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材 料 物 理 性 能 习 题 与 解 答 吴 其 胜 盐 城 工 学 院 材 料 工 程 学 院 2007， 3 目 录 1 材 料 的 力 学 性 能2 材 料 的 热 学 性 能 3 材 料 的 光 学 性 能4 材 料 的 电 导 性 能 5 材 料 的 磁 学 性 能6 材 料 的 功 能 转 换 性 能 拉 伸 前 后 圆 杆 相 关 参 数 表 体 积 V/mm3 直 径 d/mm 圆 面 积 S/mm2 拉 伸 前 1227.2 2.5 4.909 拉 伸 后 1227.2 2.4 4.524 1 材 料 的 力 学 性 能 1-1一 圆 杆 的 直 径 为 2.5 mm、 长 度 为 25cm并 受 到 4500N的 轴 向 拉 力 ， 若 直 径 拉 细 至 2.4mm， 且 拉 伸 变 形 后 圆 杆 的 体 积 不 变 ,求 在 此 拉 力 下 的 真 应 力 、 真 应 变 、 名 义 应 力 和 名 义 应 变 ， 并 比 较 讨 论 这 些 计 算 结 果 。 解 ： 根 据 题 意 可 得 下 表 由 计 算 结 果 可 知 ： 真 应 力 大 于 名 义 应 力 ， 真 应 变 小 于 名 义 应 变 。 1-2一 试 样 长 40cm,宽 10cm,厚 1cm， 受 到 应 力 为 1000N拉 力 ， 其 杨 氏 模 量 为 3.5 109 N/m2， 能 伸 长 多 少 厘 米 ? 1 cm1 0 cm 4 0 cm Lo adLo ad 解 ： 1-3一 材 料 在 室 温 时 的 杨 氏 模 量 为 3.5 108 N/m2,泊 松 比 为 0.35， 计 算 其 剪 切 模 量 和 体 积 模 量 。 解 ： 根 据 可 知 ： 1-4试 证 明 应 力 -应 变 曲 线 下 的 面 积 正 比 于 拉 伸 试 样 所 做 的 功 。 证 ： 1-5一 陶 瓷 含 体 积 百 分 比 为 95%的 Al2O3 (E = 380 GPa)和 5%的 玻 璃 相 (E = 84 GPa)， 试 计 算 其 上 限 和 下 限 弹 性 模 量 。 若 该 陶 瓷 含 有 5 %的 气 孔 ， 再 估 算 其 上 限 和 下 限 弹 性 模 量 。 解 ： 令 E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。 则 有 当 该 陶 瓷 含 有 5%的 气 孔 时 ， 将 P=0.05代 入 经 验 计 算 公 式 E=E0(1- 1.9P+0.9P2)可 得 ， 其 上 、 下 限 弹 性 模 量 分 别 变 为 331.3 GPa和 293.1 GPa。 1-6试 分 别 画 出 应 力 松 弛 和 应 变 蠕 变 与 时 间 的 关 系 示 意 图 ， 并 算 出 t = 0,t = 和 t = 时 的 纵 坐 标 表 达 式 。 解 ： Maxwell模 型 可 以 较 好 地 模 拟 应 力 松 弛 过 程 ： Vo ig t模 型 可 以 较 好 地 模 拟 应 变 蠕 变 过 程 ： 以 上 两 种 模 型 所 描 述 的 是 最 简 单 的 情 况 ， 事 实 上 由 于 材 料 力 学 性 能 的 复 杂 性 ， 我 们 会 用 到 用 多 个 弹 簧 和 多 个 黏 壶 通 过 串 并 联 组 合 而 成 的 复 杂 模 型 。 如 采 用 四 元 件 模 型 来 表 示 线 性 高 聚 物 的 蠕 变 过 程 等 。 1-7试 述 温 度 和 外 力 作 用 频 率 对 聚 合 物 力 学 损 耗 角 正 切 的 影 响 并 画 出 相 应 的 温 度 谱 和 频 率 谱 。 解 ： （ 详 见 书 本 ） 。 1-8一 试 样 受 到 拉 应 力 为 1.0 103 N/m2,10秒 种 后 试 样 长 度 为 原 始 长 度 的 1.15倍 ,移 去 外 力 后 试 样 的 长 度 为 原 始 长 度 的 1.10倍 ,若 可 用 单 一 Maxwell模 型 来 描 述 ,求 其 松 弛 时 间 值 。 解 ： 根 据 Maxwell模 型 有 ： 可 恢 复 不 可 恢 复 依 题 意 得 ： 所 以 松 弛 时 间 = /E=1.0 105/2 104=5(s). 1-9一 非 晶 高 聚 物 的 蠕 变 行 为 可 用 一 个 Maxwell模 型 和 一 个 Voigt模 型 串 联 描 述 ， 若 t=0时 施 以 拉 伸 应 力 为 1.0 104 N/m2至 10小 时 ,应 变 为 0.05,移 去 应 力 后 的 回 复 应 变 可 描 述 为 ,t为 小 时 ， 请 估 算 该 力 学 模 型 的 四 个 参 数 值 。 解 ： 据 题 即 求 如 图 E1,E2, 2和 3四 参 数 。 如 图 所 示 有 3 ,3 2 ,2 E2 ,2 E1 ,1 其 中 1 立 即 回 复 ， 2 逐 渐 回 复 ， 3 不 能 回 复 。 Voigt的 回 复 方 程 为 ： ， 这 里 t为 从 回 复 时 算 起 ， 而 题 目 的 t为 从 开 始 拉 伸 时 算 起 ， 所 以 此 题 的 回 复 方 程 为 ： 排 除 立 即 恢 复 后 的 应 变 ， 应 变 的 回 复 方 程 就 可 写 成 1-10当 取 Tg为 参 考 温 度 时 log中 的 C1=17.44,C2=51.6， 求 以 Tg+50 为 参 考 温 度 时 WLF方 程 中 的 常 数 C1和 C2。 5 10 20 30 40 50 60 250 500 950 1250 1470 1565 1690 70 80 90 100 120 150 1660 1500 1400 1380 1380(断 ) 解 ： F N 6053 3 mm 1-11一 圆 柱 形 Al2O3晶 体 受 轴 向 拉 力 F， 若 其 临 界 抗 剪 强 度 f为 135 MPa,求 沿 图 中 所 示 之 方 向 的 滑 移 系 统 产 生 滑 移 时 需 要 的 最 小 拉 力 值 ， 并 求 滑 移 面 的 法 向 应 力 。 解 ： 1-12拉 伸 某 试 样 得 到 如 下 表 的 数 据 ,试 作 曲 线 图 ,并 估 算 杨 氏 模 量 、 屈 服 应 力 和 屈 服 时 的 伸 长 率 以 及 抗 张 强 度 。 屈 服 点 扬 氏 模 量 ,由 图 中 未 达 屈 服 点 时 线 段 的 斜 率 可 求 出 。 （ 图 中 可 以 读 出 ） ， 屈 服 时 伸 长 率 即 为 屈 服 点 的 应 变 ， 断 裂 时 对 应 的 即 是 抗 张 强 度 。 1-13氦 原 子 的 动 能 是 E=kT(式 中 波 尔 兹 曼 常 数 k=1.38x10-23 J/K)， 求 T = 1 K时 氦 原 子 的 物 质 波 的 波 长 。 解 ： 1-14利 用 Sommerfeld的 量 子 化 条 件 ， 求 一 维 谐 振 子 的 能 量 。 解 ： 1-15波 函 数 的 几 率 流 密 度 ， 取 球 面 坐 标 时 ， 算 符 ， 求 定 态 波 函 数 的 几 率 流 密 度 。 解 ： 1-16一 粒 子 在 一 维 势 阱 中 运 动 ， 势 阱 为 求 束 缚 态 (0 a,b 而 3 ) 薄 圆 板 体 : b =ac 5 -4 何 谓 轨 道 角 动 量 猝 灭 现 象 ? 由 于 晶 体 场 导 致 简 并 能 级 分 裂 ,可 能 出 现 最 低 轨 道 能 级 单 态 .当 单 态 是 最 低 能 级 轨 道 时 ,总 轨 道 角 动 量 的 绝 对 值 L2 虽 然 保 持 不 变 ,但 轨 道 角 动量 的 分 量 L z不 再 是 常 量 . 当 Lz的 平 均 值 为 0 ,即 时 ,称 其 为 轨 道 角 动 量 猝灭 . 5 -5 推 导 居 里 -外 斯 定 律 ,说 明 磁 化 率 与 温 度 的 关 系 0证 明 : 铁 磁 体 中 作 用 于 本 征 磁 矩 的 有 效 磁 感 应 场 其 中 M为 磁 化 强 度 ,则 为 内 场 ,顺 磁 体 磁 化 强 度 表 达 式 : 把 B 0 用 Beff代 替 ,则 得 到 铁 磁 体 磁 化 强 度 :.(1 ) 当 TTc时 ,自 发 磁 化 强 度 消 失 ,只 有 在 外 磁 场 B0 作 用 下 产 生 磁 化 强 度 当 TT c时 ,可 令 ,则 (1 )式 变 为 :.(2 ) 又 代 入 (2 )式有 解 得 令 则 得 当 T时 ,为 铁 磁 性当 T T c 时 ,为 顺 磁 性 5 -6 自 发 磁 化 的 物 理 本 质 是 什 么 ?材 料 具 有 铁 磁 性 的 充 要 条 件 是 什 么 ?答 : 铁 磁 体 自 发 磁 化 的 本 质 是 电 子 间 的 静 电 交 换 相 互 作 用 材 料 具 有 铁 磁 性 的 充 要 条 件 为 :1 ) 必 要 条 件 :材 料 原 子 中 具 有 未 充 满 的 电 子 壳 层 ,即 原 子 磁 矩 2 ) 充 分 条 件 :交 换 积 分 A 0 5 -7 超 交 换 作 用 有 哪 些 类 型 ? 为 什 么 A-B型 的 作 用 最 强 ? 答 : 具 有 三 种 超 交 换 类 型 : A-A, B-B和 A-B因 为 金 属 分 布 在 A位 和 B位 ,且 A位 和 B位 上 的 离 子 磁 矩 取 向 是 反 平 行 排 列 的 .超 交 换 作 用 的 强 弱 取 决 于 两 个 主 要 的 因 素 : 1 )两 离 子 之 间 的 距 离 以 及 金 属 离 子 之 间 通 过 氧 离 子 所 组 成 的 键 角 i 2 ) 金 属 离 子 3 d 电 子 数 目 及 轨 道 组 态 . A-B型 1 =1 2 5 9 ; 2 =1 5 0 3 4 A-A型 3 =7 9 3 8 B-B型 4 =9 0 ; 5 =1 2 5 2 因 为 i越 大 ,超 交 换 作 用 就 越 强 ,所 以 A-B型 的 交 换 作 用 最 强 . -8 论 述 各 类 磁 性 -T的 相 互 关 系1 ) 抗 磁 性 . 与 温 度 无 关 , Tc时 显 顺 磁 性 3 ) 反 铁 磁 性 :当 温 度 达 到 某 个 临 界 值 T N以 上 ,服 从 居 里 -外 斯 定 律4) 铁 磁 性 : f0 , T0时 ,电 子 自 旋 不 平 行 ,则 会 引 起 系 统 交 换 能 的 增 加 , Fex 0 ,只 有 当 不 考 虑 自 旋 轨 道 耦 合 时 ,交 换 能 Fex 是 各 向 同 性 的 . 磁 晶 各 向 异 性 能 Fx ,是 饱 和 磁 化 强 度 矢 量 在 铁 磁 材 料 中 取 不 同 方 向 时 随 时 间 而 改 变 的 能 量 ,仅 与 磁 化 强 度 矢 量 在 晶 体 中 的 相 对 晶 轴 的取 向 有 关 磁 晶 各 向 异 性 来 源 于 电 子 自 旋 与 轨 道 的 相 互 耦 合 作 用 以 及 晶 体 电场 效 应 .这 种 原 子 或 离 子 的 自 旋 与 轨 道 的 耦 合 作 用 ,会 导 致 铁 磁 体 的 长 度 和 体 积 的 大 小 发 生 变 化 ,出 现 所 谓 的 磁 致 伸 缩铁 磁 体 在 受 到 应 力 作 用 时 会 发 生 相 应 的 应 变 ,从 而 引 起 磁 弹 性 能 F ,包 括 由 于 自 发 形 变 而 引 起 的 磁 应 力 能 ,包 括 外 加 应 力 和 内 应 力 铁 磁 体 在 外 磁 场 中 具 有 位 能 成 为 外 磁 场 能 FH,外 磁 场 能 是 铁 磁 体 磁 化 的 动 力有 限 尺 寸 的 铁 磁 体 材 料 ,受 到 外 加 磁 场 H的 变 化 ,会 在 两 端 面 上 分 别 出 现 正 负 磁 荷 ,从 而 产 生 减 弱 外 磁 场 的 磁 场 Hd,均 匀 磁 化 材 料 的 退 磁 场 能 Fd为 : 5-10用 能 量 的 观 点 说 明 铁 磁 体 内 形 成 磁 畴 的 原 因 答 :根 据 热 力 学 定 律 ,稳 定 的 磁 状 态 一 定 是 对 应 于 铁 磁 材 料 内 总 自 由 能 极小 值 的 状 态 .磁 畴 的 形 成 和 稳 定 的 结 构 状 态 ,也 是 对 应 于 满 足 总 的 自 由 能 为 极 小 值 的 条 件 .对 于 铁 材 料 来 说 ， 分 成 磁 畴 后 比 分 成 磁 畴 前 能 量 缩 小 ,故 铁 磁 材 料 自 发 磁 化 后 必 然 分 成 小 区 域 的 磁 畴 ,使 总 自 由 能 为 最 低 ,从 而 满 足 能 量 最 低 原 理 .可 见 ,退 磁 场 能 是 形 成 磁 畴 的 原 因 5-11 设 立 方 晶 体 铁 磁 材 料 的 ， 计 算 其 单 畴 的 临 界 尺 寸 。解 ： 单 位 面 积 的 畴 壁 能 量 S为 自 旋 量 子 数 =1 磁 畴 宽 度 L=10-2m5-12设 铁 磁 材 料 的 内 应 力 分 布 为 ， 试 计 算 弱 磁 场 下 材 料 的 磁 导 率 。 解 ： 此 题 通 过 内 应 力 分 布 为 ， 可 见 为 90 畴 壁 位 移 ， 其 为 位 移 磁 方 程为 ， 当 外 磁 场 变 化 ， 畴 壁 位 移 平 衡 时此 时 沿 外 磁 场 方 向 上 磁 矩 将 增 加 为 单 位 体 积 90 畴 壁 的 面 积 ） 设 磁 畴 宽 度 ,在 单 位 体 积 内 将 有 2 /D个 畴 和 畴 壁 数 目 ,因 而 单 位 体 积内 畴 壁 面 积 应 为 将 (2 )(3 )代 入 (1 ),可 得 : 5 -1 3 . 证 明 复 数 磁 导 率 中 ， 证 明 : 用 单 弛 豫 来 描 述 ,磁 场 为 交 变 磁 场 强 度 作 用 下 磁 感 应 强 度 为 由 所 以 为 半 圆 形 5 -1 4 . 比 较 静 态 磁 化 与 动 态 磁 化 的 特 点 材 料 受 磁 场 作 用 磁 滞 回 归 线 包围 面 积 磁 损 耗 静 态 磁 化 静 态 磁 场 大 静 态 磁 滞损 耗 动 态 磁 化 动 态 磁 场 小 磁 滞 损耗 ， 涡 流 损 耗 ， 剩余 损 耗 5 -1 5 讨 论 动 态 磁 化 过 程 中 ， 磁 损 耗 与 频 率 的 关 系 。 1 ） 低 频 区 域 （ f 1 0 1 0 Hz） 对 应 为 自 然 交 换 共 振 区 域 。 6 材 料 的 功 能 转 换 性 能 6 -1 金 红 石 （ TiO2 ） 的 介 电 常 数 是 1 0 0 ， 求 气 孔 率 为 1 0 %的 一 块 金 红 石 陶 瓷 介 质 的 介 电 常 数 。 6 -2 一 块 1 cm* 4 cm* 0 .5 cm的 陶 瓷 介 质 ， 其 电 容 为 2 .4 -6 F,损 耗 因 子 tg 为 0 .0 2 。 求 ： 相 对 介 电 常 数 ； 损 耗 因 素 。 6 -3 镁 橄 榄 石 (Mg 2 SiO4 )瓷 的 组 成 为 4 5 %SiO2 ,5 %Al2 O3 和 5 0 %Mg O,在 1 4 0 0 烧 成 并 急 冷 （ 保 留 玻 璃 相 ） ， 陶 瓷 的 r=5 .4 。 由 于 Mg 2 SiO4 的 介 电 常 数 是 6 .2 ， 估 算 玻 璃 的 介 电 常 数 r。 （ 设 玻 璃 体 积 浓 度 为 Mg 2 SiO4 的 1 /2 ） 6 -4 如 果 A原 子 的 原 子 半 径 为 B的 两 倍 ， 那 么 在 其 它 条 件 都 是 相 同 的 情 况 下 ， 原 子 A的 电 子 极 化 率 大 约 是 B的 多 少 倍 ？ 6 -5 为 什 么 碳 化 硅 的 电 容 光 焕 发 率 与 其 折 射 率 的 平 方 n 2 相 等