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第六次习题课 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 一、知识网络图 1 定 不 分 积 某些无理函数积分 三角函数有理式积分 有理函数积分 特殊函数的积分 查表法 分部积分法 第二换元积分法 凑微分法 第一换元积分法 换元积分法 直接积分法 计算方法 基本积分公式 不定积分的性质 性质与公式 不定积分的几何意义 不定积分 原函数 基本概念 . 4 ) ( . 3 . 2 . 1 一、求不定积分： 例 1. 计算 2 2arctan x x e dx e . 提示： 2 2arctan x x e dx e = 22 22 arctan arctan (1 ) x xx x x xx de ede e e ee = 2 22 a r c t a n (1 ) xx xx x x de de ee ee = 2 1 arctan arctan xx x x eee e C 例 2计算 dx x x ) 1 ( 1 解一 dx x x ) 1 ( 1 = C x x x d x 2 2 2 2 ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ln ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( 1 = C x x x ) 1 ( 2 1 ln 解二 dx x x ) 1 ( 1 = 1 2 ) 1 ln( 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 C x x x x d dx x x = C x x x ) 1 ( 2 1 ln 其中 2 ln 1 C C 方法小结当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。 例 3计算 dx e xe x x 2 ) 1 ( 解一 令 ，则 t e x dx e xe x x 2 ) 1 ( = dt t t t t t td dt t t dt t t t t 1 1 1 1 ln ) 1 1 ( ln ) 1 ( ln 1 ) 1 ( ln 2 2 = C t t t t dt t t t t ) 1 ln( ln 1 ln 1 1 1 1 ln = C e e xe x x x ) 1 ln( 1 解二 dx e xe x x 2 ) 1 ( = dx e e x e d x e e xd x x x x x 1 1 1 ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 = ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 x x x x x x x x e e de e x dx e e e e x = C e e e x de e e e x x x x x x x x ) 1 ln( ln 1 ) 1 1 1 ( 1 = C e e xe x x x ) 1 ln( 1 方法小结 被积函数中含有 的不定积分， 可令 , 从而将积分化为其它易积的积分。 另一方面，当用分部积分法，其中 难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成 x e t e x dv u, ) ( ) ( ( x d x f 的形式，从而 ) ( ( x df dv 。 例 4计算 22 arctan (1 ) x dx xx . 2 解一 令 arctanx t ，即 tgt x ，则 tdt dx 2 sec 22 arctan (1 ) x dx xx = 222 22 sec cot (csc 1) tan sec t tdt t tdt t t dt tt = 2 cot cot cot 2 t td t tdt t t tdt = 2 cot ln | sin | 2 t tt t C = C arctgx x x x arctgx 2 ) ( | 1 | ln 2 2 解二 22 arctan (1 ) x dx xx = 22 2 1 1 arctan ( ) arctan arctan arctan 1 x xdx dx xd x xxx = 2 2 arctan (arctan ) 2 x x dx x 2 1 (arctan ) arctan 2 x xd x 2 2 arctan 1 (arctan ) (1 ) 2 x x dx xxx 令 t x 1 ，则 C t t d t dt t t dx x x ) 1 ln( 2 1 ) 1 ( 1 1 2 1 1 ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 = C x x | 1 | ln 2 从而原式= 2 2 arctan (arctan ) ln | | 2 1 xxx C x x 。 方法小结当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另 若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。 例 5. 计算 dx x x cos 1 sin 1 分析一本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。 解一 令 tan 2 x t ，则 2 2 2 2 1 2 , 1 1 cos , 1 2 sin t dt dx t t x t t x dx x x sin 1 cos 1 C t t dt t t dt t t t dt t t t t t ) 1 ln( ) 1 2 1 ( 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 tan ln(1 tan ) 22 xx C 3分析二 本题被积函数含有三角函数, 若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和 差化积、积化和差等公式） ，往往能简化计算。 解二 4 dx x x sin 1 cos 1 22 1 2sin cos sin 1 22 2 2t a n 2 l n | c o s 222 2cos cos cos 222 xx x xxx dx d d C xxx | 2 x 方法小结 一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数 恒等式进行化简。前者虽然是通用的方法，但往往不是最简便的。另须注意，本题两种解法 给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。 例 6计算 dx x b a x ) )( ( 1 分析一注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式 作变量替换。 解一 x b a x a x x b a x a x x b a x 1 ) )( ( 1 令 , t x b a x 即 , 1 2 2 t bt a x , ) 1 ( ) ( 2 2 2 dt t t a b dx dx x b a x ) )( ( 1 = 2 22 2 2 12 ()1 2 2arctan 2arctan ()( 1) 1 tb a t x a td td tt C bat t t bx C 分析二本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。 解二 dx x b a x ) )( ( 1 = C x b a x a x a b a x d a x d x b arcsin 2 ) ( ) ( 2 2 2 方法小结 当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用 凑微分法。 例 7. 计算 dx x 2 sin 3 1 分析一 被积函数分子、分母同除以 ，可化为 的函数，利用 x 2 sin x 2 csc 2 csc cot xdx ， 22 csc cot 1 x x 可以将积分化简。 解一 dx x 2 sin 3 1 = 2 22 22 csc cot 1 cot 2 (3csc 1) 3cot 4 3 cot ( ) 3 xd xd dx xx x x = 13 c o t 2 32 3 x arctg C 。 分析二 被积函数分子、分母同除以 ，可化为 x 2 cos 22 sec , tan x x的函数，而利用 2 sec tan xd x ，可以将积分化简。 解二 5 dx x 2 sin 3 1 = 2 22 2 22 s sec ec tan 1 tan (3 ) 4 tan 3 4 3 tan ( ) 2 xd xd dx xt gx x x x = 12 t a n 433 2 x arctg C 方法小结 当被积函数含有 或 x sin x cos 的齐次函数时，常从各项中提取 或 ，凑 成 或 。 x 2 sin x 2 cos tan dx cot dx 例 8. 计算 dx x x 2 4 1 1 分析一 注意到被积函数中根式内外都有 x的幂次，可尝试用倒代换。 解一令 t x 1 ，则 dx x x 2 4 1 1 = du u u u udu t u t dt t t dt 3 t 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 = C u u du u du u 1 2 1 2 3 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 1 1 2 1 2 1 = C t t 2 2 1 2 2 3 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 = C x x x x 2 3 3 2 1 3 ) 1 ( 分析二本题也可以用三角代换，令 tan x t ，则根式下可化为 。从而 x 2 sec 被积函数可化为 、 x sin x cos 的函数。 解二 令 tan x t ， dx x x 2 4 1 1 = C t t t t d t t d t d t t dt t t sin 1 ) (sin 3 1 sin sin sin sin sin sin sin 1 sin cos 3 2 4 4 2 4 3 = 3 1 sec sec t () 3t a n a n tt C tt C x x x x 2 3 3 2 1 3 ) 1 ( 方法小结 被积函数中含有 x的幂次，可尝试用倒代换，如果出现 ， 或 ) ( 2 2 a x ) ( 2 2 x a ) ( 2 2 a x ， ) ( 2 2 x a 则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式将被积表达式化简。 例 9. 计算 dx x x x 1 1 1 分析一被积函数中含有复杂的根式 x x 1 1 ，因此可以先将此根式作变量替换。 解一令 t x x 1 1 ，则 , 1 1 2 2 t t x , ) 1 ( 4 2 2 dt t t dx 从而 dx x x x 1 1 1 dt t t t dt t t t t t ) 1 )( 1 ( 4 ) 1 ( 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 = 22 11 1 2 ( ) ln 2arctan 11 1 t dt t C ttt = 11 1 ln 2 arctan 1 11 xx x C x xx 分析二本题可以先根式有理化为 dx x x x 1 1 1 2 ，然后令 t x sin ，即可将根式化去。 解二 dx x x x 1 1 1 = dx x x x 1 1 1 2 令 tan x t ，则 原式= dx x x x 1 1 1 2 t d t t t sin sin 1 sin 1 cos = dt t t t sin 1 sin 1 cos 2 =ln csc cot tttC C t tdt csc = = C t tdt csc = ln csc cot tttC = C x x x x arcsin 1 1 ln 2 方法小结 被积函数中含有复杂的根式，可以先将根式作变量替换。可以先根式有理化，然 后通过三角代换将根式化去。 例 10. 计算 dx x x 3 2 cos sin 分析一 xdx xdx dx x x dx x x sec sec cos cos 1 cos sin 3 3 2 3 2 ，而前一个积分可以用分部积分法， 后一个积分可以利用常用积分公式。 解一 xdx xdx dx x x dx x x sec sec cos cos 1 cos sin 3 3 2 3 2 由于 32 sec sec tan sec tan tan sec sec tan sec sec 3 xdx xd x x x x xdx x x xdx xdx 故 3 11 sec sec tan sec 22 xdx x x xdx 6从而原式= 3 11 sec sec sec tan sec 22 xdx xdx x x xdx = 11 sec tan ln sec tan 22 xxxx C 分析二注意到 22 3 sin sin tan tan sin tan cos cos xx d x dx xx d xx x ，本题也可以用凑微分法。 解二 22 2 3 sin sin 1 tan tan sin tan sin (tan ) cos cos 2 xx d x dx xx dx x dx xx = 22 1111 sin (tan ) sin tan sin (tan ) tan cos 2222 xxx x d xx xx d x = 22 111 s i n( t a n) t a nc o s c o ss e c 222 xxx xx x d x = 2 111 s i n( t a n) t a nc o s s e c 222 xxx x x d x = 11 tan (sin tan cos ) ln sec tan 22 x xxx xxC 方法小结在用分部积分法的过程中，常会出现所求积分在等式右端再现的情况，从中即可 求出所求积分。 例 11(2004 年高数一)已知 ，且 x x xe e f ) ( , 0 ) 1 ( f 则 ) (x f . 分析 已知条件与 的导数有关, 所求的是 的表达式, 若能求出 的导数, 则 其导数的不定积分即为 . ) (x f (x f ) (x f ) (x f ) 解答 设 , 则 t e x t x ln , 从而 . ln ) ( t t t f 因 所以有 . ) ( ) ( C x f dx x f . ) ( ln 2 1 ln ln ln 2 1 2 C x f C x x xd dx x x 故 . ln 2 1 ) ( 2 1 2 C C x x f 由于 , 0 ) 1 ( f 故取 , 0 2 1 C C 所以 x x f 2 ln 2 1 ) ( . 练习：设 ，且 x x f 2 2 sec ) (tan 1 ) 0 ( f ，求 ) (x f 解： 令 ，则 ，于是 x u 2 tan 1 ) ( u u f 1 2 1 ) ( ) ( 2 u u du u f u f 1 ) 0 ( f ， 1 c ， 1 2 1 ) ( 2 x x x f 。 例 12(1992 年高数二) 求 . 1 2 3 x dx x 7 分析一 本题中难积的部分是 . 1 2 x 如果将 视作整体,则分子部分可设法凑成 2 1 x ). 1 ( 2 x d 解一 C x x x d x x x d x x x d x x x dx x 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 ) 1 ( ) 1 1 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 2 1 1 ) 1 ( 1 2 1 分析二 注意到被积函数中含有 的形式,故可考虑用三角代换法. 2 2 x a 解二 令 tan ( ) 22 xt t , 则 tdt dx sec 2 33 222 2 3 31 22 22 tan sec tan sec (sec 1) sec sec 1 1 sec sec 3 1 (1 ) (1 ) 3 xdx t tdt td t t d t t x ttC xxC 例 13(1997 年高数二) ) 4 ( x x dx 分析一 本题分母中分离出 . x 与分子可结合为 . 2 x d x dx 而分母中余下的部分可化为 . ) ( 4 2 x 解一 C x x x d x dx x x x dx 2 arcsin 2 ) ( 4 2 4 1 ) 4 ( 2 . 分析二 本题分母中根号下部分可配成完全平方形式: . ) 2 ( 4 2 x 而分子可凑成 ). 2 ( x d 解二 C x x x d x x dx 2 2 arcsin ) 2 ( 4 ) 2 ( ) 4 ( 2 . 8例 14(1993 年高数一) 求 . 1 dx e xe x x 分析 本题中难积的部分是 . 1 x e 如果将 视作整体,则分子部分须设法凑成 的形式，但本题分子部分是 ，故须将 1 x e dx e e d x x ) 1 ( dx xe x 1 x e 视作整体，作变量替换。 解答 令 , 1 x e u 则 ). 1 ln( 2 u x . 1 2 2 du u u dx C e arctg e e x C arctgu u u u du u u u u du u du u u u u u dx e xe x x x x x 1 4 1 4 1 2 4 4 ) 1 ln( 2 1 4 ) 1 ln( 2 ) 1 ln( 2 1 2 ) 1 ln( ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 例 15 (2003年高数二) 计算不定积分 arctan 3 2 2 . (1 ) x xe dx x 分析 本题中含有难积的反三角函数，遇到这种情形，通常的做法是将反三角部分作变量 替换。 解答 令 arctan , x t 则 tan . x t . sec 2 tdt dx arctan 2 33 22 22 tan sec sin sin sin cos (1 ) (1 t an ) sin cos sin xt tt t ttt xe e t dx tdt e tdt tde e t e tdt xt etetet d t t 故 arctan 3 2 2 1 sin (sin cos ) 2 (1 ) x tt xe dx e tdt e t t C x arctan 2 (1 ) . 21 x xe C x 练习： dx x x x x 2 2 2 1 1 arcsin 解： 令 ，则 u x sin udu dx cos 原式 du u u u u u cos cos sin 1 sin 2 2 2 2 2 1 cot sin u u ud udu du u u c x x x x x c u u u u 2 2 2 ) (arcsin 2 1 ln arcsin 1 2 1 sin ln cot 。 9 10 0 x 例 16. (1999年高数四) 设 是 的原函数，且当 时， ) (x F ) (x f 2 ) 1 ( 2 ) ( ) ( x xe x F x f x 已知 试求 , 0 ) ( , 1 ) 0 ( x F F ). (x f 分析 已知条件与 的原函数 ，若能求出 ，求导后即得 ) (x f ) (x F ) (x F ). (x f 解答 由 有 ), ( ) ( x f x F 2 ) 1 ( ) ( ) ( 2 x xe x F x F x ，两边积分得： C x e dx x xe dx x F x F x F x x 1 ) 1 ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 由 得 , 0 ) ( , 1 ) 0 ( x F F x e x F x 1 )(. 求导后即得 . ) 1 ( 2 ) ( ) ( 2 3 2 x xe x F x f x 练习： 设 是 的一个原函数， 当 时有 ， 且 F(0)=1 ， ， 求 ) (x F ) (x f 0 x ) (x f x x F 2 sin ) ( 2 0 ) ( x F ) (x f 解： 因为 ，所以 ， ) (x f ) (x F ) (x F ) (x F x 2 sin 2 ) ( xFd x F ) (x xdx 2 sin 2 ) ( x F dx x F ) ( ) ( 2 1 2 x F ， c x x dx x xdx 4 sin 8 1 2 1 ) 4 cos 1 ( 2 1 2 sin 2 故 c x x x F 4 sin 4 1 ) ( 2 ，由 1 1 ) 0 ( c F ，于是有 2 1 1 4 sin 4 1 ) ( x x x F ) (x f ) (x F 1 4 sin 4 1 2 4 cos 1 x x x 例 17. (1999年高数二) dx x x x 13 6 5 2 分析 本题属于有理分式的积分，一般来说，可以将真分式化为若干部分分式之和，然后 分项积分。但这样做，有时显得很繁杂，本题可以将分母的一部分凑成完全平方。 解答 dt t t t x dx x x dx x x x 2 2 2 2 2 2 8 3 2 ) 3 ( 5 13 6 5 令 2 1 ln( 4) 4arctan 22 t tC = 2 13 ln( 6 13) 4arctan . 22 x xxC 例18 求 dx x x 2 1 1 arctan dx x x x ) 1 ( 1 1 ln 解： 原式 x d x x 1 1 1 1 arctan 2 c x x d x 2 3 1 arctan 3 2 1 arctan 1 arctan 原式 dx x x x 1 1 1 1 ln 2 x d x x 1 1 1 1 1 1 ln c x 1 1 ln 2 1 2 。 练习： ln tan sin 2 x dx x 11 解： ln tan sin 2 x dx x = 2 2 ln tan 1 ln tan 1 1 tan ln tan ln tan ln tan sin 2t a n 2 4 2c o s cos xx dx d x xd x x C x x x x 。 例19. 求 dx x x sin 2 2 sin 1 dx x x cos sin 1 3 解： 原式 ) 1 (cos sin 2 x x dx 2 cos 2 2 cos 2 sin 4 2 x x x dx 2 cos 2 sin 2 4 1 3 x x x d 2 cos 2 tan 2 tan 4 1 2 x x x d 2 tan 2 tan 2 tan 1 4 1 2 x d x x c x x 2 tan 8 1 2 tan ln 4 1 2 原式 dx x x x x cos sin cos sin 3 2 2 dx x x x x dx 3 sin cos cos sin x dx x x dx x x 2 sin 2 1 sin cos cos sin c x x x 2 sin 2 1 sin ln cos ln 练习 1 ：求 dx x e x x 2 2 ) 2 ( 解：原式 2 1 2 x d e x x dx xe e x x x e x x x x 2 2 1 2 2 2 dx xe x e x x x 2 2 （再分部积分） dx e xe x e x x x x 2 2 c e xe x e x x x x 2 2 练习 2 ： 求 2 (1 ) x xe dx x dx x x x x e x 2 3 sin cos sin cos 解： 原式 dx x e e x x x 2 ) 1 ( ) 1 ( dx x e dx x e x x 2 ) 1 ( 1 1 1 1 x d e dx x e x x c x e dx x e x e dx x e x x x x 1 1 1 1 原式 dx x x e xdx x e x x 2 sin sin cos sin cos x d e xde x x cos 1 sin sin c x e xe x d e x e dx e xe x x x x x x cos cos sin sin sin sin sin sin 。 例 20.（1）设 2 2 2 (1 )l n 2 x fx x ，且 () l n f xx ，求 () x dx ； （2）设 ln(1 ) (ln ) x fx x ，计算 () f xdx . 提示： （1）令 2 1( ) 1 1 ( ) ln , ( ( ) ln ln ( ) 1( ) 1 tx xtf t fx xx tx 1 1 x x ，于是 () 2 l n 1 x dx x x C . （2）令 ln(1 ) ln , ( ) t t t e xtxe ft e ，于是 () f xdx = ln(1 ) ln(1 ) x x x x e dx e de e = 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 xx xxx x eed xeee e C . 练习：设 2 (sin ) sin x fx x ，求 () 1 x f xdx x . 提示：令 2 arcsin sin , arcsin ( ) x xux ufx x ，于是原式= arcsin 2a r c s i n 1 1 x dx xd x x = 2 1 arcsin 2 x xx C . 二、补充练习 1 、 求 1 2x x e dx e dx x x x 4 sin 1 cos sin （ c e x arctan c x ) arctan(sin 2 1 2 ） 2 、 求 dx x x x 2 ) ln ( ln 1 c x x ln 1 3 、 求 dx x x x x 2 sin cos c x x sin 1 124 、 若 可积，求 ) (x f dx x f x f e x ) ( ) ( c x f e x ) ( 1 、 求 xdx e x 3 sin 2 c x x e x ) 3 sin 2 3 cos 3 ( 3 2 6 、 求 dx x x x 2 3 2 1 ln c x x 1 1 ln 2 7 、 求 dx x x 1 1 2 4 c x x x 3 3 1 1 arctan 8 、 求 dx x x 2 sin tan 1 c x x tan ln 2 1 tan 2 1 9 、 求 dx x x x cos 1 sin c x x 2 tan 10、求 dx e x x x cos 1 sin 1 c e x x 2 tan 13
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