《矩阵运算基础》PPT课件.ppt

1,第2章矩阵运算基础,2,本章目标,掌握矩阵、向量、数组的构造和运算方法能够使用常用的几种函数进行矩阵的数值问题求解,3,主要内容：,2.1矩阵的创建2.2矩阵和数组的运算法则2.3矩阵和数组的关系运算2.4矩阵和数组函数2.5特殊矩阵2.6稀疏矩阵,4,第2章矩阵运算基础,MATLAB是基于矩阵运算的处理工具MATLAB支持线性代数所定义的全部矩阵运算,5,标量：是指11的矩阵，即为只含一个数的矩阵。向量：是指1n或n1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，00矩阵为空矩阵()。数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。,6,2.1矩阵的创建,在MATLAB中创建矩阵应遵循的原则：矩阵的元素必须在方括号“”中；按矩阵行的顺序输入各元素；同行元素之间用空格或逗号“，”间隔；行与行之间用分号“；”或回车符分隔；矩阵的尺寸不必预先定义；矩阵元素可以是数值、变量、表达式或函数,7,矩阵创建的4种方法1、命令窗口直接输入2、通过M文件创建矩阵3、通过函数创建矩阵4、通过数据文件创建矩阵,8,例：输入矩阵A,在命令窗口中输入：A=123;4,5,6789A=123456789,9,由m文件生成MATLAB中的矩阵可在m文件中建立,在命令窗口直接调用。对于大型矩阵，采用此方式更便于修改。重要提示：m文件中的变量名称与文件名不能相同，否则调用时会出现变量名与函数名混乱。,10,例用m文件建立大矩阵x，文件名为abc.mx=456468873257955;2168754488813;6545678898215;4566845896545987;548810963377,11,复数矩阵的创建,(1)同实数矩阵，唯一的不同是此时矩阵数据元素是复数而非实数。如x=1+2i,3+4i,5-6i;10+20i,30+40i,50+60i(2)虚实矩阵分开创建，再写成和的形式。如a=135;102030;b=24-6;204060;x=a+b*ix=1+2i3+4i5-6i10+20i20+40i30+60i,12,矩阵下标与子矩阵提取,对于某一矩阵A：A(m,n)提取第m行，第n列元素A(:,n)提取第n列元素A(m,:)提取第m行元素A(m1:m2,n1:n2)提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2列的所有元素A(m:end,n)：提取从第m行到最末行和第n列的子块A(:)得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列end表示某一维的末尾元素下标。,13,x=1230;5608;90112;0141516x=12305608901120141516x(2,3)ans=0x(:,2)ans=26014x(2:3,1:3)ans=560901,x(2:end,1)ans=590x(:)ans=15902601430115081216,14,向量,可以认为矩阵是由一组向量构成,即向量是矩阵的组成元素.分类:行向量列向量,15,向量的构造,1逐个输入a=139101516%采用空格和逗号分隔构成行向量b=1;3;9;10;15;16%采用分号隔开构成列向量2利用冒号表达式“:”生成向量x=1:2:9%初值=1，终值=9，步长=2z=1:5%初值=1，终值=5，默认步长=13利用函数生成向量x=linspace(1,9,5)%初值=1，终值=9，元素数目=5,线性等分y=logspace(0,1,10)%初值=100，终值=101，元素数目=10，等指数间隔,16,冒号的作用,(1)用来产生一个相量。(2)用来表示一个矩阵的一行或一列,17,例：创建0到2间的正弦函数向量,在命令窗口输入：x=0:pi/4:2*pi;%创建0到2间间隔为/4的自变量y=sin(x)%得到0到2间间隔为/4的正弦函数y=Columns1through600.70711.00000.70710.0000-0.7071Columns7through9-1.0000-0.7071-0.0000,18,2.2矩阵和数组的算术运算,2.2.1矩阵和数组的加减运算注意：相加减的两个矩阵必须有相同的阶数；其中一个是常数时，常数与每一个元素相加减。a=123;456;789;b=246;369;4812;c=a+bd=b-ac=d=36912371115-113111621-303e=a+4e=5678910111213,19,2.2.2矩阵的乘法使用“*”运算符，要求符合矩阵相乘的规定，即当矩阵a为ij阶，矩阵b为jk阶时，矩阵a和b才能相乘。2.2.3数组的乘法使用“.*”运算符，要求a、b两数组必须具有相同的阶数，a.*b表示a和b中对应元素之间相乘。,20,a=123;456;789;b=123;c=a*b?Errorusing=mtimesInnermatrixdimensionsmustagree.c=b*ac=303642d=b.*cd=3072126,21,例：A=123;-200;101;-123;B=-13;-22;21,求C=A*6，A=123;-200;101;-123A=123-200101-123c=A*6c=61218-1200606-61218,22,2.2.4矩阵的除法：,有两种：(左除)、/(右除)若A是非奇异方阵，则ab、b/a均可实现，分别对应a的逆与b的左乘和右乘，即inv(a)*b和b*inv(a)。inv(x)-求x矩阵的逆矩阵通常情况下，x=ab是a*x=b的解，x=b/a是x*a=b的解。对于矩阵运算，一般ABB/A。,23,a=rand(3)a=0.95010.48600.45650.23110.89130.01850.60680.76210.8214b=rand(3)b=0.44470.92180.40570.61540.73820.93550.79190.17630.9169c=a/bc=1.7993-2.00591.74821.3530-0.4548-0.11440.27440.66730.0936c=bac=3.2912-0.06013.45610.44000.1830-0.2760-2.26530.8479-2.0362,24,对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和43有相同的值，都等于0.75。又如，设a=10.5,25，求a/5和5a,25,2.2.5数组的除法：用符号“./”和“.”表示。a、b必须具有相同的阶数。a./b表示a中元素分别除以b中的对应元素。a.b表示b中元素分别除以a中的对应元素。,26,a=123;b=246;c=a./bc=0.50000.50000.5000c=a.bc=222,27,2.2.6矩阵的幂运算：符号“”只有方阵能进行乘方运算一个矩阵的乘方运算可以表示成ap，要求a为方阵，p为标量。p0，a自乘p次p=0，得到与a相同维数的单位阵pa=123;b=234;c=a.3d=a.be=2.a其中，c=a.3=132333=1827d=a.b=122334=1881e=2.a=212223=248,31,2.2.8矩阵的转置：矩阵的转置用符号“”表示。如果矩阵a是复数矩阵，则a为它们的复数共轭转置。a.或conj(a)表示非共轭转置。,32,a=123;456;789a=123456789aans=147258369,33,a=1+2i3+4i;5+6i7+8ia=1.0000+2.0000i3.0000+4.0000i5.0000+6.0000i7.0000+8.0000ic=ac=1.0000-2.0000i5.0000-6.0000i3.0000-4.0000i7.0000-8.0000id=a.d=1.0000+2.0000i5.0000+6.0000i3.0000+4.0000i7.0000+8.0000i,34,2.3矩阵和数组的关系运算和逻辑运算,2.3.1关系运算关系运算符：(大于)=(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。关系运算符的运算法则：关系运算将对两个矩阵的对应元素进行比较。真为1，假为0。最终关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。,35,a=3-2-9;b=35-2;aa=bans=100a=bans=100,36,2.3.2逻辑运算（与）运算当运算双方对应元素的值均为非0时，结果为1，否则为0。（或）运算当运算双方对应元素的值有一个为非0时，结果为1，否则为0。（非）运算：对单个矩阵进行取反运算当元素的值为0时，结果为1，否则为0。,37,a=104;3-20;-523;b=356;-213;03-2;a5608;901112;0141516;det(X)ans=-5464,41,2.求矩阵的秩X=1,2,3;2,3-5;471;rank(X)ans=2,42,3.求逆矩阵,X=1230;5608;901112;0141516;Y=inv(X)Y=0.22990.09080.0351-0.07170.19400.0798-0.06590.00950.1274-0.08350.03220.0176-0.28920.00840.02750.0377Y*X%矩阵与其逆阵相乘结果是单位矩阵ans=1.000000001.000000001.000000001.0000,X*Y%矩阵的逆阵是唯一的ans=1.000000001.000000001.000000001.0000,43,2.5特殊矩阵,44,例分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1)建立一个33零矩阵。zeros(3)(2)建立一个32零矩阵。zeros(3,2)(3)设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=123;456;%产生一个23阶矩阵Azeros(size(A)%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,45,例2-4建立随机矩阵：(1)在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5),46,2用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,47,例2-5将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5),48,(2)范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。,49,(3)托普利兹矩阵托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例如T=toeplitz(1:6),50,(4)伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令：p=1,0,-7,6;compan(p),51,2.6.1矩阵存储方式MATLAB的矩阵有两种存储方式：完全存储方式和稀疏存储方式。1完全存储方式完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存储。以前讲到的矩阵的存储方式都是按这个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也适用。,2.6稀疏矩阵,52,2稀疏存储方式稀疏存储方式仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置，即行号和列号。在MATLAB中，稀疏存储方式也是按列存储的。A是具有稀疏矩阵特征的矩阵，其完全存储方式是按列存储的全部12个元素A=1000;0500;2007其稀疏存储方式如下：（1，1），1，（3，1），2，（2，2），5，（3，4），7括号内为元素的行列位置，后面为元素值。,53,2.6.2稀疏存储方式的产生1将完全存储方式转化为稀疏存储方式函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时，则函数调用相当于A=S。sparse函数还有其他一些调用格式：sparse(m,n)：生成一个mn的所有元素都是0的稀疏矩阵。sparse(u,v,S)：u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。full(A)：返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。,54,sparse(12;23,12;34,rand(2),55,2产生稀疏存储矩阵sparse可以将完全存储方式转换为稀疏存储方式，那么，当使用稀疏矩阵时，要先产生完全存储方式的矩阵，然后再转换，这显然是不可取的，MATLAB有自己产生稀疏矩阵的函数spconvert，调用格式为：B=spconvert(A)其中A为一个m3或m4的矩阵，其每行表示一个非0元素，m是非0元素的个数，A每个元素的意义是：(i,1)第i个非0元素所在的行。(i,2)第i个非0元素所在的列。(i,3)第i个非0元素值的实部。(i,4)第i个非0元素值的虚部，若矩阵的全部元素都是实数，则无须第四列。该函数将A所描述的一个稀疏矩阵转化为一个稀疏存储矩阵。,56,例根据表示稀疏矩阵的矩阵A，产生一个稀疏存储方式矩阵B。命令如下：A=2,2,1;3,1,-1;4,3,3;5,3,8;6,6,12;B=spconvert(A),