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第二章 2-1试证明图 P2-1中周期性信号可以展开为（图略） 4 ( 1) n cos(2n 1) t s(t) 2n 1 n 0 证明：因为 所以 s( t) s(t) 2 kt 2 kt s(t) c k cos ck cos ck cos kt T 0 2 k 0 k 0 k 0 1 s(t)dt 0 c 0 0 1 1 1 4 sin k2 k 1 1 s(t)cosk tdt (ck )cosk tdt 1 cosk tdt 2 2 1 1 1 2 2 0, k 2n 4 (2n 1)( 1) n k 2n 1 所以 4 ( 1) n 2n 1 s(t) cos(2n 1) t n 0 2-2设一个信号 s(t)可以表示成 s(t) 2cos(2 t ) t 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能 量谱密度。 解：功率信号。 2 s ( f ) cos(2 t )e j2 ft dt 2 sin ( f 1) j e sin ( f 1) ( f 1)e j 2 ( f 1) P( f ) lim 1 s2 sin 2 ( f 1) sin ( f 1) 2 sin ( f 1) sin ( f 1) cos22 lim 4 2 ( f 1) 2( f 1) ( f 1)( f 1)2 2 2 2 2 2 由公式 sin 2 xt (x) sin xt (x) x lim 和 lim tx 2 t t 有 P( f ) ( f 1) ( f 1) 4 4 1 ( f 1) ( f 1) 4 或者 P( f ) 1 ( f f0) ( f f0) 4 2-3设有一信号如下： 2exp( t) t 0 t 0 x(t) 0 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解： dx 4 e 2tdt x(t) 2 2 0 是能量信号。 x(t)e j2 ft dt S( f ) 2 e (1 j2 f )t dt 0 2 1 j2 f 2 2 4 G( f ) 1 j2 f 1 4 f 2 2 2-4试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质： （ 1） ( f ) cos 2 f 2 （ 2） a ( f a) （ 3） exp(a f ) 解： 功率谱密度 P( f )满足条件： P( f )df为有限值 （ 3）满足功率谱密度条件，（ 1）和（ 2）不满 足。 2-5试求出 s(t) Acos t的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为 1 A2 T 2 R( ) lim cos t cos (t ) T T T 2 A cos2 2 P R(0) 1 A 2 2 2-6设信号 s(t)的傅里叶变换为 S( f ) sin f f，试求此信号的自相关函数 Rs( )。 解： Rs( ) P( f )e j2 fdf sin 2 f e j2 f df 2 2 f 1 , 1 1 2-7已知一信号 s(t)的自相关函数为 Rs( ) k e k ， k为常数 2 （ 1）试求其功率谱密度 Ps( f )和功率 P； （ 2）试画出 Rs( )和 Ps( f )的曲线。 解：（ 1） Ps( f ) Rs( )e j2 f d k d k 0 e (k j2 f ) e (k j2 f ) d2 2 0 k 2 k 2 4 2 2 f 2 k P f 2df k 2 4 2 k 2 （ 2）略 2-8已知一信号 s(t)的自相关函数是以 2为周期的周期函数： R( ) 1 ， 1 1 试求功率谱密度 Ps( f )，并画出其曲线。 解： R( )的傅立叶变换为，（画图略） 1 T 2 R( )e j2 f d T T 2 1 (1 )e j2 f d sin 2 f 1 2 1 2 f 2 sinc f 2 P( f ) sinc f ( f nf0) 2 f ( f n) sinc sinc 2 T f ( f n) 2 2 2-9已知一信号 s(t)的双边功率谱密度为 P( f ) 10 4 f 2, 10kHz f 10kHz 0 其他 试求其平均功率。 解： P P( f )df 104 10 4 f df 2 104 2 10 8 3
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