《线性代数经济数学》课程习题集.pdf

线 性 代 数 (经 济 数 学 2） 课 程 习 题 集 西 南 科 技 大 学 成 人 、 网 络 教 育 学 院 版 权 所 有 习 题 【 说 明 】 ： 本 课 程 线 性 代 数 (经 济 数 学 2） （ 编 号 为 01007） 共 有 计 算 题 1,计 算 题 2,计 算 题 3,计 算 题 4,计 算 题 5等 多 种 试 题 类 型 ， 其 中 ， 本 习 题 集 中 有 计 算 题 5等 试 题 类 型 未 进 入 。 一 、 计 算 题 1 1. 设 三 阶 行 列 式 为 求 余 子 式 M11， M12， M13及 代 数 余 子 式 A11， A12， A13 2. 用 范 德 蒙 行 列 式 计 算 4阶 行 列 式 3. 求 解 下 列 线 性 方 程 组 ： 其 中4. 问 取 何 值 时 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 ？ 5. 问 取 何 值 时 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 ？ 二 、 计 算 题 2 6. 计 算 的 值 。7. 计 算 行 列 式 的 值 。8. 计 算 的 值 。9. 计 算 行 列 式 的 值 。10. 计 算 的 值 。11. 求 满 足 下 列 等 式 的 矩 阵 X。 12. A为 任 一 方 阵 ， 证 明 ， 均 为 对 称 阵 。13. 设 矩 阵 求 AB14. 已 知 求 和15. 用 初 等 变 换 法 解 矩 阵 方 程 AX=B 其 中 16. 设 矩 阵 求17. 求 的 逆 。 18. 设 n阶 方 阵 A可 逆 ， 试 证 明 A的 伴 随 矩 阵 A*可 逆 ， 并 求 。19. 求 矩 阵的 逆 。 20. 求 矩 阵 的 逆 。 三 、 计 算 题 3 21. 设 矩 阵 求 矩 阵 A的 秩 R(A)。 22. 求 向 量 组 的 秩 。 其 中 ， ， ， ， 。23. 设 向 量 组 ， ， 可 由 向 量 组 ， ， 线 性 表 示 。 试 将 向 量 ， ， 由 ， ， 线 性 表 示 。24. 问 a取 什 么 值 时 下 列 向 量 组 线 性 相 关 ？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 25. 求 下 列 向 量 组 的 秩 , 并 求 一 个 最 大 无 关 组 a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T。 四 、 计 算 题 4 26. 求 线 性 方 和 组 的 解 27. 求 解 下 列 线 性 方 程 组 28. 当 a、 b为 何 值 时 ， 线 性 方 程 组有 解 ， 当 其 有 解 时 ， 求 出 其 全 部 解 。 29. 求 解 齐 次 线 性 方 程 组30. 求 非 齐 次 方 程 组 的 一 个 解 及 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 31. 试 用 正 交 变 换 法 将 下 列 二 次 型 化 为 标 准 形 ， 并 求 出 变 换 阵 32. 设 矩 阵求 A的 正 交 相 似 对 角 阵 ， 并 求 出 正 交 变 换 阵 P。 33. 求 一 个 正 交 变 换 将 二 次 型 f2x123x223x334x2x3化 成 标 准 形 。 34. 求 一 个 正 交 变 换 将 二 次 型 fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4化 成 标 准 形 。35. 试 求 一 个 正 交 的 相 似 变 换 矩 阵 , 将 对 称 阵 化 为 对 角 阵 。 五 、 计 算 题 5 （ 略 ） 答 案 一 、 计 算 题 1 1. 解 ： ， （ 3分 ） ， （ 6分 ） ， （ 8分 ）2. 解 ： 对 照 范 德 蒙 行 列 式 ， 此 处 a 1=4， a2=3， a3=7， a4=-5 （ 3分 ） 所 以 有 （ 5分 ） =10368 （ 8分 ） 3. 解 ： 写 出 系 数 行 列 式 D （ 3分 ） D为 n 阶 范 德 蒙 行 列 式 ， 据 题 设 （ 5分 ） 由 克 莱 姆 法 则 知 方 程 组 有 唯 一 解 。 易 知 （ 8分 ）4. 解 系 数 行 列 式 为 （ 4分 ） 令 D0 得 0或 1 （ 6分 ）于 是 当 0或 1时 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 （ 8分 ） 5. 解 系 数 行 列 式 为 （ 4分 ） (1)3(3)4(1)2(1)(3+) (1)32(1)23 （ 6分 ） 令 D0 得 0 2或 3于 是 当 0 2或 3时 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 （ 8分 ） 二 、 计 算 题 2 6. 解 ： （ 4分 ） （ 8分 ） （ 10分 ）7. 解 （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） =-60（ 10分 ）8. 解 ： （ 5分 ） （ 10分 ） 9. 解 ： 对 于 行 列 式 ， 使 用 性 质 进 行 计 算 。有 （ 第 3列 减 第 2列 ） （ 3分 ） （ 第 2列 减 第 1列 ） （ 6分 ）（ 由 于 2， 3列 对 应 相 等 ） （ 8分 ） =0（ 10分 ） 10. 解 （ 5分 ） （ 10分 ） 11. 解 将 上 述 等 式 看 成 （ 2分 ） 由 矩 阵 的 加 法 及 数 乘 矩 阵 的 运 算 规 律 ， 得 （ 4分 ） =（ 6分 ） = （ 8分 ） =（ 10分 ）12. 证 ： 对 称 阵 ： （ 20分 ） （ 4分 ） 是 对 称 阵 . （ 6分 ） （ 8分 ） 是 对 称 阵 （ 10分 ）13. 解 AB （ 2分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） （ 10分 ）14. 解 （ 3分 ） （ 6分 ） 而 （ 10分 ） 15. 解 （ 1分 ） （ 3分 ） （ 5分 ） （ 7分 ） （ 9分 ） X=A-1B （ 10分 ）16. 解 ： （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） 于 是 （ 1 0 分 ） 17. 解 ： （ 3分 ） （ 7分 ） （ 10分 ）18. 证 ： 因 为 A可 逆 ， 所 以 |A| 0， （ 1分 ） 且 于 是 有 A*=|A|A-1 （ 3分 ） 对 上 式 两 边 取 行 列 式 ， 并 由 方 阵 行 列 式 性 质 （ 2） （ 注 意 |A| 是 一 个 数 ） 得 |A*|=|A|A-1| =|A|n|A-1| （ 5分 ）又 因 |A-1| 0 （ A可 逆 ， 由 定 义 知 A-1可 逆 ） |A*| 0 所 以 A*是 可 逆 的 （ 6分 ） 因 为 （ 8分 ） 可 知 （ 10分 ）19. 解 ： 令 ， （ 2分 ） 于 是 则 （ 4分 ） 用 伴 随 矩 阵 极 易 写 出 （ 6分 ） （ 8分 ） （ 10分 ） 20. 解 |A|20 故 A1存 在 （ 2分 ） 因 为 （ 6分 ） 所 以 （ 10分 ） 三 、 计 算 题 3 21. 解 ： 对 A作 初 等 行 变 换 ， 将 它 化 为 阶 梯 形 ， 有 （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） 最 后 阶 梯 形 矩 阵 的 秩 为 3， 所 以 R(A)=3 （ 12分 ） 22. 解 ： 把 排 成 的 矩 阵 A（ 2 分 ） （ 8 分 ） 这 是 一 个 下 三 角 形 矩 阵 （ 1 2 分 ）23. 解 ： 由 上 视 为 的 线 性 方 程 组 ， 解 出 来 。 （ 2分 ） （ 6分 ） （ 10分 ）所 以 （ 12分 ） 24. 解 以 所 给 向 量 为 列 向 量 的 矩 阵 记 为 A （ 2分 ） 由 （ 8分 ） 知 当 a1、 0、 1时 R(A)3 此 时 向 量 组 线 性 相 关 （ 12分 ）25. 解 由 （ 7分 ） 知 R(a1 a2 a3)2 因 为 向 量 a1与 a2的 分 量 不 成 比 例 故 a1 a2线 性 无 关 所 以 a1 a2是 一 个 最 大 无 关 组 （ 12分 ） 四 、 计 算 题 4 26. 解 ： （ 3分 ） （ 6分 ） （ 9分 ） 方 程 有 解 （ 12分 ） 视 x 3为 自 由 未 知 量 ， 方 程 组 有 无 数 多 个 解 （ 即 解 不 唯 一 ）（ 15分 ） 27. 解 ： （ 3分 ） （ 6分 ） 到 此 ， ,导 出 组 基 础 解 系 含 5 2=3个 基 础 解 向 量 导 出 组 有 2 个 自 由 未 知 量 由 最 后 的 矩 阵 看 取 为 自 由 未 知 量 （ 8分 ） 写 出 同 解 方 程 组 并 把 自 由 未 知 量 移 到 等 号 右 端 （ 等 号 右 端 自 由 未 知 量 以 表 示 ） 得 ： （ 12分 ） 即 （ 15分 ） 28. 解 ： （ 3分 ） （ 5分 ） 时 方 程 组 有 解 （ 无 穷 多 解 ） 。 （ 7分 ） （ 10分 ） 得 一 般 解 ： 补 齐 用 解 向 量 形 式 表 出 为 ： （ 15分 ）29. 解 （ 第 1行 乘 -2， -5分 别 加 到 第 2， 3行 ） （ 1分 ） （ 第 2行 乘 -6加 到 第 3行 ） （ 2分 ） （ 第 2行 与 第 3行 交 换 ） （ 3分 ） （ 第 2行 乘 3加 到 第 3行 ） （ 4分 ） （ 第 3行 乘 ） （ 5分 ） （ 第 3行 乘 17加 到 第 2行 ） （ 6分 ） （ 第 2行 乘 -2加 到 第 1行 ） （ 7分 ） （ 第 3行 乘 5加 到 第 1行 ） （ 8分 ） （ 9分 ） 因 为 ， ， 且 左 上 角 化 成 了 三 阶 单 位 方 阵 ， 所 以 基 础 解 系 中 应 含 有 一个 解 向 量 （ 10分 ） 与 原 方 程 同 解 的 方 程 组 有 （ 12分 ） 即 （ 15分 ） 30. 解 对 增 广 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 有（ 3分 ） 与 所 给 方 程 组 同 解 的 方 程 为 （ 6分 ） 当 x30时 得 所 给 方 程 组 的 一 个 解 (8 13 0 2)T （ 9分 ） 与 对 应 的 齐 次 方 程 组 同 解 的 方 程 为 （ 12分 ） 当 x31时 得 对 应 的 齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系 (1 1 1 0)T （ 15分 ） 31. 解 （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） 对 应 的 特 征 向 量 ， ， （ 10分 ） 标 准 化 ， ， （ 12分 ） 正 交 变 换 阵 为 CTAC （ 15分 ）32. 解 （ 1） A的 特 征 值 是 （ 2分 ） 得 A的 正 交 相 似 的 对 角 阵 （ 4分 ） （ 2） 对 于 ， 由 得 基 础 解 系 （ 6分 ） 对 于 ， 由 得 基 础 解 系 （ 8分 ） 对 于 ， 由 得 基 础 解 系 （ 10分 ） （ 3） 由 于 属 于 A的 3个 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 它 们 必 正 交 将 其 标 准 化 ， 得 （ 12分 ） （ 4） 写 出 正 交 变 换 阵 （ 14分 ） （ 5） 有 （ 15分 ） 33. 解 二 次 型 的 矩 阵 为 由得 A的 特 征 值 为 12 25 31 （ 3分 ） 当 12时 , 解 方 程 (A2E)x0 由得 特 征 向 量 (1 0 0)T 取 p 1(1 0 0)T（ 6分 ） 当 25时 解 方 程 (A5E)x0 由得 特 征 向 量 (0 1 1)T 取 （ 9分 ） 当 31时 解 方 程 (AE)x0 由 得 特 征 向 量 (0 1 1)T 取 （ 12分 ） 于 是 有 正 交 矩 阵 T(p1 p2 p3)和 正 交 变 换 xTy 使 f2y125y22y32（ 15分 ） 34. 解 二 次 型 矩 阵 为 由 （ 3分 ） 得 A的 特 征 值 为 11 23 341 当 11时 可 得 单 位 特 征 向 量 （ 6分 ） 当 23时 可 得 单 位 特 征 向 量 （ 9分 ） 当 341时 可 得 线 性 无 关 的 单 位 特 征 向 量 （ 12分 ） 于 是 有 正 交 矩 阵 T( p1 p2 p3 p4)和 正 交 变 换 xTy 使 fy123y22y32y42（ 15分 ） 35. 解 :将 所 给 矩 阵 记 为 A 由 (1)(4)(2) 得 矩 阵 A的 特 征 值 为 12 21 34 （ 3分 ） 对 于 12 解 方 程 (A2E)x0 即 得 特 征 向 量 (1 2 2)T 单 位 化 得 （ 6分 ） 对 于 21, 解 方 程 (AE)x0 即 得 特 征 向 量 (2 1 2)T 单 位 化 得 （ 9分 ） 对 于 34, 解 方 程 (A4E)x0 即 得 特 征 向 量 (2 2 1)T 单 位 化 得 （ 12分 ） 于 是 有 正 交 阵 P(p1 p2 p3) 使 P1APdiag(2 1 4) （ 15分 ） 五 、 计 算 题 5 （ 略 ）