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第四章题4-1：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以K()为参变量的闭环根轨迹。(1) (2) (3) (4) (5) (1) 根轨迹方程： a) 零点与极点：，b) 根轨迹趋向：，则极点-5，-10之间的根轨迹向右渐进c) 渐近线：d) 分离点与会合点：令即：；(舍去)根轨迹如下图：(2) 根轨迹方程：a) 零点与极点：，b) 根轨迹趋向：，见图c) 渐近线：d) 与虚轴交点：特征方程：当时，e) 出射角：根轨迹如下图：(3) 根轨迹方程：a) 零点与极点：，b) 分离点与会合点：在实轴上只有一个零点，在其右侧无根则两个极点一个趋向负无穷，一个趋向，令即：；(舍去)c) 渐近线：d) 出射角：根轨迹如下图(以(-2，0)为圆心的圆弧)：(4) 根轨迹方程：a) 零点与极点：，b) 根轨迹趋向：，见图c) 渐近线：d) 分离点与会合点：令即：(分离点)；(分离点)；(会合点)；(舍去)e) 与虚轴的交点：特征方程：令，解得，(舍去)当时，根轨迹如下图：(5) 根轨迹方程：a) 零点与极点： ， b) 根轨迹趋向：，见图c) 渐近线：d) 出射角：根轨迹如下图：题4-2：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以a为参变量的根轨迹，并讨论a的改变对系统性能产生的影响，指出系统稳定的a值范围。由特征方程得到广义根轨迹方程：a) 零点与极点：；b) 根轨迹趋向：，见图c) 渐近线：d) 分离点与会合点：令即(分离点)，(舍去)e) 与虚轴交点：由劳斯判据可以得出，当，系统临界稳定，所以当系统稳定的改变会影响闭环主导极点的、；越大在之间，越小，超调量越大，系统震荡越剧烈；同时越大，闭环主导极点距离虚轴越近，调节时间越长。根轨迹如下图：题4-3：试绘制题3-3所示系统以为参变量的根轨迹，并讨论逐渐增大时的效应。系统特征方程：根轨迹方程：零点与极点：，分离点与会合点：令(会合点)；(舍去)出射角：当逐渐增大时，首先系统由欠阻尼状态(，系统有两个共轭复数闭环极点)过渡到临界阻尼状态(，此时根轨迹到达会合点，系统有两个相等的负实数闭环极点)，这期间不变，系统的性能是由这两个共轭复数闭环极点或这两个相等的负实数闭环极点共同决定；随着继续增大，系统变为过阻尼状态()，此时系统有两个不相等的负实数闭环极点，其中一个负实数闭环极点沿着负实轴向左趋向于，另一个负实数闭环极点沿着负实轴向右趋向于原点(系统开环零点)，当足够大时，原二阶系统可近似为一个由第二个闭环极点(即沿着负实轴向右趋向于原点的负实数闭环极点)所描述的一阶系统，此时原系统的性能主要由这个近似的一阶系统决定。根轨迹如下图(以原点为圆心的圆弧)：题4-4：某负反馈控制系统的开环传递函数具有如下的形式 试判断点(-1,j2)、(-1,j3)是否在根轨迹上？如果有不在根轨迹上的点，试计算该点满足相角条件尚需的差额。根轨迹方程：零点与极点：，利用辐角条件：点(-1，j2) 在根轨迹上：符合幅角条件点(-1，j3) 不在根轨迹上：不符合幅角条件补偿方法：添加一对开环零极点，所偿角为根轨迹如下图：题4-5：已知负反馈控制系统的开环传递函数分别为(1) (2) 试绘制它们的根轨迹并确定使系统稳定的值范围。(1) 根轨迹方程：零点与极点：，渐近线：出射角：与虚轴交点： 特征方程：当时，所以；当系统的开环极点等于系统的闭环极点根轨迹如下图：(2) 根轨迹方程：零点与极点：，渐近线：出射角：与虚轴交点： 特征方程：当时，劳斯表的行为正，即根轨迹如下图：题4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为试绘制以为参变量的根轨迹，在根轨迹上确定具有二阶阻尼比为的点，并回答：(1) 所确定的点能否充当闭环主导极点？(2) 由该点确定的二阶响应性能、是多少？(3) 该点的和开环放大系数K是多少？(4) 稳态速度误差系数是多少？(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？(1) 根轨迹方程：零点与极点：, , , 渐近线：分离点与会合点：(分离点)作的阻尼线交根轨迹于，由于，则，这说明所确定的点能充当闭环主导极点实际系统根轨如下：(2) 根据闭环主导极点：(3) 该点对应的根轨迹放大倍数和开环放大倍数：(计算这个值，可代入该阻尼比的根轨迹上任意一个根，为了计算方便代)；(4) 稳态速度误差系数：(5) 系统实际指标比该点的二阶指标：超调量小(可参考教材131页)，调节时间长(对于高阶系统，超调量小未必调节时间就小)；如果要求系统有该点二阶指标的超调量，则能够通过改变阻尼线而获得；由于系统自身受非主导极点的影响，在根轨迹放大倍数不变的情况下，主导极点的根轨迹超调量比实际系统的超调量稍大一些。因此，为了获得该点更加接近实际系统的二阶特性，可适当增大阻尼比，减小超调量。由根轨迹可以看出，增大阻尼比(减小阻尼角)同时会使减小，闭环主导极点与虚轴距离变小，系统的响应变慢了，调节时间增大了。所以，对系统的某一项性能的改变，其他的性能会做反方向变化。此外，还可以通过减小根轨迹放大倍数或开环放大倍数来实现上述目的。题4-7：某负反馈控制系统的开环传递函数为试绘制以为参变量的根轨迹，并确定系统稳定的取值范围。零度根轨迹方程：零点与极点：，正实轴上存在根轨的区间渐近线：分离点与会合点：(分离点)；(会合点)与虚轴交点： 特征方程：当时，时，系统稳定根轨迹如下图：题4-8：某控制系统的单位正反馈内环前向通道的传递函数为试绘制以为参变量的内环根轨迹。内环稳定时的取值范围是多少？零度根轨迹方程：零点与极点：；渐近线：出射角：分离点与会合点：(会合点)；(舍去)；(舍去)由幅值条件：当 系统欠阻尼 系统临界阻尼 (时值) 系统过阻尼系统稳定时 系统不稳定根轨迹如下图：题4-9：已知负反馈延时控制系统的开环传递函数为试应用泰勒级数将延时因子展开成近似二阶惯性式，并绘制以为参变量的根轨迹。将泰勒级数展开为近似二阶惯性式：根轨迹方程：零点与极点：，渐近线：出射角：分离点与会合点：(分离点)与虚轴交点： 特征方程：当时，根轨迹如下图：题4-10：已知负反馈延时控制系统的开环传递函数为试绘制以a为参变量的根轨迹。系统稳定时a的取值范围是多少？根轨迹方程：零点与极点：；渐近线：分离点与会合点：(会合点)；(舍去)；(舍去)出射角：与虚轴交点： 特征方程 临界稳定的条件为：得辅助方程：系统稳定时根轨迹如下图：题4-11：已知负反馈控制系统的动态结构图题4-11图所示。试在闭环根轨迹上确定合适的K值使超调量，调节时间，并且位置稳态误差应尽可能的小。根轨迹方程为：零点与极点：；根轨迹趋向：，见图渐近线：出射角：由则，取用一个二阶系统近似原系统：做阻尼比为(阻尼角为)的阻尼线交根轨迹于由于，则，这说明所确定的点能充当闭环主导极点验证：由闭环主导极点得，满足要求根轨迹如下图：题4-12：利用MATLAB分别绘制题4-6、题4-7、题4-8、题4-10、题4-11的根轨迹，并完成对各题中所提的问题的解答和求解。 第4章主要知识点1 根轨迹的“根”是系统特征方程的根，它是由系统开环零、极点画出来的。画根轨迹首先要将系统标准开环传递函数化成零、极点传递函数，并由系统特征方程得到根轨迹方程。2 在复平面实轴上的相邻两个开环极点之间是根轨迹时，存在分离点；在复平面实轴上的相邻两个开环零点(包含无穷远)之间是根轨迹时，存在会合点。3 系统的开环极点不在复平面的实轴上时，需计算根轨迹的出射角；系统的开环零点不在复平面的实轴上时，需计算根轨迹的入射角当有多个复数极(零)点重合时，应对重合的复数极(零)点同时计算其出(入)射角。4 具有一个零点的二阶系统的根轨迹是圆或圆弧。5 一般情况下，增加开环零点可使根轨迹左移，有利于改善系统的相对稳定性和动态性能；相反地，单纯增加开环极点，则根轨迹右移，不利于系统的相对稳定性及动态性能。6 增加开环偶极子对对系统的暂态性能的影响很小，却可明显提高系统的稳态精度
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