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东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2009 2010 学年 第 一 学期 课程 名 称： 线性 代数 一、 (10 分) 设矩阵 = 4 3 2 1 A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E ，求 | | B . 解 由 BA=B+2E ，得 E E A B 2 ) ( = ，于是 4 | 2 | | | | = = E E A B . 6 分 又由于 6 | | = E A ，所以， 3 / 2 | | = B . 10 分 二、 (10 分) 设三阶方阵 A , B 满足关系式 B A B A + = * 1 6 ，其中 * A 是 A 的伴随矩阵，且 = 2 1 0 5 3 0 0 0 2 A ，求矩阵 B . 解 2 | | = A ， E E A AA 2 | | * = = . 3 分 由 B A B A + = * 1 6 ，有 AB E B + = 12 ，即 1 ) ( 12 = A E B 6 分 = 3 / 2 3 / 1 0 3 / 5 3 / 1 0 0 0 1 12 = 8 4 0 20 4 0 0 0 12 . 10 分 三、 (10 分) 求线性空间 3 R 中由基 T ) 0 , 0 , 1 ( 1 = , T ) 0 , 1 , 1 ( 2 = , T ) 1 , 1 , 1 ( 3 = 到 基 T ) 1 , 2 , 1 ( 1 = , T ) 2 , 1 , 1 ( 2 = , T ) 3 , 2 , 1 ( 1 = 的过渡矩阵，并求向量 3 2 1 + = 在 基 3 2 1 , , 下的坐标. 解 由 C ) , , ( ) , , ( 3 2 1 3 2 1 = ,得过渡矩阵 ) , , ( ) , , ( 3 2 1 1 3 2 1 = C = 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 = 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 = 3 2 1 1 3 1 1 2 1 . 5 分 由于 3 2 1 + = ,所以 = = 1 1 1 ) , , ( 1 1 1 ) , , ( 3 2 1 3 2 1 C ， 故向量 在基 3 2 1 , , 下的坐标为 = = 0 1 2 1 1 1 3 2 1 1 3 1 1 2 1 x . 10 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 七 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四、 (10 分) 设 4 3 2 1 , , , 都是四维列向量， ) , , , ( 4 3 2 1 = A ，向 量 T ) 0 , 3 , 0 , 1 ( 1 = , T ) 2 , 0 , 0 , 1 ( 2 = 是齐次线性方程组 0 = x A 的一个基础解系，求向量 组 4 3 2 1 , , , 的一个极大线性无关组. 解 由于 0 = x A 的解空间是二维的，所以 2 ) ( = A R ， 3 分 由于 T ) 0 , 3 , 0 , 1 ( 1 = , T ) 2 , 0 , 0 , 1 ( 2 = 是解，所以 0 3 3 1 = + , 0 2 4 1 = + ， 8 分 即 4 3 , 可由 1 线性表示，所以 2 1 , 是一个极大线性无关组. 10 分 五、 (20 分) 设三阶实对称矩阵 A 满足 1 ) 2 ( = E A R ， 且齐次线性方程 组 0 = x A 有非零解 T ) 2 , 1 , 1 ( = ，求矩阵 A. 解 由于 1 ) 2 ( = E A R ，所以2 是 A 的二重特征值， 4 分 由于 0 = x A 有非零解 T ) 2 , 1 , 1 ( = ，知0 是 A 的特征值， 是特征向量. 8 分 由于 A 是实对称矩阵，所以特征值 2 的特征向量与 正交，可取为 T ) 0 , 1 , 1 ( 1 = , T ) 1 , 1 , 1 ( 2 = . 12 分 将 T ) 2 , 1 , 1 ( = , T ) 0 , 1 , 1 ( 1 = , T ) 1 , 1 , 1 ( 2 = 单位化，得正交矩阵 = 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 Q . 16 分 则 = = 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 2 2 0 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 T Q Q A . = = 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 1 3 2 3 1 3 5 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 3 2 0 0 3 2 2 2 0 3 2 2 2 0 . 20 分 六、 （20 分）问 d c b a , , , 满足什么条件时，二次型 2 1 4 2 4 3 2 3 2 2 2 1 4 3 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( dx x cx x bx x ax x x x x x f + + + + + + + = 是正定二次型，为什么？ 解 显然 0 ) , , , ( 4 3 2 1 x x x x f ，且 0 ) , , , ( 4 3 2 1 = x x x x f 当且仅当 0 , 0 , 0 , 0 1 4 4 3 3 2 2 1 = + = + = + = + dx x cx x bx x ax x . 5 分 由于 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d c b a D = abcd = 1 , 10 分 故当 1 abcd 时，即当且仅当 0 4 3 2 1 = = = = x x x x 时，二次型 0 ) , , , ( 4 3 2 1 = x x x x f . 15 分 所以当 1 abcd 时， ) , , , ( 4 3 2 1 x x x x f 是正定二次型. 20 分 七、 （20 分） 证明： （1） n 维向量组 s a , , , 2 1 和 t , , , 2 1 等价的充分 必要条件是 , , , 2 1 s a R = , , , 2 1 t R = , , , , 2 1 s a R , , , 2 1 t . （2）设 A 是 n m 矩阵，则 ) ( ) ( A R A A R T = . 证明 （1） 不妨设 r a , , , 2 1 与 l , , , 2 1 分别是 s a , , , 2 1 与 t , , , 2 1 的极大 线性无关组，则 s a , , , 2 1 与 t , , , 2 1 等价 r a , , , 2 1 与 l , , , 2 1 等价 r a , , , 2 1 与 l , , , 2 1 都是 , , , , 2 1 s a t , , , 2 1 的极大线性无关组 , , , 2 1 s a R = , , , 2 1 t R = , , , , 2 1 s a R , , , 2 1 t . （2）若 x 使 0 Ax = ，则必使 0 T A Ax = . 又若 x 使 0 T A Ax = ，则必使 0 TT x A Ax = ，即 () 0 T Ax Ax = ， 0 Ax = ，亦即 0 Ax = . 因此，齐次线性方程组 0 Ax = 与 0 T A Ax = 同解，所以 ) ( ) ( A R A A R T = . 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2009 2010 学年 第 二 学期 课程 名 称： 线性 代数 （共 2 页） 一、 (15 分) 设矩阵 = 3 1 4 2 2 4 0 1 2 2 2 2 1 0 4 3 A ， 求矩阵 A 第四行元素余子式 之和. 解 44 43 42 41 M M M M + + + = 44 43 42 41 A A A A + + 3 分 1 1 1 1 2 4 0 1 2 2 2 2 1 0 4 3 = 10 分 0 15 分 二、 (20 分) 已知向量组 = 2 1 1 1 , = a 1 2 2 , = 0 2 3 b 与向量组 = 3 2 1 1 , = 3 1 2 2 , = 6 7 1 3 有相同的秩， 且向量 3 可由向量组 3 2 1 , , 线性表示， 求参数 b a, 的值. 解 由于 3 可由向量组 3 2 1 , , 线性表示，且 = 0 6 3 3 7 1 2 2 1 2 1 ) , , , ( 3 3 2 1 b 6 3 3 0 4 5 5 0 2 1 2 1 b + 6 0 0 0 2 1 1 0 2 1 2 1 b ， 5 分 所以 6 = b ，且 3 2 1 , , 的秩为 2. 10 分 依题意，向量组 3 2 1 , , 的秩为 2，于是 0 28 4 0 2 6 1 1 2 2 1 | , , , | 3 2 1 = = = a a . 15 分 所以 6 , 7 = = b a . 20 分 三、 (15 分) 设 n 阶方阵 A 的各行元素之和为零， A 的伴随矩阵 O A * ， 求齐次线性方程组 0 = x A 的通解. 解 由于 O A * ，所以存在代数余子式 0 ij A ，故 1 ) ( n A R . 5 分 由于 A 的各行元素之和为零，所以 0 | | = A ，故 1 ) ( n A R . 8 分 所以 1 ) ( = n A R ， 0 = x A 的解空间是一维的. 10 分 A 的各行元素之和为零， 即 0 ) 1 ,., 1 , 1 ( = T A .因此， 向量 T ) 1 ,., 1 , 1 ( = 是 0 = x A 的 一个基础解系，方程组的通解为 12 分 R k k x = , . 15 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四、 (20 分) 已知二次型 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 2 ) , , ( x x x ax x x x x f + + = 可以经过正交 变换 y Q x = 化成标准形 2 3 2 2 3 2 1 2 2 ) , , ( y y x x x f + = ，求数 a 和正交矩阵Q. 解 二次型的矩阵 = 2 0 0 0 1 0 1 1 a A ， A 的特征值为 2 , 0 3 2 1 = = = . 5 分 由特征值性质，有 4 3 = + a ，所以 1 = a . 10 分 由于 = 2 0 0 0 1 1 0 1 1 A 0 0 0 1 0 0 0 1 1 ，所以属于特征值 0 1 = 的特征向量为 T e ) 0 , 2 / 1 , 2 / 1 ( 1 = . 13 分 由于 = 0 0 0 0 1 1 0 1 1 2E A 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ，所以属于特征值 2 2 = 的特征向量为 T e ) 0 , 2 / 1 , 2 / 1 ( 2 = , T e ) 1 , 0 , 0 ( 3 = . 18 分 所求正交矩阵为 = = 1 0 0 0 2 / 1 2 / 1 0 2 / 1 2 / 1 ) , , ( 3 2 1 e e e Q . 20 分 五、 (15 分) 设四阶矩阵 A 满足 0 2 3 2 3 = + A A A ，且 A 的秩 2 ) ( = A R ， 问矩阵 A 是否与对角矩阵相似，为什么？ 解 由于 2 ) ( = A R ，所以 0 是 A 的 2 重特征值， 0 = x A 的解空间是二维的，即对 于特征值0 存在两个线性无关的特征向量. 4 分 另由 O E A E A A A A A = = + ) 2 )( ( 2 3 2 3 可知， 矩阵 A 的另两个特征值只能是 1 或2. （1）如果1 和2 都是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 有4 个线性无关的特征向量， 因此与对角矩阵相似. 8 分 （ 2 ） 若 2 不是矩阵 A 的特征值，则 E A 2 可逆. 于是 O E A A = ) ( ， 4 ) ( ) ( + E A R A R ， 2 ) ( E A R ，故 1 是矩阵 A 的特征值，且对于特征值 1 存 在两个线性无关的特征向量. 于是， A 有4 个线性无关的特征向量， A 与对角矩阵相似. 12 分 （3） 同理， 若 1 不是 A 的特征值， 则2 是矩阵 A 的特征值， 且对于特征值2 存 在两个线性无关的特征向量. 于是， A 有4 个线性无关的特征向量， A 与对角矩阵相似. 总之，在已知条件下，矩阵 A 必与对角矩阵相似. 15 分 六、 （15 分） 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 6 岁， 将其分 成三个年龄组： 第一组，02 岁； 第二组，34 岁； 第三组，56 岁。 动物从 第 二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为 4 和 3 只。 第一年龄和第二 年 龄 组 的 动 物 能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 1 2 和 1 4 。 假设农场现有三个年龄段的动物各 1000 只，问 6 年后农场三个年龄组的动物各有 多少只？ 解 记 k 2 年后三个年龄组的动物只数分别为 k k k z y x , , ，则有 1 2 1 = k k x y ， 1 4 1 = k k y z ， 1 1 3 4 + = k k k z y x ， 3 , 2 , 1 = k ， 5 分 即 = 1 1 1 0 4 / 1 0 0 0 2 / 1 3 4 0 k k k k k k z y x z y x ，且 = 1000 1000 1000 0 0 0 z y x . 10 分 所以， = = 250 500 7000 1000 1000 1000 0 4 / 1 0 0 0 2 / 1 3 4 0 1 1 1 z y x ， = = 125 3500 2750 250 500 7000 0 4 / 1 0 0 0 2 / 1 3 4 0 2 2 2 z y x ， = = 875 1375 14375 125 3500 2750 0 4 / 1 0 0 0 2 / 1 3 4 0 3 3 3 z y x ， 即 6 年后农场有 02 岁动物 14375 只，34 岁动物 1375 只，56 岁动物 875 只. 2-2 15 分 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 2011 学年 第 一 学期 课程 名 称： 线性 代数 （共 2 页） 一、 (15 分) 设矩阵 = 4 0 0 0 2 3 0 1 2 A ，矩 阵 B 满足 E BA ABA + = 1 2 * ， 其中 * A 是 A 的伴随矩阵， 1 A 是 A 的逆矩阵， E 是单位矩阵，求矩阵 B 的行列式 | | B . 解 由于|A|=4 ，所以 A*A=4E. 于是有 A B AB + = 2 4 ，即 A B E A = ) 2 4 ( ， 5 分 4 | | | | 2 4 | = = A B E A . 10 分 又由于 168 | 2 4 | = E A ，所以 13 分 42 / 1 | | = B . 15 分 二、 (20 分) t 取何值时，向量组 = 2 1 1 1 , = 0 1 2 2 与向量组 = t 2 1 1 , = 2 0 3 2 等价，等价时求出相互线性表示式. 解 由于 = 2 0 2 0 2 1 1 3 1 2 1 ) , , , ( 2 1 2 1 t + 2 4 2 0 3 3 3 0 3 1 2 1 t + 0 2 0 0 1 1 1 0 3 1 2 1 t ， 5 分 所以，当 t -2 时两个向量组等价. 10 分 由于当 t -2 时，有 0 0 0 0 1 1 1 0 3 1 2 1 ) , , , ( 2 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2 / 1 2 / 1 0 1 2 / 1 2 / 1 ， 15 分 所以， 2 1 1 2 1 2 1 + = , 2 1 2 2 1 2 1 + = ， 2 1 1 + = ， 2 1 2 + = . 20 分 三、 (15 分) 在线性空间 3 x R 中定义内积 = 1 1 ) ( ) ( ) ( ), ( dx x g x f x g x f ， 求 3 x R 的一组正交基. 解 2 3 2 1 , , 1 x x = = = 是 3 x R 的一组基，将其正交化得 , 1 1 1 = = 4 分 x = = 1 1 1 1 2 2 2 ) , ( ) , ( ， 8 分 1 1 1 1 3 3 3 ) , ( ) , ( = 3 1 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 3 = x ， 12 分 3 2 1 , , 即是 3 x R 的一组正交基. 15 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四、 (20 分) 已知线性方程组 = + + + = + + = + + 1 2 4 3 2 1 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x bx ax x x x x x x x x x 有三个线性无关的 解，求 b a, 的值和方程组的通解. 解 由于线性方程组 b x A = 有 3 个线性无关的解， 所以齐次线性方程组 0 = x A 至 少有 2 个线性无关的解，因此 0 = x A 的解空间至少是二维的，故 4-R(A)2. 显然 R(A) 2，所以 R(A)=2. 5 分 又由于 = 1 1 1 2 4 1 3 2 1 3 1 2 1 ) | ( b a b A + 0 2 1 2 0 0 2 1 1 0 1 3 1 2 1 b a 0 0 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 0 1 b a ， 所以 0 , 1 = = b a .通解为 15 分 R c c c x c x c c x c c x = = = + = 2 1 2 4 1 3 2 1 2 2 1 1 , , 2 1 20 分 五、 (15 分) 设三阶矩阵 A 的各行元素之和都等于 3， 且向量 T ) 0 , 1 , 1 ( 1 = , T ) 2 , 1 , 1 ( 2 = 都是齐次方程组 0 = x A 的解，求矩阵 A. 解 由 A 各行元素之和都等于 3 得 = = 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 A ，所以，3 是 A 的特征值 ，属 于 3 的特征向量为 T ) 1 , 1 , 1 ( 3 = . 3 分 又由于 T ) 0 , 1 , 1 ( 1 = , T ) 2 , 1 , 1 ( 2 = 都是齐次方程组 0 = x A 的解， 知 0 是 A 的二 重特征值，且 T ) 0 , 1 , 1 ( 1 = , T ) 2 , 1 , 1 ( 2 = 是属于 0 的两个特征向量. 8 分 又由于 3 2 1 , , 正交，单位化后得正交矩阵 = 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 Q ， 10 分 所以， T Q Q A = 3 0 0 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 15 分 六、 （15 分） 已知三家相互关联的股份制公司 X,Y 和 Z ，其中 X 公司持 有 X 公司 70% 股份， 持有 Y 公司 20% 股份， 持有 Z 公司 30% 的股份；Y 公司 持有 Y 公司 60% 股份，持有 Z 公司 20% 股份；Z 公司持 有 X 公司 30% 的股份，持有 Y 公司 20% 股份，持有 Z 公司 50% 股份. 现设 X,Y ,Z 公司各自的营业净收入分别是 22 万元、6 万元、9 万元， 每家公司的总收入是其净收入加上在其他公司的股份按 比例的提成收入. 试求各公司的总收入及各公司的实际收入. 解 设 X 、Y 、Z 三公 司的总收入分别为 x,y,z ，则有 + + = + = + + = y x z z y z y x 2 . 0 3 . 0 9 2 . 0 6 3 . 0 2 . 0 22 或 = + = = 9 2 . 0 3 . 0 6 2 . 0 22 3 . 0 2 . 0 z y x z y z y x 5 分 由于 9 1 2 . 0 3 . 0 6 2 . 0 1 0 22 3 . 0 2 . 0 1 16 . 17 858 . 0 0 0 6 2 . 0 1 0 2 . 23 34 . 0 0 1 20 1 0 0 10 0 1 0 30 0 0 1 所以，x 30( 万元) ，y 10( 万元) ，z 20(万元). 10 分 X 公司的实际收入为 0.7x21 万元， Y 公司的实际收入为 0.6y6 万元， Z 公司的实际收入为 0.5z 10 万元. 15 分 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 2011 学年 第 二 学期 课程 名 称： 线性 代数 （共 2 页） 一、 (15 分) 设三阶矩阵 ( ) 3 2 1 , , = A ， ( ) 3 3 2 3 2 1 4 , 3 , 3 2 + + = B ， 且 A 的行列式 1 | | = A ，求矩阵 B 的行列式 | | B . 解 因为 ( ) 3 3 2 3 2 1 4 , 3 , 3 2 + + = B 4 1 3 0 3 1 0 0 2 ) , , ( 3 2 1 ，所以 24 4 1 3 0 3 1 0 0 2 | | | | = = A B . 二、 (20 分) 设向量组 = 2 1 1 1 ， = 1 1 2 2 ， = a 2 1 3 线性相关，向量 = b 1 3 可由向量组 3 2 1 , , 线性表示，求 b a, 的值。 解 由于 = b a 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 ) , , , ( 3 2 1 6 2 3 0 4 3 3 0 3 1 2 1 b a + 2 1 0 0 4 3 3 0 3 1 2 1 b a 所以 . 2 , 1 = = b a 三、 (15 分) 证明由所有二阶实对称矩阵组成的集合 V 是 R 2 2 的子空间， 并试在 V 上定义内积运算，使 V 成为欧几里得空间，并给出 V 的一组正交基. 解 显然 V 是 R 2 2 的子集，且对于任意 R k V b b b b B a a a a A = = , , 22 12 12 11 22 12 12 11 ， 都有 , 22 22 12 12 12 12 11 11 V b a b a b a b a B A + + + + = + V ka ka ka ka kA = 22 12 12 11 ， 所以 V 是 R 2 2 的子空间. 对于任意 V b b b b B a a a a A = = 22 12 12 11 22 12 12 11 , ，定义内积： A, B= 22 22 12 12 11 11 b a b a b a + + ， 显然满足：A, B=B, A ； A+B,C= A, C+ B, C, kA, B=kA, B ； A, A 0 ， 且A, A=0 当且仅当 A=O. = 0 0 0 1 1 A , = 0 1 1 0 2 A , = 1 0 0 0 3 A 是 V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四、 (20 分) 已知三阶矩阵 A 的伴随矩阵 = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 * A ， 求齐次线性 方程组 0 = x A 的通解. 解 由于 O A * 且 1 ) ( * = A R ，所以 R(A)=2 ， 0 = x A 的解空间是1 维的. 由 O E A AA = = | | * 可知， * A 的列向量是 0 = x A 的解.于是， （1,2,3） T 是 0 = x A 的一个基础解系，通解为 R k k x = , 3 2 1 . 五、 (15 分) 设三阶实对称矩阵 A 满足 A A 2 2 = ， 向量 T ) 0 , 1 , 1 ( = 是 齐次方程组 0 = x A 的一个基础解系，求矩阵 A. 解 由 0 = x A 的基础解系中只有一个解可知，A 的秩为 2. 由 A A 2 2 = 知 A 的特征值只能为 2 或 0，所以 A 的三个特征值为 2, 2, 0. 由 0 = A 知， 是属于特征值 0 的特征向量. 由于 A 的属于特征值 2 的特征向量必与 正交，所以特征值 2 的特征向量 可取为 T ) 0 , 1 , 1 ( 1 = , T ) 1 , 0 , 0 ( 2 = . 构造正交矩阵 = 0 1 0 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 Q ，则 = = T Q Q A 0 1 0 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 2 0 2 1 2 1 1 0 0 0 2 1 2 1 = 2 0 0 0 1 1 0 1 1 . 六、 （15 分） 某仓库有 A,B,C 三种 物品若干件， 现按下述方案进行采购： 购进原 B 物品件数 30% 和原 C 物品件数 50% 的 A 物 品；购进原 A 物品 件数 30% 的 B 物品 ；购进原 B 物品件数 60% 的 C 物品. 试建立采购前后仓库 A,B,C 三种物 品件数间的关系式. 若采购后仓库 A,B,C 三种物品件数分别为 290,330,380，求采 购前仓库 A,B,C 三种物 品的件数. 解 记采购前仓库 A,B,C 三种物品件数分别为 0 0 0 , , z y x ， 采购后仓库 A,B,C 三种物 品件数分别为 1 1 1 , , z y x ，则按题意有 + = + = + + = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 6 . 0 3 . 0 5 . 0 3 . 0 z y z y x y z y x x 即 = 0 0 0 1 1 1 1 6 . 0 0 0 1 3 . 0 5 . 0 3 . 0 1 z y x z y x . 所以，当 380 , 330 , 290 1 1 1 = = = z y x 时，有 = 380 330 290 1 6 . 0 0 0 1 3 . 0 5 . 0 3 . 0 1 1 0 0 0 z y x = = 200 300 100 380 330 290 91 . 0 6 . 0 18 . 0 15 . 0 1 3 . 0 5 . 0 0 1 ， 即采购前仓库 A,B,C 三 种物品的件数分别为 100,300,200. 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2011 2012 学年 第 一 学期 课程 名 称： 线性 代数 （共 2 页） 一、 (15 分) 设三阶矩阵 A 的行列式 4 | | = A ，求 行 列式 * 1 ) 6 1 A A （ 的值， 其中 * A 是矩阵 A 的伴随矩阵. 解 * 1 ) 6 1 A A （ 1 - 1 4 6 A A = 1 2 = A 2 4 1 2 3 = = . 二、 (20 分) 设向量 = 1 2 1 1 , = 1 1 2 2 , = 2 1 1 3 , = 4 5 1 1 , = a 9 2 2 , = 3 1 3 b ，问：(1) b a, 满足什么条件时矩阵 ) , , ( 3 2 1 = A 与 ) , , ( 3 2 1 = B 等价？ (2) b a, 取何值时向量组 3 2 1 , , 与 3 2 1 , , 等价？ 解 (1) 由于 = 2 1 1 1 1 2 1 2 1 A 0 0 0 3 3 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 2 1 ，所以 2 ) ( = A R . = 3 4 9 5 1 2 1 a b B + 1 8 0 5 1 0 1 2 1 a b + + ) 5 )( 8 ( 1 0 0 5 1 0 1 2 1 b a b ， 所以，当 0 ) 5 )( 8 ( 1 = + + b a 时， 2 ) ( = B R ，矩阵 B A, 等价. (2) 由于 = 3 4 2 1 1 9 5 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ) | ( a b B A + 2 2 3 3 3 0 2 5 3 3 3 0 1 2 1 1 2 1 a b + 4 7 0 0 0 0 2 5 3 3 3 0 1 2 1 1 2 1 b a b ， 所以，当 4 , 7 = = b a 时，向量组 3 2 1 , , 与 3 2 1 , , 等价. 三、 (15 分) 设 T ） （ 0 , 1 , 1 = ，V 表示标准内积下与向量 正交的所有三维 向量组成的集合，证明 V 是 R 3 的子空间，并求 V 的一组基和维数。 解 设 R k V , , ，则有 0 , , 0 , = = ，于是 0 , , 0 , , , = = + = + k ， 即 V k V + , ，所以 V 是 R 3 的子空间. 又由于与 正交的向量 T x x x ) , , 3 2 1 （ = 满足： 0 2 1 = + x x ， 所以 V 是 2 维向量空间， T ) 0 , 1 , 1 1 = （ , T ) 1 , 0 , 0 2 （ = 是 V 的一组基. 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四、 (15 分) 设 ) , , , , ( 5 4 3 2 1 = A ， 其中 ） （ 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i i = 是 n 维列向量， 已知 0 = x A 的一个基础解系为 T T ) 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ( , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 - 2 1 = = ） （ ， 求 5 4 3 2 1 , , , , 的一个极大线性无关向量组. 解 由于 0 = x A 的基础解系含两个解向量，所以 3 ) ( = A R . 又由于 T T ) 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ( , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 - 2 1 = = ） （ 是 0 = x A 的基础解系，即解，所以 0 2 3 1 ， 0 4 1 ， 表明 4 3 , 可由 1 线 性表示， 因此 5 2 1 , , 线性无 关 ，即是 5 4 3 2 1 , , , , 的一 个 极大线性无关向量组. 五、 (20 分 ) 已知 3 元二次型 x A x f T = 可经过正交变换化为 2 3 2 2 2 1 2 y y y f = ，又 知 = * A ，其 中 * A 是 A 的伴随矩阵， T ) 1 , 1 , 1 ( = ，求 二 次 型 x A x f T = . 解 已知条件表明矩阵 A 的特征值为 1 , 2 3 2 , 1 = = = ，于是 2 | | = A . 由 E E A AA 2 | | * = = , = * A ，得 2 = A ，即 是矩阵 A 属于特征值 2 的特 征向量. 由于矩阵 A 是实对称矩阵， 所以矩阵 A 属于特征值 1 3 2 , = = 的特征向量与 正交，可取属于-1 的特征向量为 T 1,0) , 1 （ = , T 1,2) , 1 （ = . 将 , , 单位化，得正交矩阵 = 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 Q ，且有 = = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 T Q Q A . 所以二次型为 ) ( 2 3 2 3 1 2 1 x x x x x x x A x f T = = . 六、 (15 分) 一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它 们的具体配方比例如下表所示： 型号 1 混凝土 型号 2 混凝土 型号 3 混凝土 水 10 10 10 水泥 20 18 12 砂 20 25 15 石子 10 5 15 灰 0 2 8 现在有二个用户要求混凝土中含水、 水泥、 砂、 石子及灰的比例分别为 10,16,21,9, 4 和 12,16,19,9,4. 那么， 能否用这三种型号的混凝土配出满足用户要求的混凝土？ 如能配出，需要这种混凝土 50 吨，问三种混凝土各需要多少吨？ 解 由于 4 4 8 2 0 9 9 15 5 10 19 21 15 25 20 16 16 12 18 20 12 10 10 10 10 4 4 8 2 0 3 1 5 5 0 5 1 5 5 0 8 4 8 2 0 12 10 10 10 10 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 25 9 25 0 0 4 2 4 1 0 12 10 10 10 10 ， 所以可以配出满足用户一要求的混凝土，但配不出满足用户二要求的混凝土. 又由于 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 25 / 9 1 0 0 4 2 4 1 0 8 . 2 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 25 / 9 1 0 0 0 25 / 14 0 1 0 0 25 / 2 0 0 1 ， 所以，若用户一需要混凝土 50 吨，则三种混凝土分别需要 4 吨、28 吨、18 吨. 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷 答案） 2011 2012 学年 第 二 学期 课程 名 称： 线性 代数 （共 2 页） 一、 (15 分)设矩阵 = 3 2 2 2 2 2 2 2 1 A ，求 1 * ) ( A 。其中 * A 是矩阵 A 的伴随矩阵. 解 解 由于 0 2 = A ，所以 A 可逆. 于是，
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