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2013年04月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对全国2013年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考.三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力.一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版.二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，个别题目略偏.内容比较常规： 概率分数偏高，共76分；统计分数只占24分，与以往考题的分数分布情况对比，总的趋势不变，各部分分数稍有变化； 课本中各章内容都有涉及；几乎每道题都可以在课本上找到出处.个别题目略偏：与历次试题比较，本套试题有个别题目内容略偏，比如21题、25题等.难度分析：本套试题基本保持了历年试题的难度.如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大题目.当然，以上观点只是相对于历年试题而言，是在与历年试题对比中产生的看法.如果只看本套试题，应该说是一套不错的试题，只是难度没有降低.2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约38分，二维随机变量（包括数字特征）约18分，大数定律2分，统计量及其分布4分，参数估计10分，假设检验8分，回归分析2分.考点分布的柱状图如下三、试题详解一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.甲，乙两人向同一目标射击，A表示“甲命中目标”，B表示“乙命中目标”，C表示“命中目标”，则C=（）A.AB.BC.ABD.AB918160101【答案】D【解析】“命中目标”=“甲命中目标”或“乙命中目标”或“甲、乙同时命中目标”，所以可表示为“AB”，故选择D.【提示】注意事件运算的实际意义及性质：（1）事件的和：称事件“A，B至少有一个发生”为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并AB或A+B.性质：,；若，则AB=B.（2）事件的积：称事件“A，B同时发生”为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=AB或F=AB.性质：，； 若，则AB=A.（3）事件的差：称事件“A发生而事件B不发生”为事件A与B的差事件，记做AB.性质：；若，则；.（4）事件运算的性质（i）交换律：AB=BA, AB=BA；（ii）结合律：（AB）C=A（BC）, （AB）C=A（BC）；（iii）分配律： （AB）C=（AC）（BC）（AB）C=（AC）（BC）.（iv）摩根律（对偶律）,2.设A，B是随机事件，P（AB）=0.2，则P（AB）=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4918160102【答案】A【解析】，故选择A.【提示】见1题【提示】（3）.3.设随机变量X的分布函数为F（X）则（）A.F（b0）F（a0） B.F（b0）F（a） C.F（b）F（a0） D.F（b）F（a） 918160103【答案】D【解析】根据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见【提示】.【提示】1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：0F（x）1；对任意x1，x2（x1 x2），都有；F（x）是单调非减函数；，；F（x）右连续；设x为f（x）的连续点，则f（x）存在，且F（x）=f（x）.3.已知X的分布函数F（x），可以求出下列三个常用事件的概率：；，其中a0，如果二维随机变量 （X，Y）的概率密度为，则称 （X，Y）服从区域D上的均匀分布，记为（X，Y）.（2）正态分布：若二维随机变量（X，Y）的概率密度为（，），其中，都是常数，且，则称 （X，Y）服从二维正态分布，记为 （X，Y）.17.设C为常数，则C的方差D （C）=_.918160207【答案】0【解析】根据方差的性质，常数的方差为0.【提示】1.方差的性质D （c）=0，c为常数；D （aX）=a2D （X），a为常数；D （X+b）=D （X），b为常数；D （aX+b）= a2D （X），a，b为常数.2.方差的计算公式：D （X）=E （X2）E2 （X）.18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E （e-2x）= _.918160208【答案】【解析】因为随机变量X服从参数1的指数分布，则，则故填写.【提示】连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当收敛时，有19.设随机变量XB （100，0.5），则由切比雪夫不等式估计概率_.918160209【答案】【解析】由已知得，所以.【提示】切比雪夫不等式：随机变量具有有限期望和，则对任意给定的，总有或.故填写.20.设总体XN （0，4），且x1，x2，x3为来自总体X的样本，若，则常数C=_.918160210【答案】1【解析】根据x2定义得C=1，故填写1.【提示】1.应用于“小样本”的三种分布：x2分布：设随机变量X1，X2，Xn相互独立，且均服从标准正态分布，则服从自由度为n的x2分布，记为x2x2 （n）.F分布：设X，Y相互独立，分别服从自由度为m和n的x2分布，则服从自由度为m与n的F分布，记为FF （m，n），其中称m为分子自由度，n为分母自由度.t分布：设XN （0，1），Yx2 （n），且X，Y相互独立，则服从自由度为n的t分布，记为tt （n）.2.对于“大样本”，课本p134,定理6-1：设x1，x2，xn为来自总体X的样本，为样本均值，（1）若总体分布为，则的精确分布为；（2）若总体X的分布未知或非正态分布，但，则的渐近分布为.21.设x1，x2，xn为来自总体X的样本，且，为样本均值，则_.918160211【答案】【解析】课本P153，例7-14给出结论：，而，所以，故填写.【说明】本题是根据例7-14改编.因为的证明过程比较复杂，在2006年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本（也是学员朋友们使用的课本）中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本高等数学 （二）第二分册概率统计P164,例5.8.22.设总体x服从参数为的泊松分布，为未知参数，为样本均值，则的矩估计_.918160212【答案】【解析】由矩估计方法，根据：在参数为的泊松分布中，且的无偏估计为样本均值，所以填写.【提示】点估计的两种方法（1）矩法 （数字特征法）估计：A.基本思想：用样本矩作为总体矩的估计值；用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值.B.估计方法：同A.（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值.B.定义：设总体的概率函数为，其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1，x2，xn是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；若某统计量满足，则称为的极大似然估计.C.估计方法利用偏导数求极大值i）对似然函数求对数ii）对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii）解方程或方程组得即为的极大似然估计.对于似然方程 （组）无解时，利用定义：见教材p150例710；（3）间接估计：理论根据：若是的极大似然估计，则即为的极大似然估计；方法：用矩法或极大似然估计方法得到的估计，从而求出的估计值.23.设总体X服从参数为的指数分布，x1，x2，xn为来自该总体的样本.在对进行极大似然估计时，记，xn）为似然函数，则当x1，x2，xn都大于0时，xn=_.918160213【答案】【解析】已知总体服从参数为的指数分布，所以，从而，=，故填写.24.设x1，x2，xn为来自总体的样本，为样本方差.检验假设：，：，选取检验统计量，则H0成立时，x2_.918160214【答案】【解析】课本p176，8.3.1.25.在一元线性回归模型中，其中，1，2，n，且，相互独立.令，则_.918160215【答案】【解析】由一元线性回归模型中，其中，1，2，且，相互独立，得一元线性回归方程，所以，则由20题【提示】（3）得，故填写.【说明】课本p186，关于本题内容的部分讲述的不够清楚，请朋友们注意.三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求（1）甲取到黑球的概率；（2）乙取到的都是黑球的概率.【分析】本题考察“古典概型”的概率.918160301【解析】（1）设甲取到黑球的概率为p，则.（2）设乙取到的都是黑球的概率为p，则.27.某种零件直径X（单位：mm），未知.现用一种新工艺生产此种零件，随机取出16个零件、测其直径，算得样本均值，样本标准差s=0.8，问用新工艺生产的零件平均直径与以往有无显著差异？（）（附：）【分析】本题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验”类型.918160302【解析】设欲检验假设H0：，H1：，选择检验统计量，根据显著水平=0.05及n=16，查t分布表，得临界值t0.025（15）=2.1315，从而得到拒绝域，根据已知数据得统计量的观察值因为，拒绝，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异.【提示】1.假设检验的基本步骤：（1）提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真.如对总体均值检验，原假设为H0：，备择假设为下列三种情况之一：，其中i）为双侧检验，ii），iii）为单侧检验.（2）选择适当的检验统计量，满足： 必须与假设检验中待检验的“量”有关； 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.（3）求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.（4）求统计量的样本值观察值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0.2.关于课本p181，表8-4的记忆的建议：与区间估计对照分类记忆.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（1）求（X，Y）关于X，Y的边缘概率密度；（2）记Z=2X+1，求Z的概率密度.918160303【分析】本题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度.【解析】（1）由已知条件及边缘密度的定义得=，（）所以；同理可得.（2）使用“直接变换法”求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx（x）、Fz（Z），则，由分布函数Fz（Z）与概率密度的关系有由（1）知，所以=.【提示】求随机变量函数的概率密度的“直接变换法”基本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为，求Y=g（X）的概率密度解题步骤：1.；2.29.设随机变量X与Y相互独立，XN（0,3），YN（1,4）.记Z=2X+Y，求（1）E（Z），D（Z）；（2）E（XZ）；（3）PXZ.【分析】本题考察随机变量的数字特征.918160304【解析】（1）因为XN（0,3），YN（1，4），Z=2X+Y，所以E（Z）=E（2X+Y）=2E（X）+E（Y）=1D（Z）=D（2X+Y）=4D（X）+D（Y）=16（2）而随机变量与相互独立，所以 E（XZ）=6.（3）因为，所以.五、应用题（10分）30.某次考试成绩X服从正态分布（单位：分），（1）求此次考试的及格率和优秀率；（2）考试分数至少高于多少分能排名前50%？（附：）【分析】本题考察正态分布的概率问题.918160305【解析】已知XN（75，152），设ZN（0，1），为其分布函数，（1）=即本次考试的及格率为84.13%，优秀率为15.87%.（2）设考试分数至少为x分可排名前50%，即，则=，所以，即，x=75，因此，考试分数至少75分可排名前50%.四、简要总结1.关于本套试题（1）整套考题（共30题）所有题目几乎均可在课本上找到其原型在讲解中，指出了一些题目在课本上的出处.其实，每一道题几乎都可以在课本上找到出处，甚至于原题，这是历年本学科考试题目的共同特点，本套试题当然也不例外.（2）两种考查内容所有的考试，包括中考、高考及考研，试题不外乎考察两个内容：知识和能力.所谓考察知识，其实就是考查对课本内容的理解和记忆，这类题目一般难度不大；所谓考查能力的题目，一般难度就比较大了.本套试题知识型题目约占80分左右，考查能力的部分约占20分左右，其中包括分析能力，推演能力和计算能力，所以，本套试题属于难度适中的类型.2.关于复习的建议（1）认真看书，全面复习在多次串讲中，我一再强调全面复习，本套试题考察的内容再次验证了这一观点的正确性.所谓全面复习，不是仅仅指课本内容，也包括例题和部分习题，它们往往可能成为考试题目的来源.所以，今天再次强调这个观点，希望能够引起学员朋友们足够的重视.当然, 在全面复习的基础上, 也要注意重点复习.从本套试题的考点分布可以看出，前三部分占76%，后三部分占24%，与历年试题比较稍有变化，但变化不大.虽然分数分布并不平均，但是，绝不能因此而否认全面复习的重要性.事实上，概率统计考试的考点分布及所占的分数一直是比较稳定的，不同年月的试题的分数分布只有比较小的调整，试题的覆盖面始终几乎囊括课本的全部主要内容.所以，若想取得理想成绩，必须全面复习！（2）加深理解，强化记忆历年试题都以考察知识为主要内容.众所周知，所谓知识，首先是头脑中记忆的东西，其次才是记忆中的东西的运用.所以，无论从哪个角度来说，准确记忆是非常重要的.本课程的学习也不例外，准确的记忆意味着接近成功.当然，记忆的方法很多，最好的方法是在理解的基础上，总结归纳记忆.在讲解过程中针对某些题目给出“提示”，就是给大家以范例，供大家学习如何做“跨章节”的归纳总结，以便实现“归纳记忆”.3.关于选作习题（1）重视例题和习题每套试题中，几乎都有根据课本的例题和习题改编的题目，本套试题中虽然没有课本原题，但多数也是根据的习题或例题改编的题目.改编例题或选择课本的原题是一种比较稳妥的命题方式，命题人所承担的风险也比较小，因此，我再次提醒学员朋友们注意课本例题和习题，尤其计算比较麻烦（如分部积分等）的题目.（2）正确选作课外题选作课外题有新鲜感，许多朋友在应试复习时都愿意这样做.我的建议首先是，选题范围应该是历年考题的真题，一位自考的成功者说过：“把历年试题做三遍，包你通过.”这也是我多年来在“面授班”教学中一直实践的、而且比较成功的做法.至于是做整套试题还是从中选作，可以根据每个人的具体情况来确定.提醒考生，不要押题，更不要相信某些自称命中率极高的“猜题”，以免上当受骗.4.关于答卷的方法本套试题题目排列不是“从简到难”，比如，有前面的题目略难，后面的题目简单.遇到这种情况，建议考生可跳过难题.只要把比较顺手的题目均正确完成，就可以得到比较理想的分数.以上讲解仅供学员朋友们参考.祝学员朋友们学习进步，在考试中取得理想的成绩！
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