。注意：（2）和（3）中的可以是复数。4. 证明：若非奇异，则必可找到一个排列方阵使得的对角元素均不为零。证明 用数学归纳法证明。时，结论显然成立。假定对阶非奇异矩阵，结论也成立。那么对于阶非奇异矩阵我们来证明结论也是成立的。将按第1列作拉普拉斯展开，即有从而必存在，使，即，. 排列阵能使其中，且是的第行，是的第1列左乘排列阵后的向量，是的余子式。显然，即非奇异。由归纳假设，则存在阶排列阵使的对角元素均不为零。作阶排列阵则将只更换的后行，且使其右下角的阶子矩阵的对角线元素非零。令，则的各对角线元素均非零。注意：本题结论为使用古典迭代法求解线性方程组奠定了可行性。对于非奇异线性方程组，完全可以假定其系数矩阵对角线元素均不为零，即D非奇异。5若是严格对角占优的或不可约对角占优的，则G-S迭代法收敛。证明 若是严格对角占优的或不可约对角占优的，则必有，因此非奇异。现在来证明：G-S迭代矩阵的谱半径小于1。假设，则由的假设知，也是严格对角占优或不可约对角占优的，因此，而由于这说明迭代矩阵不存在模大于等于1的特征值。因此，从而G-S迭代收敛。6设是严格对角占优的。试证：证明 由Gerschgorin定理知，对任意阶复矩阵，其特征值都在复平面上的个圆的和集内。从而对任意一个特征值均有从而7. 设是具有正对角元素的非奇异对称矩阵。证明：若求解的G-S迭代方法对任意近似皆收敛，则必为正定的。证明 方程组的G-S迭代如下：，由的对称性可知，即G-S迭代又可写成若令方程组的精确解为，并记，则有若令 注意到：，则有， 用和分别左乘上两式，并做差得注意到：，故得由题设可知D是正定的，因此，上式表明误差向量具有某种“减小性”，即现在来证明若G-S迭代收敛，则A是正定的。用反证法：设A不正定，则可找到一个，使。由题设知：，所以非奇异，于是方程组有非零解，记为，则由假设知于是有这与的减小性相抵触。该矛盾说明A是正定的。8若存在对称正定阵P，使为对称正定阵，试证迭代法收敛。证明 设是的任一特征值，是关于的特征向量，于是因都是正定阵，故，即 . 由的任意性得知，故迭代法收敛。9对Jacobi方法引进迭代参数，即或者称为Jacobi松驰法（简称JOR方法）证明：当的Jacobi方法收敛时，JOR方法对收敛证明对于，则Jacobi迭代矩阵和JOR迭代矩阵分别是由于Jacobi迭代收敛当且仅当，即的任一特征值现设是Jacobi迭代矩阵的一个特征值，非零向量是其对应的特征向量，则有即有进而即若是Jacobi迭代矩阵的一个特征值，则便是的一个特征值当取定：，并假定，注意到即的所有特征值模小于，从而，即JOR迭代收敛10证明：若是具有正对角元的实对称矩阵，则JOR方法收敛的充分必要条件是及均为正定对称矩阵证明由于的对角元都是正数，故的对角元为正数，故显然，矩阵与相似，两者有相同的特征值。同时，它与A有着相同的实对称性。因此，两个矩阵的特征值都是实数。必要性。设JOR迭代收敛，即那么，矩阵的特征值在区间内，于是得出的特征值位于区间内，这就是说是正定的，而它与具有相同的正定性，因此也是正定的另外，实对称矩阵的特征值完全由的特征值所生成，所以的特征值将全部位于区间内，因此是正定的。注意到因此矩阵也是正定的。充分性。一方面，因为所以与一样是正定矩阵。即的特征值均大于0即的特征值均小于另一方面，由于正定，而且所以，矩阵是正定的，即特征值全部为正数，即的特征值均大于结合两方面的结果，得知：，即JOR迭代收敛11.证明：若系数矩阵是严格对角占优的或不可约对角占优的，且松驰因子，则SOR收敛。证明 若矩阵是严格对角占优的或不可约对角占优的，则必有，因此D非奇异。现假定某个复数，则矩阵也是严格对角占优的或不可约对角占优的。不妨假设，且，于是就有从而因此得到于是由的严格对角占优或不可约严格对角占优可知也是严格对角占优或不可约对角占优的。因此，是非奇异的。而因此，不是SOR迭代矩阵的特征值。由的任意可知，的特征值都将满足，于是，从而SOR迭代收敛。12证明矩阵是具有相容次序的证明只需按定义验证，取矩阵符合相容次序的定义习题5证明等式(5.1.4)证明考虑在方程组的解向量处的Taylor展式，则有，注意到：，于是上式可写为设是由最速下降法产生的证明：，其中证明由Taylor展式易知注意到：，由的正定性可知是正定的，因此，于是，从而试证明当最速下降法在有限步求得极小值时，最后一步迭代的下降方向必是的一个特征向量证明假定在步迭代后，得到了精确解，即，从而有，记：，整理可得，即是说是的一个特征值，是其对应的特征向量4证明线性方程组(5.2.1)的解存在唯一证明为证明(5.2.1)的解存在唯一，只需证明其系数矩阵的行列式不为零注意到：，其中由定理5.2.1可得为了讨论方便，我们引入记号，则将代入后，得设对称正定的，是互相共轭正交的，即证明是线性无关的证明若有一组数满足则对一切一定有注意到，由此得出：即所有的因此，是线性无关的设为对称正定矩阵，从方程组的近似解出发，依次求使得，其中是阶单位矩阵的第列，然后令验证这样得到的迭代算法就是迭代法证明在下面的讨论中，我们用表示第迭代的向量，表示的第个分量第一步：从出发，沿方向搜索得新的极小值点，则，其中，从而；完成第一步后，可以看出与直接从做迭代一步所得的第一个分量相同现在考虑第迭代假定的前个分量符合迭代形式，现从出发，沿进行极小化搜索，得极小值点，其中从而这里显然令，则恰与对经一次迭代后的近似解完全一致设是一个只有个互不相同的特征值的实对称矩阵，是任一维实向量证明：子空间的维数至多是证明由于是实对称矩阵，因此存在一个完全实特征向量系不妨设的特征值为其重数为， ，且设关于 的特征向量为，是的单位正交实特征向量系，于是对任一维实向量有从而现在用归纳法证明的维数至多是当，假定存在个实数使在上式两边同乘以，则得到将其看作是的方程，则系数矩阵为，显然，它是一个秩不超过的矩阵因此，该方程的解系的自由变量至少有个这说明的维数为到多为习题61设矩阵，矩阵，且证明：证明令：则显然，欲证本题结论，只需证明：假设，分两种情况讨论：（）是的一个特征值，非零维向量是关于的特征向量，即有，显然，于是有，此式表明是的特征值，对应的特征向量为从而有（），则即于是得知：同理可证：从而由和的定义知：至此，命题得证 设是的Schur分解证明：有收敛的子序列；若记，则有是上三角矩阵证明由于是的Schur分解，因此是上三角矩阵，因此，仍上上三角矩阵设没有重特征值，满足证明：若是的Schur分解，则是上三角矩阵证明根据题设，既然没有重特征值，不妨设的特征值如下排列再由Schur分解定理，不妨设定再将代入中，整理可得为叙述方便，记至此我们只需证明：对于一个阶矩阵，如果，则必是上三角矩阵用归纳法证明当时，设于是有由于，则对应地有：，又因，故得即是上三角矩阵归纳假设，当和为阶矩阵时结论成立现在来证明阶的情况，我们将写成如下块形状于是便有因，故应有，于是，由题设不难清楚非奇异，因此从而，进而得知由归纳假设知是上三角矩阵从而证得是上三角矩阵设，对于给定的非零向量定义，称之为对的Rayleigh商证明对任意的有，即Rayleigh商有极小剩余性证明证明 使达到极小的问题是一个关于未知量的线性最小二乘问题它的正规方程即是，其解为从而设求的特征值的条件数解显然都是单特征值对于来说，显然是关于的一个模特征向量同时，容易求得是关于的满足的左特征向量，故由特征值条件数的定义得知对于来说，解方程得到关于的特征向量当时，再由方程可解得关于的左特征向量，令，则得出从而由特征值条件数的定义知分别应用幂法于矩阵，并考察所得序列的特性解我们不妨设对于矩阵即初始向量：，迭代如下： ； ；一般地，显然对于矩阵取初始向量：，则迭代得到；由此我们可以看出，迭代数列：，和向量序列：均不收敛但它们都各对应地存在两个收敛子列即当脚标为奇数时，；当脚标为偶数时，在幂法中，取得到一个精确到位数字的特征向量需要多少次迭代？解分析幂法可知，由算法得到的向量序列满足：注意到：于是得知，欲使计算结果精确到位数字，只需解之得：设有实特征值满足现应用幂法于矩阵试证：选择所产生的向量序列收敛到属于的特征向量的速度最快。证明由于特征值满足，因此不论如何，的按模最大的特征值为或，当我们希望计算和时，首先就选择使且使收敛速度的比值显然，当，即时，收敛速度的比值最小，即收敛速度最快10应用幂法给出求多项式之模最大根的一种算法。解 根据拉普拉斯展开公式得知若令则有。这样，我们就可以针对矩阵A利用幂法求得多项式的一个模最大特征值。利用反幂法计算矩阵对应于近似特征值（精确特征值中）的近似特征向量解取初始向量：，位移取为，用反幂法迭代一次，即先求解方程组解得：；单位化得设，并假定和已给定，且不是的特征值证明：可选择满足使得向量是的一个特征向量证明根据题设可知，都是非零向量，因此存在Householder变换使令，由于是正交的，故，因此同时有即向量是关于其特征值的一个特征向量设，并假定是的特征值但不是的特征值证明：存在向量使得证明设非零向量为关于的特征向量，即，再取：，则，从而，即应用基本的迭代于矩阵，并考察所得的矩阵序列的特点，并判断该矩阵序列是否收敛？解用Givens正交变换实现迭代：第步：，第步：，由上面的两步迭代，即已说明对该矩阵进行迭代，其矩阵序列由两个矩阵构成其奇数项和偶数项，因此该矩阵序列不收敛设证明：存在初等置换矩阵和初等下三角矩阵使得有如下形式证明若的第一列除第一个非分量外，其余各分量为零，则结论显然成立不妨假设的第一列除第一个分量外，至少还有一个分量非零，并设，那么我们取，从而有其中：继而构造Gauss变换其中：则不难验证具有题中的形式依照即可完成设，证明：如果是非奇异的，则是上Hessenberg矩阵证明由假设可知，的个列向量是线性无关的我们令则现在我们来考察上式两边矩阵的前列则有，由于是线性无关的，因此从而得知证明：若是一个非亏损的上Hessenberg矩阵则没有重特征值证明设是的一个特征值，则由于是不可约的，即次对角线上的各元素，故的秩为，因此方程组，的基础解系的秩为，即对应于的特征向量都是线性相关的又是非亏损的，因此，将有个线性无关的特征向量而每个特征值只对应存在一个线性无关的特征向量，因此必具有个互不相等的特征值即没有重特征值设是一个为可约的上Hessenberg矩阵证明存在一个对角矩阵使得的次对角元素均为是多少？证明令，则由矩阵乘积的定义可知的次对角元素依次为令其均等于，则可得到令，则从而记，则设是一个上Hessenberg矩阵，并假定是的对应于实特征值的一个特征向量试给出一个算法计算正交矩阵使得，其中是阶上Hessenberg矩阵解不妨假定，以作为第一列构造正交矩阵，显然，从而便有其中将算法6.4.1用于阶矩阵，得，再令，为本题所求的正交矩阵，即设是一个奇异的不可约上Hessenberg矩阵证明：进行一次基本的QR迭代后，的零特征值将出现证明由于是奇异的不可约上Hessenberg矩阵，所以它的秩为且由定理3.3.1可知，的分解如下，其中是上三角矩阵，其对角元素均为正数于是由算法可知，仍是上Hessenberg矩阵，这样零特征值便出现了的右下角证明：若给定，并由产生矩阵序列，则证明先来证明下面的等式关系：事实上，特别地，当时，下面我们用归纳法证明本题结论当时，结论显然成立现归纳假设时，结论仍然成立，即有现在来证明对于时，结论仍然成立事实上，设是一具有互不相同对角元素的上三角矩阵，给出计算的全部特征向量的详细算法解根据题设，的对角元素恰是个互不相等的特征值下面给出计算关于特征值的特征向量方法记关于特征值的特征向量为，它是下列方程组的非零解向量为讨论其算法，我们记，我们将和做如下分块这里是一个非奇异的阶上三角矩阵；是一个非奇异矩阵；从而，方程等价于显然，根据以上的分析，我们得到计算关于特征值的特征向量的算法步骤如下：（）任取；（）对于依次计算：；（）取：证明：对任意的有分解：，其中是酉矩阵，是下三角矩阵利用这一分解给出求矩阵特征值的QL算法，并给出QL算法类似于定理6.4.1的收敛性定理证明对照定理3.3.1及定理6.4.1的证明设是上Hessenberg矩阵，并且假定已经用列主元Gauss消去法求得分解，其中是排列矩阵，是下三角矩阵，是上三角矩阵证明：仍是上Hessenberg矩阵，并且相似于证明由于是上Hessenberg矩阵，故的三角分解中的具有如下形式：根据的形成，可知呈三对角形，即从而对于，及，我们有这说明是上Hessenberg矩阵另外，和是相似的事实上设，其中是一个有一对共轭特征值的矩阵设计一种算法计算一个3阶正交矩阵使得，其中解为了给出构造正交矩阵的算法，我们先看下面一个结论：设是对应于的一个左特征向量，并假定已规范化，从而于是，可以找到一个，使是酉阵因为所以，由于，因此置，那么据此结论，我们设计的算法第一步当然就是计算矩阵的一个左特征向量这可由下列方程组解出，我们记，并设定，则可由下列二阶方程组解定，由于不是的特征值，故该方程存在唯一的解计算出关于的左特征向量后，再构造正交矩阵，便实现了本题需要的算法设 是一个如下形式的拟上三角矩阵，其中是的或是一个有一对复共轭特征值的的矩阵设计一种计算的全部特征向量的数值方法解若是的矩阵，即是的一个实特征值，此时可用反幂法求得相应的特征向量若是的矩阵，则存在一对共轭特征值，相应的特征向量为现在我们较详细地讨论不用复运算计算相应特征向量的反幂法设相应的近似特征值为，复形式下的反幂法为（）令，代入（）第一式，令实部和虚部相等，得到 （）（）由上二式消去，可以得到（）联合（）和（）即可由求得由（）可知，迭代时要求解的方程组系数矩阵是，因为是拟上三角矩阵，这个矩阵只是比上三角阵多一条次对角线元素，所以用列主元Gauss消去法进行三角分解时，计算量还是比较小的借助幂法设计一种计算一个给定矩阵的最大奇异值的算法，并讨论你所设计算法的收敛性解设的奇异值就是矩阵的特征值的算术平方根所以可以通过下列算法求得一个给定矩阵的最奇异值，其收敛性与幂法的收敛性的讨论类同算法步骤： 计算矩阵：； 利用幂法于矩阵，求得矩阵的最大特征值； 计算得到奇异值：借助反幂法设计一种计算一个给定矩阵的左右奇异向量的数值方法解由奇异值和奇异向量的定义可知：若是矩阵的奇异值，则关于奇异值的右奇异向量和左奇异向量分别满足，由此，我们可以分别按以下两种算法计算得到最大奇异值的左奇异向量和右奇异向量：算法（计算右奇异向量的反幂法） 计算：； 利用反幂法计算的按模最大的特征值的特征向量（即的右奇异向量）算法（计算左奇异向量的反幂法） 计算：； 利用反幂法计算的按模最大的特征值的特征向量（即的左奇异向量）30设，其中并假定. 试证明：若，和是两个互素的整数，则由幂法产生的向量序列有个收敛子序列，且分别收敛到向量，这里表示的第行向量证明对任意的初始向量，注意到，于是，再因，从而这样便有于是，由幂法可以产生向量序列，其中注意：上式中分母原应为，只因，故亦可用代替因为，所以，由题设可知，对于有，再由的周期性可知，对任意的非负整数，及当时从而存在个收敛子序列，它们是并且31设是非亏损的，并假定的特征值满足定义，其中是一个在的特征子空间上投影不为零的向量试证：若再假定是Hermite矩阵，则证明由于是非亏损矩阵，故与对角矩阵相似，即存在使假设于是再由的定义不难得知，由于同理可得从而若假定是Hermite矩阵，则前述中的非奇异矩阵将是酉矩阵，从而，于是