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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设函数具有2阶导数，则在区间上 （ ）(A) 当时，(B) 当时，(C) 当时，(D) 当时，(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ） (A)(B)(C)(D)(5) 设函数，若，则 （ ） (A)(B)(C)(D)(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7) 行列式 （ ）(A) (B) (C) (D) (8) 设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) _.(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 _.(11) 设是由方程确定的函数，则_.(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是_.(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标_.(14) 设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围为_.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限(16)(本题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域计算.(18)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.(19)(本题满分10分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).(20)(本题满分11分) 设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(本题满分11分)已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(本题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(本题满分11分) 证明阶矩阵与相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由定义 所以，故.当时，是比的高阶无穷小，所以，即. 故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】关于C选项：.，所以存在斜渐近线.故选C(3) 设函数具有2阶导数，则在区间上 （ ）(A) 当时，(B) 当时，(C) 当时，(D) 当时，【答案】D【解析】令，则,.若，则，在上为凸的. 又，所以当时，从而. 故选D.(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】故选C(5) 设函数，若，则 （ ）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因为，所以 故选D.(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得【答案】A【解析】记则,所以在内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列 .(8) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】. 记，. 若线性无关，则，故线性无关. 举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关. 综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件. 故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) _.【答案】【解析】(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 _.【答案】1【解析】且为偶函数则又且为奇函数，故又的周期为4，(11) 设是由方程确定的函数，则_.【答案】【解析】对方程两边同时对求偏导当时,故故(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是_.【答案】【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，于是对应于切线斜率 所以切线方程为即(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标_.【答案】【解析】质心横坐标(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_.【答案】【解析】配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限【解析】.(16)(本题满分10分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【解析】 由，得 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 由得 又由可得 当时，且有：所以在处取得极小值，在处取得极大值即：的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域计算.【解析】D关于对称，满足轮换对称性，则：(18)(本题满分10分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.【解析】由，由 ，代入得，即，令得特征方程 得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解则原方程通解为由，得, 则.(19)(本题满分10分) 设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（I）,（II）.【解析】（I）由积分中值定理，（II）直接由，得到（II）令由（I）知 又由于单增，所以单调不减，取，得，即（II）成立.(20)(本题满分11分) 设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.【解析】(21)(本题满分11分) 已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为,所以其中为待定函数.又因为则，从而.令可得，当时，或，从而所求的体积为(22)(本题满分11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.【解析】 , (I)的基础解系为(II)的通解为的通解为的通解为（为任意常数）(23)(本题满分11分) 证明阶矩阵与相似.【解析】已知，则的特征值为，(重).属于的特征向量为；，故基础解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.由相似关系的传递性，相似于. 16
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