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第四章 向量组的线性相关性 4.1 目的要求 1了解 维向量的概念，并掌握其线性运算的方法. n 2理解向量组线性相关性的若干概念，了解与相关性的结论. 3理解向量组的极大无关组的定义与向量组秩的定义. 4了解 维向量空间、子空间、基底、维数的概念. n 5掌握矩阵初等变换判断向量组的相关性，求向量组的秩和极大无关组的方法. 4.2 重要公式和结论 4.2.1 向量组及其线性组合 1 维向量 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量，这 n个数称为 n n 12 , n aa aL n 该向量的 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量. n i a 2向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组. 3 线性组合 给定向量组 对于任何一组实数 表达式 称为向量组 A的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数. A L 12 :a ,a , ,a m m a m n kkk , 21 L 12m kkk+aa n kkk , 21 L 4 线性表示 给定向量组 和向量 ，如果存在一组数A L 12 :a ,a , ,a b m , 21 L ，使 12 m =+Lba a a m ，则称向量 能由向量组 b A线性表示; 若向量组 中的每个向量都能由向量组 B L 12 l :b ,b , ,b A 线性表示，则称向量组 B 能由 A 线性表示 5向量组等价 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 6定理 1 向量 b能由向量组 线性表示的充要条件是矩阵 A L 12 :a ,a , ,a m ) ) l (= L 12 m Aa,a,a的秩等于矩阵 的秩. L 12 m B=(a ,a , ,a ,b) 7定理 2 向量组 能由向量组 线性表示的充要条件是 12 l B,L:b b b A L 12 m :a,a , ,a 矩阵 的秩等于矩阵(= L 12 m Aa,a,a 11 (,) (, , , , , ) m =AB a a b bLL 的秩，即 . () ( )RRA= A,B 8推论 1 向量组 与向量组 等价的充要条件是 A L 12 m :a,a , ,a 12 l B,L:b b b () () ( )RRRA= B= A,B，其中，A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵. 1 9定理 3 设向量组 能由向量组 线性表示， 12 l B,L:b b b A L 12 m :a,a , ,a 则 . 12 (, , ,) ( ) l RRLL 12 m bb b a,a, ,a 4.2.2 向量组的线性相关性 1线性相关、线性无关 给定向量组 ，如果存在不全为零的数 A L 12 m :a,a , ,a n kkk , 21 L ，使 ，则称向量组 A 线性相关，否则称它线性无关. 11 2 2 0 mm kkk+=aaa 2性质 含有零向量的向量组必线性相关，线性无关的向量组必不含零向量； 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； 多于 n 个向量的 n 维向量组必线性相关； 如果向量组中一部分向量线性相关，那么整个向量组线性相关；如果整个向量 组线性无关，那么由它的部分向量构成的向量组也线性无关. 3定理 1 向量组 线性相关的充要条件是它构成的矩阵 A L 12 m :a,a , ,a (= L 12 m Aa,a,a)的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充要条件 ()R m=A 。 4 定理 2 若向量组 线性相关，则向量组 也 A L 12 m :a,a , ,a , ,B L 12 m :a a a b 线性相关，反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关； m 个 n 维向量组 成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关； 设向量组 线性 无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 A 线性表示，且表 达式是唯一的. A L 12 m :a,a , ,a , ,B L 12 m :a a a b b 4.2.3 向量组的秩 1最大线性无关向量组 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 ， , r L 12 aa a 满足 向量组 线性无关； 向量组A中任意r+1 个向量（如果A中 有r+1 个向量）都线性相关，则称向量组A 0 A 12 :a ,a , ,aL r 0 是向量组A的一个最大线性无关向量组，最大无 关组所含有向量个数r称为向量组A的秩，记作R A . 2等价的向量组有相同的秩。 3定理 1 矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩. 4推论 设向量组 是向量组 A 的一个部分组，且满足 012 r A :a,a, ,aL 2 向量组A 0 线性无关； 向量组A 的任一向量都能由向量组A 0 线性表示；那么向量组A 0 便 是向量组A的一个最大无关组。 5 定理 2 向量组 能由向量组 线性表示的充要条件是 . 12 l b,b, ,bL 12 m a,a, ,aL 12 1 1 (, , , ) (, , , ,) mm RR=aa a a a b bLL l L 4.2.4 线性方程组的解的结构 1对齐次线性方程组 AX=0 其中 , 11 12 1 21 22 2 12 n n mm mn aa a aa a aa a = A L L MMOM L 1 2 n x x x = x M , 若 11 21 1n = 1 x M 2 满足方程组，则 称为方 程组的解. 齐次线性方程组的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系. 1 2性质 1 若 ， 为 的解，则 也是它的解； 1 x= 2 x= AX = 0 1 x= + 3性质 2 若 为 1 x= AX=0 的解，k 为实数，则 也是它的解. k 1 x= 4定理 设 mn 矩阵 A 的秩 ()R r=A ，则 n 元齐次线性方程组 AX=0 的解集 S 的秩 s R nr=. 5性质 1 设 及 都是方程 1 x= 2 x= AX=b的解，则 12 x=为对应齐次线 性方程组 AX=0 的解. 6 性质 2 设 是方程x= AX=b的解， x= 是方程 AX=0 的解，则 +x= 仍是方程 AX=b的解. 4.2.5 向量空间 1向量空间 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且若 ， ，则 ；若 ， Va Vb V+ab Va R,则 V a ，即 V 对加法及数乘封闭，就称集合 V 为向量空 间. 2子空间 设有向量空间V 1 及V 2 ，若 ，就称V 21 VV 1 是V 2 的子空间. 3由向量组 所生成的向量空间为 12 m a,a, ,aL 11 2 2 1 2 , mm m = + + L xa a a RLL 3 4基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 12 r a,a, ,a VL ，且满足 线性无关； V 中任何一向量都可由 线性表示，那 么，向量组 就称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间. 12 r a,a, ,aL 12 r a,a, ,aL 12 r a,a, ,aL 5如果在向量空间 V 中取定一个基 ，那么 V 中任一向量 都可唯一表 示为 12 r a,a, ,aL x 11 2 2 rr =+xa a aL 数组 12 , r L 称为向量 在基 中 的坐标. x 12 r a,a, ,aL 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式 1设向量组 与 是 V 的两组基，且有 12 , n aa aL 12 , n bb bL 其中 12 12 (, , , ) (, , , ) nn =bb b aa a ALL 11 12 1 21 22 2 12 n n nn n aa a aa a aa a = A L L MM L 称上式为由基 到基 的基变换，称 A 为由基 到基 的过渡矩阵. 12 , n aa aL 12 , n bb bL 12 , n aa aL 12 , n bb bL 2对向量 ，它在基 与 下的坐标分别为xV 12 , n aa aL 12 , n bb bL 12 (, , , ) n x xxL 及 12 (, , , ) n y yyL ，即 11 22 12 12 (, , , ) , (, , , ) nn x y x y x y = xaa a xbb bLL MM ，则有 11 221 nn yx yx yx = A MM 这就是由基 到基 的坐标变换公式. 12 , n aa aL 12 , n bb bL 4.3 例题分析 例 4.1 若 都是四维列向量，且四阶行列式 12312 , 1 m= 123 ， 2 n= 12 3 ，试求四阶行列式 . T =A 解： 311 131 m= 22 ， 312 1 23 n= = 22 4 故 311 2 311 312 () )mn+= + =+ 22 . 例 4.2 设 ，矩阵 ，n 为正整数，计算(1, 0, 1) T = T =A n EA. 解： 1 2, ( ) ()() 202 2 2 000 202 TnTnTT n nn nTn T nn = = = A L 1442443 个 -1 -1 -1 -1 -1 -1 T 所以 2 202 0 a000 202202 00 00(2) 20 2 nn n nnn n nn aa aa a aaa a = = EA -1 -1 行 -1 -1 -1 -1 列 -1 0 n a = = (1,1, 3) T = . 例 4.3 已知向量 及 ，试用 线性表示 12 3 (1,1,1) , (1,2,4) , (1,3,9) TTT 123 , . 解：设 11 2 2 3 3 x xx=+ 1 1 3 ，即 123 11 1 12 3 14 9 xxx += 求解上述方程组，方程组的增广矩阵为 3221 31 3212 23 3 3 3 /2 1111 1111 1111 1231 0120 0120 1493 0382 0022 10 1 1 100 2 01 0 2 010 2 00 1 1 001 1 rrrr rr rrrr rr r = B 解得方程组得解 12 3 2, 2, 1xx x= = = ，线性表示式为 12 22 3 = + . 例 4.4 设向量 线性相关，向量 线性无关，问： 123 , 234 , （1 ） 向量 能否由向量 线性表示？（2 ） 向量 能否由向量 线性表示？ 1 23 , 4 123 , 5 证 （1 ）由 线性无关知 必线性无关，又知添加了 后 线性相 234 , 23 , 1 123 , 关，则 必能由 线性表示，这是因为 线性相关时，有不全为零的数 使 1 23 , 123 , 123 ,kkk 11 2 2 33 0kk k+= 1 k 必不为零，否则 ， 必不全为零且使 1 0k = 23 ,kk 22 33 0kk+ =，这与 线性无 23 , 关矛盾，因此必有 ，则 1 0k 32 12 11 kk kk = 3 ，即向量 能由向量 线性表示. 1 23 , （2 ）若 能由 线性表示，即 4 123 , 411223 kk k= + 3 由(1) 的结论知， 1122 tt= +，将 代入，整理得 1 41122123 ()(kt k kt k 3 )= + 1 这表明 线性相关，与题设矛盾，因此向量 不能由向量 线性表示. 234 , 4 123 , 例 4.5 设向量 2 123 11 1, , 1, 11 = 问 取何值时， （ 1） 不能由 线性表示？（ 2） 123 , 可由 线性表示，且 表示式唯一？并求出这个表达式. 123 , 解 设有数 123 ,x xx使 11 2 2 3 3 x xx=+ 设其系数矩阵 ，增广矩阵 123 (, , )=A 123 (, , ,)=B ，对 作初等变换 B 22 22 23 2 2 11 11 11 11 0 11 0 1 1 11 1 0 1 1 1 0 0 2 1 3 = + B （1 ） 不能由 线性表示 123 , =Ax 无解 () ()RR 0AB ； （B ）当 时，必有mn 0AB （C ）当 mn 时，必有 0AB ； （ D）当 mn 时，必有 0AB 5. 设向量组 线性无关，向量 21 ， 3 1 可由 线性表示，而向量 21 ， 3 2 不能 由 线性表示，则对于任意常数 k，必有（ ） 21 ， 3 21 21 2 2 3 4 5 5 （A ） 线性无关；（B ） 线性相关； 23 k 1 ， 23 k 1 ， （C ） 线性无关；（D ） 线性相关. 23 k 11 ， 23 k 11 ， 6. 设有向量组 ， ， ， 与 ，则向量组的极大线性无关组是（ ） 1 (1,- 1,2,4) 2 (0,3,1,2) 3 (3,0,7,14) 4 (1,-2,2,0) 5 (2,1,5,10) （A ） ； (B) ； 21 ， 21 ， (C) ； (D) . 21 ， 241 ， 7. 设有向量组 线性无关，则 a， b， c 必须满足关 系式 (,0,) (,0) (0,)a c bc ab 123 , . 8. 向量组 的秩等 于 (1, 2,3, 4) (2,3, 4,5) (3, 4,5,6) (4,5,6,7) 12 4 , . 9. 已知向量组 的秩为 2，则 t 23 (1,2,-1,1) (2,0, ,0), (0,-4,5,-2)t 1 , . 17 10. 设矩阵 ，向量 ，已知 与 线性无关，则 a 12 2 21 2 30 4 A (,1,1) T a A . 11. 向量空间 V = x=(x,2x,y)|x,y R 的维数是 ，它的基 2 _, _ .= 1 向量 ( ) 3,6,- 4 在基 下的坐标是 21 , . 12. 设有向量组 ， 123 (2, 4,7); (3, 2,5); (5,6, ); (1,3,5)k= 当 k 为何值时， 能由 线性表示？ 123 , 13. 设有向量组 12 34 5 (2,1,5,3); (1, 1,2,1); (0,3,1,1); (1,2,3,2); ( 1,1, 2, 8)= ， 求向量组的秩和它的一个极大线性无关组. 14. 设有向量组 ， 12 3 (1 1 1); (1 1 1); (1 1 1); (1 2 1)= ， ， ， 试把 表为 的线性组合. 123 , 15. 求方程组 12345 12345 12345 12 3 45 x -2x +x +x -x 0 2x +x -x -x +x 0 x +7x -5x -5x +5x 0 3x -x -2x +x -x 0 = = = = 的基础解系和通解. 16. 求方程组 12 34 23 4 124 234 x -2x +3x -4x 4 x-x+x 3 x-3x-3x 1 -7x +3x +x 3 = = = = 的通解. 4.4.2 提高练习 1. 已知 123 (1,0,2,3) , (1,1,3,5) , (1, 1, 2,1) TT a= T + 4 (1,2,4, 8) , (1,1, 3,5) TT ab=+=+ （1 ）a ,b 为何值时， 不能表示为 的线性组合； 1234 , （2 ）a ,b 为何值时， 有 的唯一线性表示，并写出该表达式. 1234 , 2. 设向量 线性相关，而其中任何 r-1 个向量线性无关，证明存在不全为 12 , r L 18 零的数 使 . 12 , r kk kL 11 0 rr kk+ =L 3. 设 线性无关，证明 123 , 11 2 32 233 12 22, , 2 3 3 = + = =+ 线性无关. 4. 验证向量 是 123 (1, 1,0), (2,1,3), (3,1,2) TTT = = = 3 R 的一个基，并分别将向量 用这个基表示. 12 (5,0,7) , ( 9, 8, 13) TT = 5. 已知 3 R 的两个基 123 1 2 3 333 5 3 :1,1,1;: 3, 1, 4 222 1 3 = = = A B 6 12 ， 求基 A 到基 B 的过渡矩阵 C. 6. 设由向量 生成的向量空间为V() 123 0,1, 2 , (1,3,5), (2,1, 0)= 1 ，由向量 生成的向量空间为V() 12 1, 2, 3 , ( 1, 0,1)= 2 ，试证V 1 = V 2 . 7. 设 4 R 的 3 个基分别为 1234 1234 1 1000 0100 (1) : , , , ; 0010 0001 20 1 010 (2): , , , ; 101 010 2 1 (3) : 0 1 = 0 1 2 0 = = eeee 23 4 021 113 , , 211 222 = = . 3 4 1) 求由基（2 ）到基（1 ）的过渡矩阵； 2) 求向量 在基（2 ）下的坐标； 12 =+ eee 3) 求向量 13 323=+ 在基（1 ）下的坐标； 4) 求由基（2 ）到基（3 ）的过渡矩阵. 19 8. 设 m 个 n 维向量 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组 线性无关的充要条件是 12 , n L 12 , n P P PL 0P . 9. 已知向量组（1 ）： 123 0a 12 11 ， b 1 0 ， 9 向量组（2 ）： 具有相同的秩，且 123 13 2，0，6 3 1 7 3 可由向量组（2 ）线 性表示，求 a，b 的值. 10. 已知 3 阶方阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 线性无关，且满足 2 x,Ax,A x 3 32= 2 A xAxAx ) ； 1) 记 ，求 3 阶方阵 B，使 ( ,= 2 PxAxAx 1 A=PBP ; 2） 计算行列式 +A I . 11. 讨论并求解方程组 123 123 2 123 1xxx xxx xxx + += + += += . 12. 设有 3 维列向量 23 2 111 11 1 0 1 ， 问 取何值时， （1 ） 可由 线性表示，且表达式唯一？ 21 ， 3 （2 ） 可由 线性表示，但表达式不唯一？ 21 ， 3 （3 ） 不能由 线性表示？ 21 ， 3 13. k 为何值时，线性方程组 12 3 2 123 12 3 4 24 xxkx x xxk xx x += += += k 有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解. 14 已知 20 23 4 (1, 0, 2, 3), (1,1, 3, 5), (1, 1, 2,1), (1, 2, 4, 8), (1,1, 3, 5).aa=+=+= 1 b+ （1 ）a 、 b 为何值时， 不能表示为 的线性组合？ 23 , 1 ， 4 （2 ）a 、 b 为何值时， 可表示为 的线性组合？并写出该表示式. 23 , 1 ， 4 15. 已知下列线性方程组 123412 4 1234 13 4 123 3 4 526 (1) 4 1; (2) 2 11 33 21 xmx xxxx x xxxx nxx x xxx x x t + =+ = = = = =+ (1) 求出方程组 的通解; (1) (2) 当 中的参数 m、n 、t 为何值时，方程组 与 同解？ (2) (1) (2) 第四章参考解答 4.4 独立作业 4.4.1 基础练习： 1. （D ）提示 ：由题设知， 11 2 2 2 11 2 2 2mm mmm kk k + （ + ）+ （ + ）+ + （ + ）+ （ - ）+ （ - ）+ （ - ）= m 0 又知 12 m12 m kk k ， 不全为零， 122 122mm m 11 ，-，-，- m s 线性相关. 2.（D ）提示 ：设向量组 12 A： ， ，, ：向量组 t B 12 ,：， = A O C BB （因向量组 A 可被向量组 B 表示） ，则 () () ()R RRr= =ABC， 所以 A Bnull ，故选（D ） 3.（C ）提示：因 0A ，则 () 4R nmAR() ABAR( ) R()，则 ， AB 为降阶 方阵，所以 ABR( )m 0AB . 21 5.（A ）提示 ： 1 由可由 线性表示知 21 ， 3 3122 11 = ，那么 4223 () 22 33 12 2 rk r r r K + = + 11 11 A B 又 线性无关，且 21 ， 3 2 不能由 线性表示，则 ，即 线性无关. 这个结论肯定了（A ）而排除了（B ） ,对条件（ C） ,取 即与题设矛盾，可排除. 对于（D ） ,取 时与（A ）中 相同，已知（A ）正确，从而 否定（D ）. 21 ， 3 2 3 ABR()=R()=4 23 1 k + 1 ， k=0 k=1 k=1 6.（B ） 7. .提示： 线性无关0abc 21 ， 23 0 1 ， ，即 0 00 0 ac bc ab ，由此求得 . 0abc 8. 向量组的秩为 2. 提示 ：因为 2 3 4 1234 1 2 3 4 1 2 3 4 2345 0 1 2 3 0 1 2 3 3456 0 2 4 6 0 0 0 0 4567 0 3 6 9 0 0 0 0 1 9. t=3. 提示： 2 3 12 11 12 11 12 11 20 t 0 0 4t2 2 0 4t2 2 045 2 045 2 003t0 1 向量组的秩为 2 2t 10. . 提示 ： a1 12 21 a 2 1 2 1 2a 3 , 2a 3 1 2a 2 1 30 4 1 3a4 3a41 3a31 = A A B a （，） 0 22 a=-1时， （向量个数），则 与 线性相关. 01 01 01 R BA B ，（ ，）R( )=12 A 11. 的维数是 2，它的基V ()( ) 21 1,2,0 , 0,0,1 .向量 的坐标是（3 ，4 ）. 提示：对 中任意向量V ()( ) ( ),2 ,xxy x yx = = 1,2,0 + 0,0,1 ，向量 ( )( ),1,2,0 0,0,1 线性无关. 12. . 13. 秩为 3， 是它的一个极大线性无关组. 12k 125 , 14. 12 31 0 22 null 3 k . 15. 基础解系为 ，通解为 （k 为任意常数）. (0,0,0,1,1) T = (0,0,0, , ) T kk=x 16. ( 8,0,0, 3) T = x 4.4.2 提高练习： 1. 解 设有数 1234 ,x xxx，使 11 22 33 44 xx x x+ += b 即 1 2 3 4 11 1 1 1 11 1 1 1 01 1 2 1 01 1 2 1 ,(,) 23 2 4 3 00 1 0 35 1 8 5 00 0 1 0 x x xab a xaa = + + BA （1 ）当 a 1，b 时，方程组无解，此时 不能表示为 的线性组合； 1234 , （2 ）当 a 1，b 时，方程组有唯一的解，此时 有 的唯一线性表示，求解 线性方程组 1234 , 1234 23 4 43 2 1 3 4 1234 1 21 b ,0, , (1) (1) 0 b 0 xxxx xx x xx x x ax b ax + = + = += += + a+ b+ 1 - 2b 解出 ， a+ 1 a+ 1 a+ 1 -2b a+b+1 a+ 1 a+ 1 a+ 1 . 2. 解： 反证法：若 至少有一个 11 0 rr kk+ =L 0 i k = ，那么 11 1 1 1 1 00 ii ii rr kkk k + + += LL ，由于 r-1 个向量是线性无关的， 必有 ，这样， 线性无关，与假设矛盾. 111 0 ii r kkk k + = = =LL 12 , r L 3. 提示 ：利用过渡矩阵可逆. 23 4. 提示 ： 12312 100 2 3 (, , , , ) 010 3 3 001 1 2 初等变换 123 ,与 等价，则 是 123 ,eee 123 , 3 R 的一个基，并且 11 23212 33+ 3 2 ， 3 2 . 5. ()() 1 123 12 3 312 , , 1 11 203 = C 6. 提示 ：只需证 () ()RRR = A AB B ， , 012 123 135 012 210 000 123 000 101 000 = A C B 所以 ，() () 2RRR = = A AB B A Bnull ,由此V 1 = V 2 . 7. 解 ： () 1234 1234 (, , , ) , , ,=eeee C 1） ; () 1 1234 1212 0001 , 1424 0101 = C 2 ）设 在基（2 ）下的坐标为 ，已知 在基（1 ）下的坐标为 ，根据坐标变换公式 1234 ,llll ()( 1234 , 1,1,1,0kkkk = ) 11 22 33 44 12121 0 0001 1 0 1424 1 1 01010 1 lk lk lk lk = = C 所以 在基（2 ）下的坐标为 0，0 ，-1 ，1. 3) 13 32=+ 4 在基（1 ）下的坐标 24 11 221 33 44 12123 8 0001 0 1 1424 2 3 01011 0 kl kl kl kl = = C 所以， 在基（1 ）下的坐标是-8 ，1 ，3 ，0. 4）设由基（ 2）到基（ 3）的过渡矩阵为 Q，它可以认为是由基（2 ）到基（ 1）（过渡矩阵 C）， 再由基(1) 到基(3) 的变换，设由基(1) 到基(3) 的过渡矩阵为 G ，则 ，于是由基(2) 到基(3) 的过渡矩阵为 ()() 1234 1234 , ,= eeee G G= () 1234 12122021 68512 00011113 122 2 , 1 4 2 4 0 2 1 1 10 16 12 23 01011222 2335 = = = QCGC .8. 提示：已知 线性无关，则 12 , n L 12 12 1 2 0, 0 nnn = P P P PLLL，所以 0P 9. 提示： ，则() 123 139 , 012 000 ( ) 123 2R =, 且 为一个最大无关组 12 , () 123 12 1 1 01 3 00 3 a b , ，因 ( ) 123 1 2 3 (, , ) 2RR= = , ，则 0 3 a b=， 即 ，又3a= b 3 可由向量组（ 2）线性表示，即可由最大无关组 线性表示，那么 12 , 12 3 13 13 0200612210 310 010 3 bb bb b = = 5, 15ba，则 = = . 10. 提示： 1) 25 ()( () 23 2 2 2 32 00 0 10 3 01 2 = ) AP AxAxAx AxAx Ax Ax xAxAx PB ， 故 00 0 10 3 01 2 = B 2) 由 11 , += + 1 A=PBP A I PBP PP ，所以 10 0 11 3 4 01 1 + =+= = AI BI 11. 提示 ： 2 2 22 11 1 1 1 11 011 11 0 0 2 1 3 = + B （1 ）有唯一解 21， ，这时唯一解为 () 2 1 11 , 22 xxx + + = = = 2+ + 123 . （2 ） 2 = 时无解. （3 ） 1 有无穷多解，这时通解为 12 11 01 0 00 1 kk 1 + x （ k 1 ， k 2 为任意常数） . 12.提示：（ 1） 可由 线性表示 12 ， 3 ( ) 123 =x ， 有唯一解 0，且 3 ； （ 2） 可由 线性表示，但表达式不唯一 12 ， 3 ( ) 123 =x ， 有 无穷多解 0 ；（ 3） 不能由 线性表示 12 ， 3 ( ) 123 =x ， 无解 3 13. 提示 ：（1 ） 时，有唯一解 1, 4k 22 12 3 4 , 11 kk kk xx x 2 1 k+ + = = + ； （2 ）k 1 时，无解；（ 3） k=4 时有无穷多解，全部解为 03 4 01 k 1= + x （k 为任意常 数）. 14. 提示：设 ，则本题是要求 a、 b 为何值时， 234 (, )= 1 A =Ax 有解和无解. （ 1） 且 时，1a = 0b 不能由 线性表示 ；（ 2） 时， 123 ， 4 1a 可由 26 123 ， 4 唯一线性表示 123 b1 0 11 ab b aa 4 + + + + + 2 a+ 1 ； 当 且 时，1a = 0b = 可由 线性表示为 123 ， 4 3 (1 2 )+ + + 124 12 1 2 1 2 (-2c+c ) c c c c , 12 cc T （ 为任意常数） 15. 提示：先求出（1 ）的解，然后代入（2 ），定出 m、n 和 t 的值 1） ； 2） 将 ( 代入（2 ），得关于 m、 n 和 t 的线性方程组 解之得 (2,4,5,0) (1,1,2,1) T k= +x 2,4,5,0) T 24 5 5 45 1 51 m n t += += =+ 2, 4, 6mnt= = 当 时，（2 ）的系数矩阵的秩等于（1 ）的系数矩阵的秩，都是 2，则 基础解系含一个向量，可由验证（1 ）的基础解系 ( 也是（2 ）的基础解系. 所以 （1 ）与（2 ）是同解方程组. 2, 4, 6mnt= ) T 1,1,2,1 27
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