资源描述
1 1.3.1 在度量空间中求证 ； 为了子集 A 是列紧的 ， 其充分 且必要条件是对 0 存在 A 的列紧的 网 证明 必要性显然 ,只证充分性 . 0, 设 N 是 A 的列紧的 2 网; N 0 是 N 的有限 2 网 , 则有 x A, N, x, 2 N, x N 0 , , x 2 x, x x, , x 2 2 . N 0 是 A 的有限 网. 1.3.2 给定距离空间 X, ,设 M X 是紧集 ,求证 M 上连续函数必有界 ,亦达到它的上 ,下确界 . 证明 fx 0 fx n k , sup xM fx fx 0, x M, fx x n , 1 n fx n fx 0 fx n k fx 0 . 注 紧集条件不可少 . 例 0, 1 上考虑 x n t, x n t t n , fx 0 1 x 2 tdt ft n 0 1 t 2n dt 1 2n1 inf n1 ft n 0, 0 0, 1. 1.3.3 在度量空间中求证 ： 完全有界的集合是有界的 , 并且通 过考虑 2 的子集 2 e k k1 , e k k 0, 0, ,1,0, 来说明一个集合可以是有界但不完全有界 . 证 设 M 是完全有界集 , 那么 0 , M 的 有限的 网 . 特别对 1 , 设 N x 1 , x 2 , , x n , 则有 M k1 n Bx k ,1 . 于是 x M , 设 a 为空间 X 的一个固定元 . 我们有 x, a x, x k x k , a 1 max 1kn x k , a, 即 M 是有界的 . 下面说明 e k k1 有界但不完全有界 . 首先 , 对 k , 2 e k , 1 , 其中 0, 0, ,0,. 由此可见 e k k1 有界 . 再注意到 e i e j i 0, 0, ,1,0, j 0, 0, ,1,0, j i 0, 0, ,1,0, 1, j i. e i , e j k1 e i k e j k 2 1 2 2 j i. 由此可见 , e k k1 与其任意子列都不收敛 , 从而 e k k1 不是列紧的 , 根据 Hausdorff定理 , 也就不完全有界 . 1.3.4 设 X, 是度量空间 ， F 1 ， F 2 是它的两个紧子 3 集， 求证 x 1 F 1 , x 2 F 2 , 使得 F 1 , F 2 x 1 , x 2 , 其中 F 1 , F 2 def inf xF 1 ,yF 2 x, y. 证明 记 d F 1 , F 2 , x F 1 , y F 2 . n N, x n F 1 , y n F 2 , d x n , y n d 1 n 设 x n k x 1 F 1 , 相应的 y n k F 2 , 序列 y n k 未必收敛 , 但因为 F 2 紧 , 存在它们的子序列 y n k j 收敛 ,设 y n k j x 2 F 2 , 即有 d x n k j , y n k j d 1 n k j j d x 1 , x 2 . 1.3.5 设 M 是 Ca, b 中的有界集 ,求证集合 M Fx a x ftdt | f M 是列紧集 . 证 : 设 E Fx a x ftdt | f M , f M, |ft| M 0 t a, b |Fx| a x ftdt a b |ft|dt M 0 b a F E. 即 E 一致有界 . |Fx 2 Fx 1 | x 1 x 2 ftdt x 1 x 2 |ft|dt M 0 |x 2 x 1 | 0, M 0 , 4 |x 2 x 1 | |Fx 2 Fx 1 | F E. 即 E 等度连续 . 1.3.5 设 M 是 Ca, b 中的有界集 ,求证集合 M Fx a x ftdt | f M 是列紧集 . 证 : 设 E Fx a x ftdt | f M , f M, |ft| M 0 t a, b |Fx| a x ftdt a b |ft|dt M 0 b a F E. 即 E 一致有界 . |Fx 2 Fx 1 | x 1 x 2 ftdt x 1 x 2 |ft|dt M 0 |x 2 x 1 | 0, M 0 , |x 2 x 1 | |Fx 2 Fx 1 | F E. 即 E 等度连续 . 1.3.6 求证 sin nt n1 在 C0, 中不是列紧的 . 证 : 只要证 sin nt n1 非等度连续 . 对 0 1, 0, 取 k N, 使得 1 k , n k 2k, t k 4k 0, , t 0 0, |t k 0| 4k 1 k , |sin n k t k sin n k 0| sin 2 1 0 . 由此可见 , sin nt n1 非等度连续 . 1.3.7 空间 S中集合 A 的列紧性条件 . A 在S中 是列紧的 ，当 且仅当 ， 对于任何 n , C n 0 , 使得对 1 , 2 , , n , A, 的点的第 n 个坐标的 5 数集是有界的 ，即 | n | C n n 1, 2, . 证 必要性 . 因为 A 在 S 中是列紧的 , 任意一个无穷点 列 m A 可以取 出收敛子序列 m k . 因为 S 中的收敛与按坐标收敛等价 , 所以点列 m 中的每一 个点 ( 固定 m ) 的坐标序列 n m n 1, 2, 也可以从其任意无穷子集中取出收敛子 序列 , 而坐标序列构成数集 ， 要从其任意无穷子集中取出收 敛子序列显然应该要求它们有界 . 为了证明充 分性 , 根据习题 1.3.1, 只要构造 A 的列紧的 网 , 0 , 取定一个 n 充分大 , 使得 1 2 n , 考虑形如 h n n 1 , 2 , , n ,0,0, 的 点的集合 H , 其中 1 , 2 , , n , n1 , A . 因 为 x, h n kn1 1 2 k | k | 1 | k | kn1 1 2 k 1 2 n . 所以 H 是 A 的 网. 再证 H 是在 S 中列紧的 . 事实上 , 可以将 H 看做 是元素为 1 , 2 , , n 的 n 维空间中的子集 , 由假设 | k | C k k 1, 2, n , 即每个坐标都是有界的 , 所 以 H 可看做是 n 维空间中的有界集 . 从而是列紧的 . 1.3.8 设 X, 是距离空间 , M 是 X 中的列紧集 ,若映射 T : X M 满足 Tx, Ty x, y x, y X, x y, 求证 T 在 X 上存在唯一的不动点 . 证记 d infx, fx | x M, 6 证明 先证 存在 x 0 M, 使得 x 0 , fx 0 d. 这从下确界的定义出发 , n , xn M, 使得 d x n , fx n d 1 n , 又因为 M 列紧 ， 故存在 x n k x 0 , 将上面不等式中的 n 改为 n k , 即 d x n k , fx n k d 1 n k , 并令 k . 再证 d 0. 用反证法 如果 d 0, 则有 d fx 0 , ffx 0 x 0 , fx 0 d ， 矛盾 1.3.9 设 M, 是一个紧距离空间 ,又 E CM , E 中函数一致有界并满足下列 : |xt 1 xt 2 | ct 1 , t 2 x E, t 1 , t 2 M ,其中 0 1, c 0 ,求 证 E 在 CM 中是列紧集 .证 0, 取 C 1 , 当 t 1 , t 2 时, |xt 1 xt 2 | Ct 1 , t 2 注 . 所以 E 是等度连 续的 . 注 Ct 1 , t 2 t 1 , t 2 C t 1 , t 2 C 1 1 1.4.1 在 R 2 中， z a, b ，令 z 1 |a|b|;z 2 a 2 b 2 ; z 3 max|a|, |b| ; z 4 a 4 b 4 1 2 . (1) 求证 i , i 1, 2, 3, 4 都是 R 2 上范数 ； (2) 画出 R 2 , i i 1, 2, 3, 4 各空间中的单位球面图形 ； (3) 取 O 0, 0, A 1, 0, B 0, 1 ， 试在上述四种不 同范数下求出 OAB 三边的长度 . |AB| 1 |1 0| |0 1| 2. |AB| 2 2 . |AB| 3 max|1 0|, |0 1| 1. |AB| 4 2 1 4 . 1.4.2 C0, 1 表示 0, 1 上连续且有界的函数 xt 全体 对 x C0, 1 ，令 x sup 0t1 |xt|. 求证 ： (1) 是 C0, 1 空间上的范数 ； (2) l 与 C0, 1 的一个子空间是等距同构的 解 x C0, 1, x x1, x 1 2 , , x 1 n , l 2 x sup n1 |x 1 n | x. 反之 , 1 , 2 , , n , l , 将点列 1, 1 , 1 2 , 2 , , 1 n , n , 用折线连接起来 , 得到一个函数 x t C0, 1. x sup n1 | n | . x x x x. 11 2 1 3 1 n ( ) 1 1, 2 1 , 2 1 , n n 注 折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定 . a b ( ) xa ( ) xb ( ) xt t x t x a b x b a x b x a b a | x t | | x a | b x b a | x b | x a b a ma x | x a | , | x b | . 3 1.4.3 在 C 1 a, b 中令 x 1 a b |xt| 2 |x t| 2 dt 1 2 x C 1 a, b (1) 求证 1 是 C 1 a, b 上的范数 ;(2) 问 C 1 a, b, 1 是否完备 ？ 考虑 C 1 0, 1 中的函数列 : f n x x 2 1 n 2 1 x 1 可以验证 f n x 1 按范数 1 是基本列 . 但是 f n x |x| C 1 0, 1. f n x x x 2 1 n 2 , m n f m x f n x 2 2 0 1 x 2 1 m 2 x 2 1 n 2 2 x 2 1 x 2 1 m 2 1 x 2 1 n 2 2 dx I 1 I 2 I 1 2 1 n 2 1 m 2 2 0 1 1 x 2 1 m 2 x 2 1 n 2 2 dx 2 n 2 0 n . I 2 2 0 1 x 2 1 x 2 1 m 2 1 x 2 1 n 2 2 dx 2 0 1 x 2 x 2 1 n 2 x 2 1 m 2 2 x 2 1 m 2 x 2 1 n 2 dx 4 2 n 4 0 1 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx 0 1 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx 0 1 n 1 n 1 0 1 n 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx n 3 1 n 1 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx 1 n 1 dx 2 n 2 2 1 n 1 1 n n 3 n 3 I 2 2 n 0 n . 但是 f n x |x| C 1 0, 1. 1.4.4 在 C0, 1 中， 对每个 x C0, 1 令 x 1 0 1 |xt| 2 dt 1 2 ; x 2 0 1 1 t|xt| 2 dt 1 2 , 求证 1 和 2 是 C0, 1 中两个等价范数 . 证明 显然 x 1 x 2 . x 2 2 0 1 1 t|xt| 2 dt 0 1 |xt| 2 dt 0 1 t |xt| 2 dt 2 0 1 |xt| 2 dt 2x 1 2 x 2 2 x 1 . 1.4.5 设 BC0, 表示 0, 上连续且有界的函数 fx 全体 ， 对于每个 f BC0, 及 a 0, 定义 f a 0 e ax |fx| 2 dx 1 2 . (1)求证 a 是 BC0, 上的范数 (2)若 a, b 0, a b 5 求证 a , b 作为 BC0, 上的范数是不等价的 证明 不妨假设 b a 0, 显然有 f b f a , 由 此可见 ,为了证明 不等价性 , 只要证不存在 c 0, 使得 f a cf b f BC0, . 只需证 f n BC0, , 使得 f n a 2 f n b 2 . g n x def e ax ,0 x n e ax n 1 x, n x n 1 0, x n 1 f n x def g n x f a 2 0 n e ax e ax dx n, f b 2 0 e bx e ax dx 0 e bax dx 1 ba f n a 2 f n b 2 n ba . 1.4.6 设 X 1 , X 2 是两个线性赋范空间 ， 定义 X X 1 X 2 x 1 , x 2 | x 1 X 1 , x 2 X 2 称 为 X 1 与 X 2 的 Decard笛卡尔空间 . 规定线性运算如下 ： x 1 , x 2 y 1 , y 2 x 1 y 1 , x 2 y 2 6 , K, x 1 , y 1 X 1 , x 2 , y 2 X 2 ， 并赋以范数 x 1 , x 2 maxx 1 1 , x 2 2 其中 1 和 2 分别是 X 1 和 X 2 的范数 ， 求证 ： 如果 X 1 , X 2 是B 空间 ， 那末 X 也是 B空间 . 证明 设 x n 是 X 中的基本列 .则 x n x m 0 n, m x 1 n x 1 m 1 0 n, m x 2 n x 2 m 2 0 n, m 因为 X 1 是 B 空间 ,所以 x 1 X 1 使得 x 1 n x 1 ; 又因为 X 2 是 B 空间所以 x 2 X 2 使得 x 2 n x 2 . x def x 1 , x 2 . 下证 x n x. 事实上 , 0, N 使得 x n x m 2 n, m N x 1 n x 1 m 1 2 n, m N x 2 n x 2 m 2 2 n, m N m x 1 n x 1 1 2 n N x 2 n x 2 2 2 n N x n x max x 1 n x 1 1 , x 2 n x 2 2 2 n N. 1.4.7 设 X 是 B 空间 ,求证 ： X 是 B 空间 ， 必须且仅须 对 7 x n X, n1 x n n1 x n 收敛 . 证 由 m mp x n m mp x n 显然 . 设 x n 是基本列 , 由 1.2.2 只要 x n 存在一 串收敛子列 . 事实上 , 对 k , 取 k 1 2 k , 因为 x n 是基本列 , 所以 N k , 使得 n, m N k , 有 x n x m 1 2 k , 于是 n k , n k1 n k N k , 使得 x n k x n k1 1 2 k , 取 y k x n k k 1, 2, . 改写 y k y 1 i1 k y i1 y i , 因为 i1 y i1 y i i1 1 2 k 1, 由 假设 , i1 y i1 y i 收敛 . 即 y k 收敛 , 也就是 x n k 收敛 . 即 x n 存在一串收敛子列 . 1.4.9 在 2 中,对 x x 1 , x 2 2 , 定义范数 x max |x 1 |, |x 2 |, 并设 x 0 0, 1, e 1 1, 0. 求 a 1 适合 x 0 ae 1 min 1 x 0 e 1 , 8 并问这样的 a 是否唯一 ? 请对结果作出几何解释 解 x 0 ae 1 a,1 max|a|,1 |a| |a| 1 1 |a| 1 -2 . 0 -1 . 5 -1 . 0 -0 . 5 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 0. 5 1 .0 1 .5 2 .0 a mi n a 1 x 0 ae 1 1, 最佳逼近元 ae 1 | a | 1 , 不唯一 . 2 , 非严格凸 , 如图所示 , x y xy 2 1. x y 2 xy + 1 . 4 . 1 1 设 X 是线性赋范空间 ， 函数 : x 1 称为 凸的 ， 如果不等式 x 1 x x 1 x 成立 . 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法 . 设 x 0 是局部极小点 , 则 x 1 U x 0 x 1 x 0 . 如果 x 2 X 9 使得 x 2 x 0 , 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ()()() () 10 2 000 xx1x x1 x x, + = = 于是 f 0 |f 0 |., 即 |Tf| |f 0 |. 1 2.1.1 求证 ： ( ) ,TXYL 的充要 条件是 T 为线性算子并将 X 中 的有界集映为 Y 中的有界集 .证 明 必要性显然 . 下证充分性 . 1x 是 X 中的有界集 , 依题 意, 0,M 使得 ( ) ,1.Tx M x x于是对 ,xX ,x 有 , x x TM 即 .Tx M x 而对于 ,x = Tx M x 自然成立 , 从而 ( ).Tx M x x X 即知 ( ),.TXYL 2.1.2设 ( ) ,AXYL ， 求证 2 (1) 1 sup ; x AAx = (2) 1 sup . x AA = 证明 (1) 一方面 , 11 sup sup ; xx Ax Ax A = = 另一方面 , 1 1 sup sup sup AxAx x x xxx x AA = * 因为左边分母 1,x 到右边 放大为 1, 所以分式变小了 . ( 2 ) 一方面 ,由 ( 1 ) 1 1 su p su p . x x AA x A x 3 () () x1 x Ax 1 A 1 1supAx =+ + + ( ) x1 x1 AsupAx 1 supAx, = = + 上式令 0 即得 x1 x1 A sup Ax sup Ax . = = 证 (1) ( ) ( ) 11 1 sup sup sup ; xx x fx fx fx f = = = () () () ( ) () () 1 11 | sup sup xx yx fx sgnfx fx f x fy fx = = = = = ( ) ( ) 11 sup sup xx ffxfx = = (2) 先证明 ( ) 1 sup . x ffx = 一方面 , 1, ,xx 4 () ( ) () (1) 1 sup . x x y fx xf x fy xf f = = = ,x = ( ) 0.ff = ( ) 1 sup . x fx f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 x fx f + =+ + ( ) 1 su p x fx ( ) ( ) 1 su p 1 x ff x = = + ( ) 1 su p x fx f ( ) 1 su p x fx 故 ( ) 1 su p . x ff x = 今从 ( ) 1 su p x ff x = 5 推出 ( ) ( ) 1 sup sup . x y ffxfy ( ) ( ) () 1 0 1 0 y t dt 2 y t dt yt d t 2 ! 又 x1 , ( ) () () 0 11 00 f f x yt d t 2 f yt d t . 9 2.1.5 () ( ) 1 1 fx f fx fx x = 1 . f d 0, 0 0,x 使得 ( ) () 0 0 00 1 , fx x fxf f 注意到 () ( ) 0 0 1, x fx f = 故有 1 . f d 于是 1 1 1 , f f f d d d = 即 1 . d f = 证明 1 0, x , 使得 ( ) 1 1 fx x f 两边取倒数 , 并乘以 f 10 () 1 1 fx ff x f, 取 1 f + = 便有 () 1 1 x f x f1 .+ 再令 () 1 1 x 0 f x xf . = 2 . 1 . 7 证 ( 1 ) 显然 ( 2 ) 举一个反例 () 12 1 X, , , , | , nn n # # # $ = % 2 ( ) 0 ,1 X XU 中的开单位球 . 下面证明 ( ) ( ),1 ,1 .UB = ( ) () ,1 1 1 ,1 xB x x x xxU = ( ) ( ),1 ,1BU 反之 , ( ) ,1 1 ,xU x xx ， 使得 2 |( , )| , .Ax x m x x H 求证 1 ()AH L . 证明 由条件 , ,xH 2 |( , )|m x Ax x x Ax Ax m x 所以 A 是单射 . 4 ( )( ) ? ,xRA 0 = 2 |( , )| ,Ax x m x x = 故有 ( ) ( ) ? .RA = 所以 ( )RA 是稠的 . 设 n y 是 ( )RA 中的基本列 , 并设 nn Ax y= , 则由 n Ax m x x 是基 本列 . ( ) 00 . nnn x xH yAx AxRA= ( )RA 是闭的 . ( ) ( )RA RA= H= 即 A 是满射 . 所以根据 Banach定理 , 1 ().AH L 2.3.4 设 ,XY 是线性赋范空间 ， 5 D 是 X 的线性子空间 ， :ADY 是线性映射 . 求证 : (1) 如果 A 连续 ， D 是闭集 ，则 A 是闭算子 ; (2) 如果 A 是连续且是闭算子 ，则 Y 完备蕴含 D 闭; (3) 如果 A 是一一的闭算子 ，则 1 A 也是闭算子 ; (4) 如果 X 完备 ， A 是一一的闭 算子 ， ()RA 在 Y 中稠密 ， 并且 1 A 连续 ， 那末 ()RA Y= . (1) 如果 A连续且 D是闭的 ，则 A 闭算子 ； 设 ( ), , nn n xDA x x Ax y ( ) , DxDA Ayx = 6 A 闭算子 (2) 如果 A 连续 ，又 Y 完 备 , 那么根据定理 2.3.12 (B.L.T), A 能一地延拓到 D 上成为连续线性算子 ,| , D AA A = .AA = 本题 还有一个条件 A 是闭算子 , 下面证明 D 闭 . 设 ,. nn xD x x 则有 , nn Ax A x Ax= 于是因为 A 是闭算子 , 所以 , nn n xD x x Ax A x 7 ,xD 且 Ax = .Ax (3) 如果 A是单射的闭算子 ，则 1 A 也是闭算子 . 设 ( ) ( ) 1 , nnnn nn nn yRA y y xDA x x xAy x yAx y = = 因为 A 是闭算子 , 所以 ( ) ,xDA yAx= ( ),yRA 1 .xAy = i.e. 1 A 是闭算子 . (4) 如果 X 完备 ，A 是单射的闭 算子 , ()RA 在 Y 中稠密 , 并且 1 A 连续 ， 那末 ( ) Y.RA= A 是单射的闭算子 (3) 1 A 也是闭算子 . 8 1 1 XA A (2) ( ) 1 ()RA DA = 闭. 最后 . Y( ) () () () Y. RA RA RA RA = 2.3.5 用等价范数定理证明 1 (0,1, )C 不是 Banach空间 ，其 中 1 0 |()| 0,1fftdtfC= ! . 证明 用反证法 . 假如 ( ) 1 0, 1 ,C 是B 空间 , ( ) ( ) ( 1 0 01 01 ma x . ma x , tt ff t f t d t f t = ! 9 是比 1 强的范数 , 用等 价范数定理 , 与 1 等价 , 即 0,M s.t. 1 fMf 即 ( ) ( ) 1 0 01 max t ft M ftdt ! ( ) 0,1 .fC 令 () ( ) () 1 1 2 1 10 1 0 1 M M M Mt t ft M t = = 矛盾 . 2.3.6 Gelfand引理 . 设 X 是 Banach空间 ， 1 :pX R 满足 (1) () 0px x X ; (2) () () 0,px px xX = ; (3) 10 1 21212 ()()(),px x px px x x X+ + ; (4) 当 n xx 时， () () n px px . 求证 : 0M ， 使得 ()px M x x X . 证明 令 () 1 1 sup , x xx px $ = =+ 1 x 是 X 上的完备范数 ,然 后用等价范数定理 . 所给的条件 (4), 有两处发挥作用 . 其一是证明 ( ) 0:p = ( ) ( ) ( 11 000 0, 0 lim lim 0 nn nn xppxpx % % i xx pex px ( = () ()() i ye x ii i px pe e x pey ( ( ( = = = () 1 1 sup y i y pe y ( = = ( ) ( ) 11 sup sup . i xx px pex ( = ( ) ( ) 1 00 0, 0 lim n n xppx % kk nn qq ii kk k ee ( ( = = = * 另一方面 , () () () () 1 1 1 1 , pn qpq q p nn k k fx f x f f( = = -.-. = /0/0 1212 * 11 111 pqnnn q qq kkk k ff( ( = -.-. = /0/0 1212 * 且 . q f( 18 又 Hlder , . qp q fx x x f( (= 联合 . q q q f f f ( ( ( = 2.3.9 证 1 , k x )= 令 1 ,; kk k fx () % = = * 1 , n nkk k fx () = = * ( ) ( ) 11 L, n f + = k 且 lim n% ,. n fx fx= 由习题 2.3.7, ( ) 1 .f + 下面证明 . k ( % = 19 设 1 e 0, 0,1,0,0, , k k $ = 则 ( ) e. kk f( = () e1 ee , k kk k k ff f( = = = = 且 .f( % 又 11 11 1 , s up s up su p nn nk k k k k kn kn kk nk kn fx x f () ( ) ( ( = % * 由习题 2 . 3 . 7 , lim n n ff ( % % 1 . su p . k k f f f ( ( ( % % % = 20 2.3.10 用 Gelfand引理证明共鸣定 理. ()sup AW px Ax $ = ( )px Mx Ax Mx ( ).AM AW 2.3.11 设 ,XY 是 Banach空间 ， (,)AXYL 是满射 . 求证如果在 Y 中 0n yy ，则 0c 与 0n xx 使 nn Ax y= ，且 nn xcy . 证明 设 ( ) | 0,NA x Ax=X 考 虑映 射 :A X ( )NA ,Y x X ( ),NA ,Ax Ax= .xx 证明 A 21 单射 、 满射 .再由 2,Ax Ax A x A x 33 = Y Y 推出 A 有界 .由 Banach 逆算 子定理 ， ()( ) 1 L, .ANA YX 不妨假 设 0 0,y = 0, n y 记 1 , nn xAy =45 67 11 . nn n xAyAy = 45 67 于是 , 取 , nn xx45 67 使得 2, nn xx 45 67 便有 , nn xC y 其中 1 2. CA = 22 0 , n y n x 3 且 nn xx Ax A x 3 45 67 3 = 45 67 定义 , nn yAx 3 则有 , nn xCy 3 1 2.CA = 设 0 , n yy ( 2 ) ( ) 0 NT = ， () RT 在 Y 中 闭的充分必要条件是 0a ，使 28 ()xaTx xDT (3) ()RT 在 Y 中闭的充分必要 条件是 0a ， ( )( , ) ( ( ).dxNT a T x DT 其中 (, )dxC 表示 x 到 X 的子 集 C 的距离 . 证明 (1) ( ) 00 nn nn xxxNT Txxx = ()0.Tx x N T = 即得 ( )NT 闭 (2) ( ) ( )RT 是 B 空间 , ( ) ( ):TDT RT 单射 、 满射 , 由逆算子定理知 29 ( )( ) 1 ,.TRT XL 0,( s.t. ( )( ) 1 .Ty y yRT( 于 是 x X , 令 ,yTx= 即有 .xT x ( ( )8 ( ) n RT y y ( ) , n xD T s . t . , nn yT x y= 由所给的不等式 , nm n m xx T x T x x( X , s . t . . n xx 于是 () . T n n xx yT x y R T Tx y = 即证得 ( )RT 闭. 30 (3) 注意到 ( )NTX 是B 空间 . 考虑 :T X ( )NT Y . ( ) ( ) ( ) |,DT x NT x DT= X .Tx Tx= 显然 ( ) ,NT = ( ) ( ).RT RT= 如果 T 是闭算子 , 用 (2)的结果 , 即得结论 . 下面证明 T 是闭算子 . 就看 31 ( ) n n DT x x Tx y 45 67 45 67 ( ) ,xDT .yTx= 9 () 0 , 2 nn n nn xDT xx xx Tx T x y 45 67 = 45 67 T ( ),xDT yTx 32 ( )RT 闭 ( ) RT: 闭 ( T 单射 ) (2) 0,(: s.t. 0 ,xTx( 即 ( )( ),.dxNT Tx( 2.3.13 设 (,)axy 是 Hilbert空间 H 上的一个共轭双线性形式 ， 满足 (1) 0M ， 使得 |(,)|axy M x y ; (2) 0 ， 使得 2 |(,)| .axy x 求证 : fH + ， ! f yH ， 使得 (, ) () , f axy fx x H= 33 而且 f y 连续依赖于 f . 证明 根据 Lax-Milgram 定理 2.3.17, 必存在唯一的有连续逆的 连续线性算子 ( ),AHL s.t. ( ) ( ),.axy xAy= 又根据 Riesz 表示定理 , 对 ,fH + 1 , f zH 使得 ( ) ( ) , f fx xz= 对 此 , f z 求解方程 ( ) ( 1 1,. fff fff Ay z y A z f x x z x Ay a x y = = = 再证所产生的 f y 是唯一的 . 设 ( ) ( ) , , f fx axy x H 3 = 则有 ( ) ( ) ( ) 0, , , , f fff axy axy axy y 33 = = 34 ,.xH 取 ff xy y 3 = , 便有 ( ) (2) 2 0, . f fff ff ff ayyyy yy yy 33 33 = = 2.3.14 设 ; 是 2 R 中边界光滑 的有界开区域 , 1 :( ;R 有界 可测并满足 0 0,( ( ) 2 .fL; 规定 ( ) ( ) (,.auv u v uvdxdy uv H( ; = + ! ( ) ( )( ) 2 .Fv fvdxdy v L ; = ; ! 求证 ； ( ) 1 | uH ; 满足 ( ) ( ) ,.auv Fv= 35 证 设 .M ( ( 注意到 22 2 1 uu u=+ 以及 C a u c h y - S c h w a r z 不等式 , 有 ( ) ( ) ( ), ,au v u v M u v u v M u v ( + + ( ) 11 1 1 11 1u vM u v M u v ( += + ( )( ) 1 ,. uv H; 由此可见 2 . 3 . 1 3 题的条件 ( 1 ) 满足 . 再验证 2 . 3 . 1 3 题的条件 ( 2 ) . 36 ( ) ( ) 22 2 00 ,min1,auu u u dxdy u( ; + ! ( )( ) 1 .uH; 又 ( ) 22 2 1 . LL L F v fvdxdy f v f v ; = ! () ( ) 1 FH + ; 用 2.3.13 题的结论 , 1 u ( ) 1 ,H ; s.t. ( ) ( ),a uv F v= ( )( ) 1 .vH; 1 2.4.1 (1) 在齐次性中 , 取 ,x = 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) () 22 2 0. pppp p = = = (2) ( ) ( ) ( ) ( ) () () 0 p px x px p x px px = + (3) 令 00 ,Xx = ( ) ( ) ( ) ( ) 00000 0 fx f x fx px = () ( ) () () 11 00 0 0 0 0 .fx f x px px = 0 ,xX 是否有 ( ) ( ) 0 fx px ? 即 ( ) ( ) 1 00 0 R, fx px ? 0 显然是正确的 . 当 0 ( ) lim n n ptx tx = ( )li m . n n tx t p x = ( ) ( )li m nn n px y x y += + ( ) ( )lim li m . nn nn xy p x p y += + 2 . 4 . 3 令 ( ) ( ) () () 1 00 0 0 0 0 1 00 , . Xx f x f x px p x = = = = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 00000 0 |fx f x fx px = ( ) ( ) 0 px px = 于是根据 Hahn-banach 定理 2.4.2, ( ) 1 ,fx X s.t. (1) ( ) ( ) ( ) 1 fx px xX (2) ( ) ( ) ( ) 10 0 fx fx xX= 再令 ( ) ( ) () 1 0 , fx px fx= 即有 (1) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () 10 00 0 00 0 1; fx fx px px px px fx = (2) ( ) ( ) () ( ) () 1 00 fx px px px fx= 即得结论 . 2.4.4 证 ( ) XX LX,K, n x = XX, .,. nn n n xx xffx = 4 () () sup , sup , sup X . nn nn n n xf fx fx f = = ， 求证 : 为 了存在 fX ， 满足 fM ， () , 1,2, jj fx c j n= ， 必须且仅 须对 12 , n K , 有 11 | . nn j jjj jj cM x = ( ) 6 若满足所说条件的 Xf 存在 , 则 () 11 1 nn n kk k k kk kk k Cfxfx = = = ! 11 . nn kk kk fxMx = 若所说的不等式成立 ，设 ,1, n Ex= span 1 , n kk k xxE = = 定义 () 0 1 , n kk k fx C = = 特别是 ( ) 0 , kk fx C= 并由充分性 假设 , 7 () 0 0 1 n kk k fx C Mx f M xE = = 再根据 Hahn-Banach 定理 , X,f 使得 ( ) ( ) 0 0 , . fx fx x E ffM = # = $ 2.4.7 设 12 , n xx x 是线性赋范 空间 X 中线性无关元 ， 求证 12 , n ff f X ， 使得 () , 1,2,. ij ij fx ij n%= 求证 1 () = , 但 1 () = 时 , ( )A.# ( ) 2 1, 2 n 1 n xxx,x,x, l = ( ) 2n1n y Ax x , ,x ,x , , = 即 ( ) ( ) ( ) 23 k1 12 k Ax x,Ax x, ,Ax x , + = = 2222 nn n2 n1 Ax x x x A 1. =
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