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第七 章 第七 章 第七 章 第七 章 玻耳 兹曼 统计 玻耳 兹曼 统计 玻耳 兹曼 统计 玻耳 兹曼 统计 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 7 . 1 7 . 1 7 . 1 根据公式 证明，对于非相对论粒子： = l l l V a P ， =0，1，2， ) ( ) 2 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 z y x n n n L m m p s + + = = z y x n n n , , 有 ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 V U p 3 2 = 证 证 证 证 ： = = l l l V a P + + ) ( ) 2 ( 2 1 2 2 2 2 z y x l l n n n L m V a = + + ) ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 3 z y x l l n n n L m L V a 其中 ; V a u l l = V 3 L = p + + ) ( ) 2 ( 2 1 2 2 2 2 3 2 z y x l l n n n V m V a (对同一 , ) l 2 2 2 z y x n n n + + = m a l l 2 1 2 ) 2 ( ) ( 2 2 2 z y x n n n + + ) 3 2 ( 3 5 V = = m a l l 2 1 2 2 2 2 2 ) ( ) 2 ( L n n n z y x + + ) 3 2 ( 3 5 3 2 V V V U 3 2 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 2 7 . 2 7 . 2 7 . 2 试根据公式 证明，对于极端相对论粒子： = l l l V a P ， =0，1，2， 2 1 2 2 2 ) ( 2 z y x n n n L c c p + + = = z y x n n n , , 有 ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 V U p 3 1 = 证 证 证 证 ： ； = l l l V a P 对极端相对论粒子 2 1 2 2 2 ) ( 2 z y x n n n L c c p + + = = 类似得 3 1 2 1 2 ) ( ) 2 ( = V n V a P i l l = V U V V a l l l 3 1 ) 3 1 ( 3 4 3 1 = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 3 7 . 3 7 . 3 7 . 3 当选择不同的能量零点时，粒子第 个能级的能量可以取为 ，以 l l l 或 表 示二者之差 。试证明相应的配分函数存 在以下关系 ，并 = l l 1 1 Z e Z = 讨论由 配分函数 Z 1 和 Z * 1 求得的热力学函数有何差别。 证 证 证 证 ： 配分函数 = l e Z l 1 ( ) 1 1 1 * Z e e e Z l l l + = = = 以内能 U 为例，对 Z 1 : 1 l n Z N U = 对 Z 1 * : ( ) U N e N Z N U Z + = = = 1 l n l n 1 * * 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 4 7 . 4 7 . 4 7 . 4 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 = s P s P s N k S l n 式中 P s 是总粒子处于量子态 s 的 概 率 ， , 对粒子的所有量 1 Z e N e P s s s = = s 子态求和。 证 证 证 证 法一：出现某状态 几率为 P s s 设 S 1 ,S 2 ,S k 状态对应的能级 ； s 设 S k+1 ,S k+2 ,S w 状态对应的能级 ； s 类似； 则 出 现 某 微 观 状 态 的 几 率 可 作 如 下 计 算 ： 根 据 玻 尔 兹 曼 统 计 ； N e P s S = 显然 NP s 代表 粒 子 处 于 某 量 子 态 S 下的 几 率 ， 。于 是 S e N P S =代表处于 S 状态下的粒子数。例 如，对于 能级 S e s = K S S S S e 1 个粒子在 上的 K 个微观状态的概率为： s ( ) ( ) = = = k S S S s e S S P P S P 1 粒子数 类似写出： ( ) = = k S S S s e S P S P 1 等等。 于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率。 ( ) = = = S S S S P P = k S S S s e S P 1 = k S S S s e S P 1 一微观状态数 ， （ 基于等概率原理） P 1 = = l n k S = + = = W S K S S S k S S S S e S e S P P k S 1 1 1 l n k = ( ) ( ) + + + K W K S S S S S S S S P e P e 1 1 l n l n 将 带入 ； S e N P S = S S S P P k N S l n = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 5 7 . 5 7 . 5 7 . 5 固体含有 A、 B 两种原子。 试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起 的混 合熵为 其中 N 是总原子数， x k S = ) 1 l n( ) 1 ( l n ! ) 1 ( ! ! x x x x N x N N N x + = 是 A 原 子 的 百 分 比 ， （ 1-x ）是 B 原子的百分比。注意 x1，上式给出的熵为正值。 证 证 证 证 ： 显然 ! ) 1 ( ) ! ( ! ! ! ! 2 1 x N N x N n n N = = S= =-N = ； k k ) 1 l n( ) 1 ( l n x x x x + ) 1 ( ) 1 ( l n x x x x N k 由于 1， 故 ；原题得证。 ) 1 ( ) 1 ( x x x x 0 S 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 6 7 . 6 7 . 6 7 . 6 晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图 中 O 所示。当原子离开正 常位置而占据图中位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。 (1) 假设正常位置和填隙位置数都是 N，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于 ； ) ! ( ! ! l n 2 n N n N k S = (2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u。试由自由能 F=nu-Ts 为极小 值证明，温度为 T 时，缺位和填隙原子数为 n (设 n N) k T u N e 2 证 证 证 证 ： (1) = = = ) ! ( ! ! ) ! ( ! ! l n l n n N n N n N n N k k S ) ! ( ! ! l n 2 n N n N k (2)略，参见 ex7.7 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 7 7 . 7 7 . 7 7 . 7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据 表面上的正常位置 ，构成新 的一 层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称 为肖脱基缺陷。 以 N 表示晶体中的原 子 数，n 表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极 小的条件证明，温度为 T 时 n (设 n N )其中 W 为原子在表面位置与 k T W N e 正常位置的能量差。 证 证 证 证 ： , 设原 子 皆 未 跳 出到 表 面 时 ,U=0, 则形 成 n 个空 位 需 要 能量 T S U F = ； ,而在 N 个格点上形成 n 个空位，其可能的状态数 nW U = = l n k s ! ) ! ( ! n n N N = ;利用 ! l n ) ! l n( ! l n l n n n N N = ) 1 ( l n ! l n m m m ) 1 ( l n 1 ) l n( ) ( ) 1 ! ( l n l n = n n n N n N N N ) 1 ( l n 1 ) ) l n ( ( ) 1 ( l n + + = n k T n n N n N k T N k T N n W F 利用自由能判据 0 = n F ) 1 ( ) 1 ( l n ) 1 ) ( ( 1 ) 1 l n( 0 n k T n n k T n n N n N k T n k T W + + + = 0 l n ) l n( = + n k T n N k T W ； 。 , ) ( k T W e n N n = N n k T W N e n = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 8 7 . 8 7 . 8 7 . 8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试 证明，在平衡状态 下分子动 量的最 概然分布为e 2 0 2 2 ) ( 2 p p p p m x y x + = 3 L dp dp V dp z y x 证 证 证 证 ： 设能级 这样构成：同一 中，P 相同，而 P 与 P 在变化，于是有： l l z x y ) 3 ( 0 ) 2 ( 0 ) 1 ( 0 = = = = = = = = = l z l z l l l l l l a p a p p a a E a a N ( ) = = 0 p a p p l z 参照教材玻耳兹曼分布证明；有 - , E N l n z p 其中 ） （ 2 2 2 2 1 Z y x l p p p m + + = 由( 1) 知: N d p d p d p e h V z y x p z = 3 将 代入 并配方得: l z y x p p m dp dp dp e h V z z y x + + ) 2 ( ) ( 3 2 = N dp dp dp e h V z y x m p m m z y x = + + 2 ) ( 2 ) ( ) 2 2 ( 3 其中 m p m p y y x x 2 , 2 2 2 = = 对比 page238 式（7.2.4）得： 2 3 2 2 3 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 m k T h n m k T h V N e m = = 整个体积内， 分 布在 内分子 z z z y y y x x x dp p p dp p p dp p p + + + , , 数为： z y x z y x z y x m p m dp dp dp p p p f dp dp dp e m k T N z y x = + + ) , , ( ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 3 由条件（3）知 = 0 ) , , ( N p dp dp dp p p p f p z y x z y x z 计算得z m p m z y x dp e m m p dp e dp e m k T z y x 2 ) ( 2 2 3 ) ( ) 2 1 ( + + = z m p m y x dp e m dp dp e m k T z y x + + 2 ) ( 2 ) ( 2 3 ) ( ) 2 1 ( = 0 p N dp dp f dp m z y x = 0 p m = 代入得出分布： 3 ) ( 2 2 0 2 2 h dp dp V dp e z y x p p p p m z y x + + 其中 , 2 2 m = 0 p m = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 9 7 . 9 7 . 9 7 . 9 (略)结合（7.8）求平均值。 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 0 7 . 1 0 7 . 1 0 7 . 1 0 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动， 可 以看作二维理想气 体。 试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率 ，最概然速 v 率 和方均根速率 。 m v s v 解 解 解 解 ： 对于二维情形， ) ( 2 1 2 2 y x p p m + = （准）连续能量下的简并度： 面积 s h dp s dp y x ; 2 玻耳兹曼分布： ； 利用 y x p p k T m dp dp e h s y x ) ( 2 1 2 2 2 + k T m N e h s N m e h s N dp dp e h s y x p p m y x 2 2 4 2 2 ) ( 2 2 2 2 = = = + + y x v v k T m dv dv e k T m N y x ) ( 2 2 2 ) 2 ( : + 速度分布率 进而推出速率分布： v dv e k T N m k T m v 2 2 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 1 7 . 1 1 7 . 1 1 7 . 1 1 试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度 和相对 1 2 v v v r = 速率 的概率分布，并求相对速率的平均值 。 r r v v = r v解 解 解 解 ：两分子的相对速度 在 内的几率 r v r z r y r x dv dv dv 2 1 2 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 3 2 1 1 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + + + = = = k T m e d v d v d v e k T m v V v V v d v V r x r z z r y y r x x z y x v k T m z y x v v v v v v v v v k T m r r 同理可求得 分量为 和 z y v v 1 1 , 2 1 2 2 ) ( 2 k T m e r y v k T m 2 1 2 2 ) ( 2 k T m e r v k T m 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 ) ( 8 1 ) ( ) 2 ( ) ( r r v k T m v k T m r r e k T m k T m k T m e v V = = 引进 ，速度分布变为 2 m = r r v k T m dv v e k T r 2 2 2 3 2 ) 2 ( 利用球极坐标系可求得速率分布为： r r v k T m dv v e k T r 2 2 2 3 2 ) 2 ( 4 相对速率平均值 v k T dv v e v k T v r r v k T m r r r 2 8 ) 2 ( 4 2 2 0 2 3 2 = = = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 2 7 . 1 2 7 . 1 2 7 . 1 2 试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为 2 2 2 ) ( 2 3 ) ( ) , 8 3 ( ) ( k T e e m k T v v = = 解 解 解 解 ： ； （略） 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( v v v v v v v v + = + = 2 2 2 ) ( = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 3 7 . 1 3 7 . 1 3 7 . 1 3 试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于 与 之间的分 v d v v + 子数为： dv v e k T m n d k T m v 3 2 2 / 3 2 ) 2 ( = 证 证 证 证 ： 在斜圆柱体内,分速度为 的 方向的分子数为: z v v d t d s v V V v v v n f d n z z y x = = ; ) , , ( * 圆柱 d s d t d v d v d v v e k T m n d s d t n f v d n z y x z v v v k T m z z y x ) ( 2 2 / 3 * 2 2 2 ) 2 ( + + = = 对于 : 0 , , 积分得 从 对 从 + + z y x v v v 时间碰撞到 面积上的分子数（ ） dt ds dv v v + + + + + + = 0 ) ( 2 2 3 * 2 2 2 ) 2 ( ds dt dv dv dv v e k T m n n z y x z v v v k T m z y x = ds dt d dv d v e k T m n k T m v c os ) 2 ( 2 / 0 3 2 2 0 2 3 2 得到：若只计算介于 分 子 数 则 为 ： （只 对 积分） dv v v + , dv v e k T m n n v k T m 3 2 2 / 3 * 2 ) 2 / 1 ( 2 ) 2 ( = dv v e T k m n k T m v 3 2 2 / 3 2 ) 2 ( = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 4 7 . 1 4 7 . 1 4 7 . 1 4 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束 中，分子平均速度 和方均 根速度。 解 解 解 解 ： ； 变量代换 dv v e k T m n dv v e k T m n v k T n v v k T m 3 0 2 2 / 3 0 4 2 2 / 3 2 2 ) 2 ( ) 2 ( + + = = = dx m k T dv x n k T m 2 ; 2 0 4 5 / 2 2 / 3 2 ) 2 ( ) 2 ( dx x e m k T k T m n x ; ) 8 / 3 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 / 5 2 / 3 m k T k T m n = = 0 3 2 2 / 3 3 0 2 2 / 3 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( dx x e m T k k T m n dv v e k T m n x T k m v = ) 2 / 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 2 / 3 m k T k T m n 略 类似求 , ; 8 9 2 / 1 ) 2 ( ) 8 / 3 ( 2 / 1 s v m k T m k T v = = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 5 7 . 1 5 7 . 1 5 7 . 1 5 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为： 其中 是常数，求粒子的平均能量。 bx ax p p p m z y x + + + + = 2 2 2 2 ) ( 2 1 b a , 解 解 解 解 ： a b a b a bx x a m p 4 ) 4 ( 2 2 2 2 2 2 + + + = + + + + = ) , ( ; 4 ) 2 ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 据均分律 四个平方项 a b a b x a p p p m z y x a b k T a b T k 4 2 4 ) 2 / 1 ( * 4 2 2 = = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 6 7 . 1 6 7 . 1 6 7 . 1 6 气柱的高度为 ， 截 面为 ， 在 重力场中。 试 求解此气柱的内能和热 H S 容量。 解 解 解 解 ： 配分函数 + + = z y x m g z p p p m dp dp dx dy dz dp e h Z z y x ) ( 2 3 2 2 2 1 dz e dp e h S H m g z x p m x = 0 3 2 3 2 m g H e m g m h S = 1 1 ) 2 ( 2 / 5 2 / 3 3 设 ； = m g m h S A 1 ) 2 ( 2 / 3 3 m gH e A Z + = 1 l n l n ) 2 / 5 ( l n l n 1 ) 2 / 5 ( 1 1 ) 2 / 5 ( l n / + = + = k T m g H m g H m g H e m gH k T e m gH e Z ) ( ) ( ; 1 ) 2 / 5 ( l n / 0 略 V v T k m g H T U C e N m gH N k T Z N U U = + = = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 7 7 . 1 7 7 . 1 7 7 . 1 7 试求双原子理想气体的振动熵。 解 解 解 解 ： 振动配分函数 = e e Z V 1 2 / 1 代入式（7.6.1） ) 1 l n( 2 / l n 1 = e Z = e e Z 1 2 / l n 1 代入熵计算式 。 V V k T N k N k S = + = 其中 ) . / l n( 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 8 7 . 1 8 7 . 1 8 7 . 1 8 对于双原子分子，常温下 远大于转动的能级间距。试求双原子分 k T 子理 想气体的转动熵。 解 解 解 解 ：由式（7.5.14）转动配分函数 2 1 2 I Z r =其中 ) ; / l n( ; / 1 l n ; 2 l n l n 1 2 1 r T N k N k S Z I Z + = = = r k I h = 2 2 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 1 9 7 . 1 9 7 . 1 9 7 . 1 9 气体分子具有固有电 偶极矩 ，在电场 下转动能量的经典表 达式 0 d 为： ，证明在经典近似下转动配分函数： c os ) s i n 1 ( 2 1 0 2 2 2 d p p I r + = 0 2 1 0 0 d e e h I Z d d r = 解 解 解 解 ：经典近似下， 视为准连续能量 r 配分函数 = = + 2 0 c o s s i n 2 1 2 2 2 1 0 2 2 1 1 d d p d e d p e h d d d p d p e h Z d I p I r 利用 = d x e x 2 0 2 0 c o s 2 2 1 ) ( ) 2 ( s i n 2 ) ( 2 1 0 0 0 d e e h I d e I I h Z d d d = = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 2 0 7 . 2 0 7 . 2 0 7 . 2 0 同 19 题， 试证在高温 ( )极限下,单位体积电偶极矩（电极化 1 0 d 强度）为： 。 k T d 3 2 0 = 解 解 解 解 ：电极化强度 ) 1 ( 1 l n 0 0 0 0 0 0 1 + = = d d d d e e e d e d Z N 高温极限下， ，保留至 。其中 0 2 0 ) ( d k T nd d 2 2 2 0 2 0 = V N n = 习 题 习 题 习 题 习 题 7 . 2 1 7 . 2 1 7 . 2 1 7 . 2 1 试求爱因斯坦固体的熵。 解 解 解 解 ：将 ，代入至 表达式即得，注意 N 取 3N。(略) h h e e Z = 1 2 1 S
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