《整式的乘除与因式分解》易错题.docx

整式的乘除因式分解易错题分析整式的乘除例1、（a）3（a）2（a5）=（）A、a10B、a10C、a30D、a30考点：同底数幂的乘法。分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可解答：解：（a）3（a）2（a5）=（a3）a2（a5）=a3+2+5=a10故选A点评：本题主要利用同底数幂的乘法的性质求解，符号的运算是容易出错的地方例2、已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的大小关系是（）A、abcB、acbC、abcD、bca考点：幂的乘方与积的乘方。分析：先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的的乘方，底数不变，指数相乘化简然后根据指数的大小即可比较大小解答：解：a=813=（34）31=3124b=2741=（33）41=3123；c=961=（32）61=3122则abc故选A点评：变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便例3、下列四个算式中正确的算式有（）（a4）4=a4+4=a8；（b2）22=b222=b8；（x）32=（x）6=x6；（y2）3=y6A、0个B、1个C、2个D、3个考点：幂的乘方与积的乘方。分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘的性质计算即可（am）n=amn解答：解：应为（a4）4=a44=a16，故不对；（b2）22=b222=b8，正确；（x）32=（x）6=x6，正确；应为（y2）3=y6，故不对所以两项正确故选C点评：本题考查了幂的乘方的运算法则应注意运算过程中的符号例4、（2004宿迁）下列计算正确的是（）A、x2+2x2=3x4B、a3（2a2）=2a5C、（2x2）3=6x6D、3a（b）2=3ab2考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。分析：把四个式子展开，比较计算结果即可解答：解：A、应为x2+2x2=3x2；B、a3（2a2）=2a5，正确；C、应为（2x2）3=8x6；D、应为3a（b）2=3ab2故选B点评：本题考查了合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式的乘法的法则，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错例5、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A、3B、3C、0D、1考点：多项式乘多项式。分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值解答：解：（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又乘积中不含x的一次项，3+m=0，解得m=3故选A点评：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键例6、计算x5x3x2=x10考点：同底数幂的乘法。分析：根据同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答：解：x5x3x2=x5+3+2=x10点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键例7、计算：（a3）2+a5的结果是a6+a5考点：幂的乘方与积的乘方。分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可解答：解：（a3）2+a5=a32+a5=a6+a5点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意不是同类项的不能合并例8、已知a3n=4，则a6n=16考点：幂的乘方与积的乘方。分析：运用幂的乘方的逆运算，把a6n转化为（a3n）2，再把a3n=4，整体代入求值解答：解：a3n=4，a6n=（a3n）2=42=16点评：本题考查幂的乘方的性质，灵活运用幂的乘方（an）m=amn进行计算例9、已知：2x=4y+1，27y=3x1，则xy=3考点：幂的乘方与积的乘方。分析：在同底数幂的运算中，当底数相等且结果相等时，其幂也相等本题利用此知识点，借助底数幂的运算法则，进行运算，得到结果解答：解：2x=4y+12x=2（2y+2）x=2y+2 又27x=3x133y=3x13y=x1解组成的方程组得xy=3点评：本题主要考查幂的乘方的性质的逆用：amn=（am）n（a0，m，n为正整数）例10、计算：（1）（2ab）（b+2a）（3a+b）2=5a26ab2b2；（2）=3；（3）简便方法计算：（0.25）200942010=4考点：单项式乘单项式。分析：（1）首先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式的乘法和平方，再计算整式的加减运算；（2）首先运用负整数指数幂、零指数幂的意义计算乘方，再进行加减运算；（3）首先将42010改写成420094，然后逆用积的乘方的运算性质，计算（0.25）200942009，即可得出结果解答：解：（1）原式=4a2b2（9a2+6ab+b2）=4a2b29a26abb2=5a26ab2b2；（2）原式=41=3；（3）原式=（0.25）2009420094=（0.254）20094=14=4点评：本题主要考查了整式及有理数的混合运算首先确定运算顺序，然后根据运算法则计算乘法公式使用例1、x2+ax+144是完全平方式，那么a=（）A、12B、24C、12D、24考点：完全平方式。分析：先根据平方项确定出这两个数是x和12，再根据完全平方式：（ab）2=a22ab+b2表示出乘积二倍项，然后求解即可解答：解：两平方项是x2和144，这两个数是x与12，ax=212x，解得a=24故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式此题解题的关键是利用平方项确定出这两个数例2、下列计算中：x（2x2x+1）=2x3x2+1；（a+b）2=a2+b2；（x4）2=x24x+16；（5a1）（5a1）=25a21；（ab）2=a2+2ab+b2，正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：平方差公式；完全平方公式。分析：根据单项式乘多项式，应用单项式去乘多项式的每一项；完全平方公式展开应是三项；（a+b）（ab）=a2b2；按照相应的方法计算即可解答：解：应为x（2x2x+1）=2x3x2+x，故不对；应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故不对；应为（x4）2=x28x+16，故不对；应为（5a1）（5a1）=125a2，故不对；（ab）2=a2+2ab+b2，正确故选A点评：此题主要考查了整式乘法，平方差公式及完全平方公式的运用例3、计算（ab）（a+b）（a2+b2）（a4b4）的结果是（）A、a8+2a4b4+b8B、a82a4b4+b8C、a8+b8D、a8b8考点：平方差公式；完全平方公式。分析：这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数相乘时符合平方差公式得到a2b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4b4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算解答：解：（ab）（a+b）（a2+b2）（a4b4），=（a2b2）（a2+b2）（a4b4），=（a4b4）2，=a82a4b4+b8故选B点评：本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解例4已知x+y=4，且xy=10，则2xy=42考点：完全平方公式。专题：计算题。分析：把原题中两个式子平方后相减，即可求出xy的值解答：解：x+y=4，且xy=10（x+y）2=16，（xy）2=100即x2+2xy+y2=16 ，x22xy+y2=100 得：4xy=84所以2xy=42点评：本题主要考查完全平方公式两公式的联系，两公式相减即可消去平方项，得到乘积二倍项，熟记公式结构是解题的关键解得k=1例5、已知ab=3，a2b2=9，则a=3，b=0考点：平方差公式。分析：先根据ab=3和a2b2=9，利用平方差公式求出a+b=3，再联立方程组，解方程组即可解答：解：a2b2=（a+b）（ab）=9，a+b=3，联立方程组，解得：a=3，b=0点评：本题考查了平方差公式，主要是对平方差公式的灵活应用，也考查了对二元一次方程组的解法因式分解例1.a-6a+9错解： a-6a+9 = a-23a+3=（a+3）分析：完全平方公式括号里的符号根据2倍多项式的符号来定正解：a-6a+9 = a-23a+3=（a-3）例2. 4m+n-4mn错解：4m+n-4mn =(2m+n) 分析：要先将位置调换，才能再利用完全平方公式正解：4m+n-4mn =4m-4mn+n =（2m）-22mn+n =（2m-n）例3.（a+2b）-10（a+2b）+25错解：（a+2b）-10（a+2b）+25 =（a+2b）-10（a+2b）+5 = (a+2b+5)分析：要把a+2b看成一个整体，再运用完全平方公式正解：（a+2b）-10（a+2b）+25 =（a+2b）-25（a+2b）+5 =（a+2b-5）例4.2x-32错解：2x-32 =2(x-16)分析：要先提取2，在运用平方差公式括号里能继续分解的要继续分解正解：2x-32 =2（x -16） =2（x+4）（x-4） =2（x+4）（x+2）（x-2）例5.（x-x）-（x-1）错解：（x-x）-（x-1） =（x-x）+（x-1） （x-x）-（x-1） =（x-x+x-1）（x-x-x-1） =（x-1）（x-2x-1）分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解正解：（x-x）-（x-1） =（x-x）+（x-1）（x-x）-（x-1） =（x-x+x-1）（x-x-x-1） =（x-1）（x-2x+1） =（x+1）（x-1）例6. -2ab+ab+ab错解：-2ab+ab+ab =-ab(-2ab+b+a) =-ab(a-b) 分析：先提公因式才能再用完全平方公式正解：-2ab+ab+ab=-（2ab-ab-ab） =-（ab2ab-abb-aba） =-ab（2ab-b-a） =ab（b+a-2ab） =ab（a-b）例7.24a（a-b）-18 （a-b）错解：24a（a-b）-18 （a-b） =（a-b）24a-18(a-b) =（a-b）(24a-18a+18b)分析：把a-b看做一个整体再继续分解正解： 24a（a-b）-18 a-b） = 6（a-b）4a-6（a-b）3（a-b） = 6（a-b）4a-3（a-b） =6（a-b）（4a-3a+3b） =6（a-b）（a+3b）例8.（x-1）（x-3）+1错解：（x-1）（x-3）+1= x+4x+3+1= x+4x+4=（x+2）分析：无法直接分解时，可先乘开再分解正解：（x-1）（x-3）+1 = x-4x+3+1 = x-4x+4 =（x-2）例9.2（a-b）+8（b-a）错解：2（a-b）+8（b-a） =2(b-a) +8（b-a） = 2(b-a) (b-a) +4 分析：要先找出公因式再进行因式分解正解： 2（a-b）+8（b-a） = 2（a-b）-8（a-b）= 2（a-b）（a-b）-2（a-b） = 2（a-b）（a-b）-4 = 2（a-b）（a-b+2）(a-b-2)例10. （x+y）-4（x+y-1）错解： （x+y）-4（x+y-1）=（x+y）-(4x-4y+4) =(x+2xy+y)-(4x-4y+4)分析：无法直接分解时，要仔细观察，找出特点，再进行分解正解： （x+y）-4（x+y-1） =（x+y）-4（x+y）+4 =（x+y-2）1.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能( )A.被8整除 B.被m整除C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除思路解析:因为(4m+5)2-9=(4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),所以(4m+5)2-9都能被8整除.答案:A2.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是( )A.m=1,n=3 B.m=1,n=-3C.m=-1,n=3 D.m=-1,n=-3思路解析:m2+n2+2m-6n+10=(m+1)2+(n-3)2=0,所以m=-1,n=3.答案:C3.已知正方形的面积是9x2+6xy+y2(x0,y0),则该正方形的边长为_.思路解析:把9x2+6xy+y2分解因式可得9x2+6xy+y2=(3x+y)2.答案:3x+y4.若x2+mx+n是一个完全平方式,则m,n的关系是_.思路解析:若x2+mx+n是一个完全平方式,则常数项n等于一次项系数m的一半的平方.答案:m2=4n5.已知a-2=b+c,则代数式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)的值是_.思路解析:因为a-2=b+c,所以a-b-c=2,所以原式=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=(a-b-c)2=4.答案:46.已知x,y满足x2+4xy+4y2-x-2y+=0,则x+2y的值为_.思路解析:x2+4xy+4y2-x-2y+=(x+2y)2-(x+2y)+=(x+2y-)2,由非负数性质可得x+2y=.答案:7.当x_取时,多项式x2+4x+6取得最小值是_.思路解析:因为x2+4x+6=(x+2)2+2,且(x+2)20,所以当x=-2时,(x+2)2+2有最小值为2.答案:-2 214.观察下列各式x2-1=(x-1)(x+1),x3-1=(x-1)(x2+x+1),x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1),根据前面各式的规律可猜想xn+1-1=_.思路解析:观察特点,找出其内在的规律.答案:(x-1)(xn+xn-1+x+1)8.利用分解因式求值.(1)已知x+y=1,xy=-,利用因式分解求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值;(2)已知a+b=2,ab=2,求a3b+a2b2+ab3的值(3)(m2-m)2+(m2-m)+.思路分析:对于(1),可将x(x+y)(x-y)-x(x+y)2提取公因式x(x+y);对于(2),先提取公因式ab,再运用公式法分解.解:(1)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)(x-y)-(x+y)=-2xy(x+y)=1;(2)原式=ab(a+b)2=4. (3)(m2-m)2+(m2-m)+=(m-)49.利用分解因式计算.(1)1915; (2).思路分析:对于(1),可提取公因式;对于(2),可对分子、分母采取分步分解的方法进行化简计算.解:(1)1915=(19+15)=-26;(2)10.n为整数,试说明(n+5)2-(n-1)2的值一定能被12整除.思路分析:要证明(n+5)2-(n-1)2的值能被12整除,只要将此式分解因式,使12成为其中的一个因式即可.解:(n+5)2-(n-1)2=(n+5)+(n-1)(n+5)-(n-1)=(2n+4)6=2(n+2)6=12(n+2),因为n为整数,所以n+2也为整数,故12(n+2)能被12整除,即(n+5)2-(n-1)2的值一定能被12整除.11.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x-1)(x-9),而乙同学因看错了常数项而将其分解为2(x-2)(x-4),请你将此二次三项式进行正确的因式分解.思路分析:解答此类问题的基本思路是“将错就错”,找出在错误的答案下,依然正确的条件,运用整式乘法与因式分解的关系进行求解.解:2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,因为甲同学看错了一次项系数,但没有看错常数项,乙同学看错了常数项但没有看错一次项系数,所以原多项式为2x2-12x+18.分解因式得2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.