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第一章 函数与极限习题1.1A组 1.（1）定义域为x|xk(kZ) (2)x|x. 2.(x+1)= = 3. 4.(1)y= (2)y= 5.(1) (2)6. 对 7.圆锥形漏斗的底面半径高所以V= 8. B组1.（1）（2） 所以当a时，定义域为.当时，定义域为。2. 3. 4.(1)y=tanu,u=v+w,v= (2)y=.5.(1)令x=-1,则 (2)习题1.21.（1）无极限 （2） (3)无极限.2. (1) 3.证明: 4. 当k 取 | 5. 由于| 逆命题不成立，如习题1.3 A组1.(1)对 (2)对 (3) 对 有 (4) 2.由于 故当|x|时，|y-1|1时单调减且有下界，故单调有界收敛准则知存在 不妨设 a=（舍去） 5.因为 假设 又 从而有单调有界收敛准则知收敛 设(舍) 从而B组1.(1) (2)0 2.a=3,b=43.4.由于 习题1.5 A组 1.(1) (2) (3) 2.由于 3.(1)由于 (2)由于 4.(1)要使 (2)由于 故k=2 (3)要使故k=1 (4)故k=35.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)(8)(9)(10) B组1.（1） (2) =2. 3. 故4. =习题1.6 A组 1.(1正确 （2错误 （3错误 （4错误（5错误 （6错误 2.(1) 。 3.(1) . (2)为无穷间断点。为可去间断点。 (3)x=0为第二类间断点。 (4) , 在处无定义， 所以为可去间断点，补充定义可使为连续点。 另外，故为的无穷间断点。 4. 其连续区间为 5. 6.(1) B组1. 当|x|1时 f(x)= 当|x|=1时 f(x)=即 2. 3. 则由f(x) ,g(x)在点处连续知1.7 A组 1. 令f(x)=x-cosx,且f(x)在故由零点定理知，方程f(x)=0在.2. 令f(x)= 同理 原点定理知 至少 3.令 由于f(1)=1+e0,f(-1)=-1+ 4.由于f(x)在 即对 故m 由介值定理知，至少 B组 1.证：令h(x)=f(x)-f(x+a),a 由于f(x)在0,1上连续，故h(x)在0,1-a上连续，又f(x)在0,1上非负，且f(0)=f(1)=0, 故h(0)=f(0)-f(a)=-f(a)0,h(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)0 从而h(0)h(1-a)a0 若h(0)h(1-a)=0,则必有h(0)=0或h(1-a)=0,取 若h(0)h(1-a)0时f(x)=x0 当-1x 当 故gf(x)= 从而gf(x)的定义域为R 3.未必存在，但当存在 反例：当4.(1) (2) (3) (4) (5) (6)5.由于f(0)=1, 故f(x)在x=0处不连续6.令f(x)=x-a-bsinx,则f(x)在0,a+b上连续，又f(0)=-a0时，f(0)f(a+b)0,由零点定理，f(x)在(0,a+b)内至少有一个零点 当f(a+b)=0时，x=a+b即为x=a+bsinx的一个正根。 综上所述，x=a+bsinx至少有一个正根，且它不超过a+b二、技能拓展 1(1)由于f(x)的定义域为-1,0,则 (2) 故 2(1) (2)= (3)而 (4) 4.因为 =,即a=1,b=-1 5.因为 故 6.由于 7.令f(x) 由于 同理由 8.由于f(x)在a,b上连续，故f(x)在a,b上有最大值M和最小值m,即m 从而m,故由介值定理知，三、探究应用 1(1) （2） 2.由 (1),故（2） (3). = 3(1)设圆的半径为r，则AB=2r (2)OC=r4.设投射角为 消去t可得 将x=1750,y=0代入得 在 在(m)显然只有后者才能使抛物线的顶点高度更大，即只要小山的高度不超过742m,就以一定能打到躲在山后离我军1750m远处的鬼子兵，由此可知恰能打中鬼子兵的弹道曲线是：5.证明：设该圆的半径为R，以该圆的中心O为坐标圆点建立坐标，则圆的参数方程为 根据条件可知，该圆上P(Rcost，Rsint)点处的温度f（t）在闭区间0,2上连续且有 ， 由于任一条直径两端点所对应的参数正好相差，作辅助函数 显然 = 由零点定理可知，一定存在，。2.1 A组B组2.2 A组组2.3 A组B组2.4 A组B组2.5 A组B 组2.6 A 组3略B 组2.7 A组B 组2.8 A组B 组2.9 A组B 组2.10 A组B 组2.11 A组B 组2.12 A组B 组总复习题二二、技能拓展三、探究应用习题.A组1 S=2dx2 （1） （2）3 （1）当时，故由积分的单调性知。 （2）当时， ，从而有，故。4.当时，有，又因为，故有 ，即 。B组1当时，故，而，由夹逼定理知：。2原极限=，函数，由于在上连续，从而可积。将区间等分：，则由定积分的定义知： 。3（1）当时，故又，从而，即证。（2）当时，故。习题3.2A组1（1） （2）0 （3） (4) (5)2.方程两边关于求导得：，故。.（） （） （）（）（）组（）（）（）（），故是的一个原函数;，故是的一个原函数;，故是的一个原函数。4因为，所以 习题3.3A组1（1） （2） （3）2（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7）(8)(9)（10）3由题意知：f（0）=0 且 ，所以，又 ， 故 ，从而 。B组1.(1)(2)(3)(4)(5)(6) 习题3.4 A组1(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)令，则故(10)令x=sect，则 ， 2.(1) （2）（3）（4）（5）（6）（7）令，则当时，当时。故（8）令，则当时，当时。 故3解法一：令，则 解法二：，则 4（1）由于为上的奇函数，故。 （2）由奇偶函数的性质知： 。5.由题意知且，故。B组1（1）(2) (3)(4)(5) 令，则，故 (6) 令 即，故 2.(1) (2) (3)(4)(5) 3.由于，故，又因f(x)在内连续，故由积分中值定理知 ， ，因为单调不减，故 ，从而 所以单调不增，4.由题意知：且 习题3.5A组1.(1)(2)(3)(4) (5)(6) (7)(8)2.由题意知所求总产量为B组1.(1) (2)(3)(4) 2.所求总废弃量为： 习题3.6A组1.(1)设则有比较系数得 故，从而有 (2)因则有比较两边系数得 ， ， 故，从而(3) 设，则有，比较两边系数得 ， ， ，从而(4)由于(5)令， 则，故 (6) (7)令，则 ，故 （8）令，则B组1.(1)令t=，则 dx=2tdt2. 令u=tan() ，则3. ， 4 (1)当 ，即 或 时，原式= （2）当，即时，习题3.7A组1.不正确。 2.不正确。 34（1）（2）（3）（4）（5）（6）B组1 （1） （2）， 又 .（3）令 则 ，.2(1) (2) 习题3.8A组 1 （1）由，则所求面积为（2）由，则所求面积为 （3）由图形的对称性知，所求面积A为第一象限部分与坐标轴所围成的面积的4倍，即2 先求切线方程，由于故抛物线在（0，-3）及（3,0）处的切线方程分别为： 交点为，故所求面积为 .3.(1) （2）星形线的参数方程为，由图形的对称性知， （3） 4.由于，从而弧长元素，故所求弧长 5由于，从而星形线的弧长元素 由对称性知所求弧长为 6表面面积 7B组1（1）由得，即，故由图形的对称性知所求面积为 （2）由得，即，故由图形的对称性知所求面积为 2 由星形线的对称性知 3由心脏线的对称性知，它在与撒谎能够的弧长相等，又因，故其全长为4悬链线，其长度为 习题3.9A组123建立如图直角坐标系，取x为积分变量，则，对任意的，对应于小窄条所受压力近似于（其中r为水的比重）,而所以所求压力为 4由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例为k，于是媒质的阻力为 ，在上克服阻力所做的功（功微元）为 ，当物体从移动到时时间t从到，克服阻力所做的功为 B组1 建立如图所示的直角坐标系 ，选取x为积分变量，则，相应于 上仅一小区间的一薄层水的高度为，水的比重为，则这薄层水吸出水池外的功微元为，所以所求功为 23建立如图所示的直角坐标系 ，选取y为积分变量，则，在上任取小区间，。由微元法知引力微元为 （k为引力常数） 设引力与x轴正向的夹角为，则 ，所以所求引力F在水平方向和垂直方向的分力、的微元分别为 将、分别在上积分得引力分量 总复习题三一、 基础知识1（1）A（2）A （3）C （4）C （5）D（6）D2（1）（2）（3）0（4） （5） （6）？（7）（8）（9）43（1） （2） （3）因为，所以 （4） （5）令 ， 456圆的面积 圆的周长7前两个小时内消耗的总能量 8前三个月的销售总量为 二、 技能拓展1 令，即，故，所以2，由题意知 ，故或，若，则有故；若，则有，当时，极限值为，当时，极限值为0，这均与极限值为2不一致，故。从而3证明：不妨设在上，则，且在上有，其中、分别为在上的最小值与最大值，从而有， 若，则由上式知，从而在上任取一点作为均成立； 若，则，由连续函数的介值定理知，至少存在使得4 56摆线与x轴所围成的面积 弧长 体积 7曲边梯形的面积 三、探究应用1（1）将等分，令，由柯西不等式可得 两边令，即得。 （2）2（1） （2）令，则 又 所以3曲线在上的弧长 而椭圆，即的周长故在一个周期上的弧长等于椭圆的周长。第四章 常微分方程习题4.11（1）是 二阶 （2）不是 （3）是 二阶 （4）是 二阶 （5）不是 （6）是 三阶2（1）由 于 ，。故是方程的解。（2） 故是所给方程的解3（1）（2）（3）4 由于，故， ，故，从而，均为方程的解，同理可证也是方程的解。习题4.2 A组1（1）将原方程化为，两边积分得 故通解为（2）原方程化为，分离变量的 整理的原方程的通解为 （3）将原方程化为,分离变量得积分得 为所求通解。（4）令，则 故所求通解为 （5）令，则 故所求通解为 （6）令，则 整理得原方程的通解为 2（1）令，即，则 故从而得原方程的通解为 （2）原方程可化为 ，令，即，则，即 从而所求通解为 （3）原方程即为 ，令，即，则故有 从而所求通解为 （4）联立 得令，则令，则，从而有 故所求通解为 3(1)由于，则， 将代入得 ，故所求解为（2）由于，故 即 将代入得，故所求解为（3）原方程即为令，则 从而，代回得代入得，故所求解为（4）原方程即为令，则 代入得=1，故所求解为 4设降落伞的质量为，下落初速度为，则有牛顿第二定律知，即，且 代入得5（1），其中，故所求解为（2），其中，故所求解为（3）先求的解为，或，将变易为，即令代入原方程得 故所求通解为（4）解法一 令，原方程为，其中 故原方程的通解为解法二 ，令，解得，常数变易得， 则方程通解为（5）解法一 ，其中，故解法二 ，则 ，令则 （6），其中， 6（1），这是的伯努利方程令，则 从而所求解为及（2）解法一 当时，有令，则 ，其中，故及是所求的解。解法二 ，当时，有，令，则，则 ，令则 故及是所求的解。B组练习4.3A组1. （1）和均是方程的解，但不能组成通解，因为与线性相关；（2）与都是方程的解，且能构成通解，其通解为；（3）与均是方程的解，且能构成通解，其通解为。2. （1）特征方程为，得2，3，故通解为；（2）特征方程为，得，故通解为；（3）特征方程为，得，故通解为；（4）特征方程为，得1，3，故对应的齐次线性方程的通解为，由于，其中不是特征值，故可设特解，代入原方程得，从而原方程的通解为。 （5）特征方程为，得，故对应的齐次线性方程的通解为，由于，其中是单特征值，故可设特解为，代入得，故通解；（6）特征方程为，得，故对应的齐次线性方程的通解为，由于，其中是特征值，则可设特解为，代入原方程得，所以，故所求通解为；（7）特征方程为，得，故对应的齐次线性方程的通解为，由于，其中是二重特征根，所以特解可设为，代入方程得，推出，故，从而所求通解为。3. (1)令，代入原方程得，得出，故所求通解为； （2）原方程即为，令，则原方程化为，即 （*），（*）的特征方程为，得，由于，其中是单特征值，可设特解为，代入（*）得：，所以，从而（*）的通解为，代回得原方程的通解为。4. (1)特征方程为，得，故通解为，将，代入得：，得，故所求特解； （2）特征方程为,得，由于，其中为单特征值，故可设特解为，代入原方程得：，推出，故通解为，代入，得：，所以，从而所求特解为。5 （1）由于方程的特征方程为，得，故其通解为，代入，得，推得，从而所求曲线为。B组1. 由于与无关，故方程的通解为，所以，得出。2. 由题意知：，即，且，这是一个二阶常系数微分方程，解之得运动方程为。习题4.4A组1. （1），所以； （2），所以； （3）（不显含）， 令，则，这样原方程化为，所以； （4）（不显含）， 令，则，这样原方程化为，即； （5）（不显含）， 令，则，这样原方程化为，所以； （6）（不显含）， 令，则，代入原方程得，即，从而有。B组1 由物理知识知：物体从速度到停止所需时间，由牛顿第二定律知，即，由于，故，所以，又因，代入得，故运动规律，从而滑行距离。2. 设导弹的轨迹曲线为，并设经过时间t，导弹位于，乙舰位于，由于导弹头始终对准乙舰，故此时就是导弹的轨迹曲线弧在点处的切线，即有，即 又由题设得弧的弧长为，即 由式和式消去得，两边求导，整理得，且，令，则，上方程化为，由得，从而，代入上式得，即，由上式有，上两式相加得，由初始条件，则，所以，当时，所以当乙舰行到处被导弹击中。总复习题四一、 基础知识1. 填空（1） 2 （2） （3） （4） （5）-60002. 选择题 （1） B (2) C (3) A (4) A3. (1) ， 变量分离得 ， 故通解为 。 （2），变形为，这是一个以为未知函数，为自变量的线性微分方程，其中，故由常数变易公式得所求通解 。 （3），即，令，即，则有，即，所以，积分得或，代回得所求通解为，其中为任意常数。 （4），即，令，即，则，即，积分得，或，代回得通解为，或，其中为任意常数。 （5），这是时的Bernoulli方程，将它化为，令，则，这是一阶线性微分方程，由常数变易公式得 ， 从而原方程得通解为。 （6），这是时的Bernoulli方程，将它化为：，令，则，这是一阶线性微分方程，故由常数变易公式得 ， 从而原方程的通解为。 （7）特征方程为，所以通解。 （8）特征方程为，故方程的通解为，由于，其中不是特征根，故可设特解，代入原方程得，故，故，从而原方程通解为。（9），令，则原方程化为，即，所以，从而原方程的通解为。（10），不显含，令，则，代入原方程得：或或，代回得或，解之得通解或，整理得。(11)特征方程 ，故方程的通解为由于，其中不是特征根，故可设特解为代入原方程得， 从而原方程的通解为（2）特征方程为 ，故对应齐次微分方程的通解为由于，其中，对于方程，可设，代入得， 对于方程，可设，代入得， 从而原方程的通解为二、技能拓展1.，两边关于求导得，即又，从而以为通解的微分方程为：2.通解形式为3.设曲线方程为，则由题意得： 从而，得证4.设运动方程为，则由题意知：对于方程，其对应得其次方程的特征方程为 由于其中是单特征根，特解可设为，代入得 代入初始条件得， 运动方程为。
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