极坐标参数方程经典易错题型带答案.pdf

第 1 页，共 14 页 极坐标参数方程 一、解答题（本大题共 19小题，共 228.0分） 1. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 = =3 ，（ 为参数），直线 l的参 数方程为 = 1 =+4 ，（ t为参数） （ 1）若 a=-1，求 C与 l的交点坐标； （ 2）若 C上的点到 l距离的最大值为 17，求 a 【答案】 解：（ 1）曲线 C的参数方程为 = =3（ 为参数），化为标准方程是： 29 +y2=1； a=-1 时，直线 l的参数方程化为一般方程是： x+4y-3=0； 联立方程 2 9 + 2 = 1 + 4 3 = 0， 解得 = 0=3 或 = 2125 = 2425 ， 所以椭圆 C和直线 l的交点为（ 3， 0）和（ -2125， 2425） （ 2） l的参数方程 = 1=+4 （ t为参数）化为一般方程是： x+4y-a-4=0， 椭圆 C上的任一点 P 可以表示成 P（ 3cos， sin）， 0， 2）， 所以点 P 到直线 l的距离 d为： d=|3+44|17 =|5(+)4|17 ， 满足 tan=34，且的 d的最大值为 17 当 -a-40时，即 a-4 时， |5sin（ +） -a-4|-5-a-4|=|5+a+4|=17 解得 a=8 和 -26， a=8 符合题意 当 -a-4 0 时，即 a -4 时 |5sin（ +） -a-4|5-a-4|=|5-a-4|=17， 解得 a=-16 和 18， a=-16 符合题意 【解析】 （ 1）将曲线 C的参数方程化为标准方程，直线 l的参数方程化为一般方程， 联立两方程可以求得焦点坐标； （ 2）曲线 C上的点可以表示成 P（ 3cos， sin）， 0， 2），运用点到直线距离公 式可以表示出 P 到直线 l的距离，再结合距离最大值为 17进行分析，可以求出 a的值 本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲 线 C上的点到直线 l距离的最大值求出 a 2. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 = 2 = 2+ 2（ 为参数）以坐标 原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （ 1）写出曲线 C的极坐标方程； （ 2）设 M的极坐标为（ 2， 4），过点 M的直线 l与曲线 C相交于 A， B两点， 若 |MA|=2|MB|，求 AB的弦长 第 2 页，共 14 页 【答案】 解：（ 1） 曲线 C的参数方程为 = 2 = 2+ 2（ 为参数） 曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2-4y=0， 曲线 C的极坐标方程为 2-4sin=0， 即曲线 C的极坐标方程为 =4sin （ 2）由点 M的极坐标为（ 2， 4），设直线 l的参数方程是 = 1 + = 1 + （ 为参 数） ， 曲线 C的直角坐标方程是 x2+y2-4y=0， ， 联立，得 t2+2（ cos-sin） t-2=0， t1t2=-2，且 |MA|=2|MB|， t1=-2t2， 则 t1=2， t2=-1 或 t1=-2， t2=1， AB的弦长 |AB|=|t1-t2|=3 【解析】 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用 （ 1）由曲线 C的参数方程先求出曲线 C的直角坐标方程，由此能求出曲线 C的极坐标 方程 （ 2）先求出直线 l的参数方程，与曲线 C的直角坐标方程联立，得 t2+2（ cos-sin） t-2=0， 由此能求出 AB的弦长 3. 在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 = 5+2 = 3 +2 ，（ t为参数）， 在以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方 程为 (+4) = 2， A， B 两点的极坐标分别为 (2， 2)， (2， ) （ 1）求圆 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程； （ 2）点 P 是圆 C上任一点，求 PAB面积的最小值 【答案】 解：（ 1）由 = 5+ 2 = 3 + 2 ，化简得： + 5 = 2 3 = 2， 消去参数 t，得（ x+5） 2+（ y-3） 2=2， 圆 C的普通方程为（ x+5） 2+（ y-3） 2=2 由 cos（ +4） =-2，化简得 22 cos-22 sin=-2， 即 cos-sin=-2，即 x-y+2=0， 则直线 l的直角坐标方程为 x-y+2=0； （ ）将 A（ 2， 2）， B（ 2， ）化为直角坐标为 A（ 0， 2）， B（ -2， 0）， |AB|=(0 +2)2 + (20)2=22， 设 P 点的坐标为（ -5+2cost， 3+2sint）， P 点到直线 l的距离为 d=|5+232+2|2 =|6+2(+ 4)| 2 ， dmin= 42=22， 则 PAB面积的最小值是 S=122 22 2=4 第 3 页，共 14 页 【解析】 （ 1）由圆 C的参数方程消去 t得到圆 C的普通方程，由直线 l的极坐标方程， 利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据 x=cos， y=sin转化为直角坐标方程即可； （ 2）将 A 与 B 的极坐标化为直角坐标，并求出 |AB|的长，根据 P在圆 C上，设出 P坐 标，利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l的距离，利用余弦函数的值域确定出最 小值，即可确定出三角形 PAB面积的最小值 此题考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握参数方程与普通方程 间的转换是解本题的关键 4. 已知直线 l： = 1 +12 = 36 （ t为参数），曲线 C1： = cos = sin（ 为参数） （ 1）设 l与 C1 相交于 A， B 两点，求 |AB|； （ 2）若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 12倍，纵坐标压缩为原来的 32 倍， 得到曲线 C2，设点 P 是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 l的距离的最大值 【答案】 解：（ 1） l的普通方程 = 33 ( 1)， C1 的普通方程 x2+y2=1，联立方程组 = 3 3 ( 1) 2 + 2 = 1 ， 解得 l与 C1 的交点为 A（ 1， 0）， (12， 32 )，则 | = 3； （ 2） C2 的参数方程为 = 12 = 32 （ 为参数），故点 P 的坐标是 (12， 32 )， 从而点 P 到直线 l的距离是 | 1 2 3 21| 2 = |102 ()+1| 2 ， 由此当 sin（ -） =1 时， d取得最大值，且最大值为 104 + 12 【解析】 本题考查参数方程与普通方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解 决问题的能力，属于中档题 （ 1）设 l与 C1 相交于 A， B 两点，利用普通方程，求出 A， B 的坐标，即可求 |AB|； （ 2）点 P 的坐标是 (12， 32 )，点 P 到直线 l的距离是 | 1 2 3 21| 2 = |102 ()+1| 2 ，即可求它到直线 l的距离的最大值 5. 以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标 系中取相同的长度单位，已知曲线 C1 的参数方程为 = = ，（ 为参数，且 0， ），曲线 C2 的极坐标方程为 =-2sin （ 1）求 C1 的极坐标方程与 C2 的直角坐标方程； （ 2）若 P 是 C1 上任意一点，过点 P 的直线 l交 C2 于点 M， N，求 |PM|PN|的取 值范围 【答案】 解：（ 1）消去参数可得 x2+y2=1，因为 0， ），所以 -1x1， 0y1， 所以曲线 C1 是 x2+y2=1 在 x轴上方的部分， 第 4 页，共 14 页 所以曲线 C1 的极坐标方程为 =1（ 0） （ 2 分） 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+（ y+1） 2=1 （ 5 分） （ 2）设 P（ x0， y0），则 0y01，直线 l的倾斜角为 ， 则直线 l的参数方程为： = 0 + =0+ （ t为参数） （ 7 分） 代入 C2 的直角坐标方程得（ x0+tcos） 2+（ y0+tsin+1） 2=1， 由直线参数方程中 t的几何意义可知 |PM|PN|=|1+2y0|， 因为 0y01，所以 |PM|PN|=1， 3 （ 10 分） 【解析】 （ 1）求出 C1 的普通方程，即可求 C1 的极坐标方程，利用极坐标方程与直角 坐标方程的互化方法得出 C2 的直角坐标方程； （ 2）直线 l的参数方程为： = 0 + =0+ （ t为参数），代入 C2 的直角坐标方程得 （ x0+tcos） 2+（ y0+tsin+1） 2=1，由直线参数方程中 t的几何意义可知 |PM|PN|=|1+2y0|， 即可求 |PM|PN|的取值范围 本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题 6. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 = =+ （ 为参数） （ 1）求曲线 C的普通方程； （ 2）在以 O为极点， x正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l方程为 2(4 )+ 1 2 = 0，已知直线 l与曲线 C相交于 A、 B 两点，求 |AB| 【答案】 解：（ 1）曲线 C的参数方程为 = =+ （ 为参数） 由已知 = +2 ， = 2 ，整理得： 普通方程为 (+2 )2 + (2 )2 = 1， 化简得 x2+y2=2 （ 2）由 2sin（ 4-） +12=0， 知 ( )+ 12 = 0，化为普通方程为 x-y+12=0 圆心到直线 l的距离 h=24 ， 由垂径定理 | = 302 【解析】 （ 1）直接把参数方程转化为直角坐标方程 （ 2）首先把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离和垂径定理 求出结果 本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的 互化，点到直线的距离公式的应用，垂径定理得应用 7. 在直角坐标系 xoy中，已知点 P（ 0， 3），曲线 C的参数方程为 = 2 = 2 （ 为参数）以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程 第 5 页，共 14 页 为 = 32( 6) （ ）判断点 P 与直线 l的位置关系并说明理由； （ ）设直线 l与曲线 C的两个交点分别为 A， B，求 1|+ 1|的值 【答案】 解：（ ）点 P 在直 线 l上，理由如下： 直线 l： = 32( 6) ，即 2( 6)=3，亦即 3 + =3， 直线 l的直角坐标方程为： 3x+y=3，易知点 P 在直线 l上 （ ）由题意，可得直线 l的参数方程为 = 12 = 3 +32 （ t为参数），曲线 C的普通方 程为 24 + 22 =1 将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，得 5t2+12t-4=0， 设两根为 t1， t2， t1+t2=-125 ， t1t2=-45， |PA|+|PB|=|t1-t2|=(1+ 2)2 412=4145 ， 1|+ 1|=|+| = 414 5 |45|=14 【解析】 （ ）点 P 在直线 l上，理由如下：直线 l： = 32( 6) ，展开可得 3 + =3，可得直线 l的直角坐标方程即可验证 （ ）由题意，可得直线 l的参数方程为 = 12 = 3 +32 （ t为参数），曲线 C的普通方 程为 24 + 22 =1将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，得 5t2+12t-4=0，可得 |PA|+|PB|=|t1-t2|=(1+ 2)2 412，即可得出 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 8. 在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 = 2 + = (为参数， 0 ）， 曲线 C的参数方程为 = 2 +2=2 (为参数），以坐标原点 O为极点， x轴正半 轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求曲线 C的极坐标方程； （ 2）设 C与 l交于 M， N两点（异于原点），求 |OM|+|ON|的最大值 【答案】 解：（ 1） 曲线 C的参数方程为 = 2+2=2 (为参数）， 消去参数 ，得曲线 C的普通方程为 x2+（ y-2） 2=4， 化简得 x2+y2=4y，则 2=4sin， 所以曲线 C的极坐标方程为 =4sin （ 2） 直线 l的参数方程为 = 2+ = (为参数， 0 ）， 第 6 页，共 14 页 由直线 l的参数方程可知，直线 l必过点（ 0， 2），也就是圆 C的圆心，则 = 2， 不妨设 (1， )， (2， + 2)，其中 (0， 2)， 则 | +| = 1 + 2 = 4 +4(+ 2) = 4( +) = 42(+ 4)， 所以当 = 4， |OM|+|ON|取得最大值为 42 【解析】 本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想等 （ 1）曲线 C的参数方程消去 参数 ，得曲线 C的普通方程，由此能求出曲线 C的极坐 标方程 （ 2）由直线 l的参数方程可知，直线 l必过圆 C的圆心（ 0， 2），则 = 2，设 (1， )， (2， + 2)，则 |OM|+|ON|=42(+4)，当 = 4， |OM|+|ON|取得最大 值为 42. 9. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C1 的参数方程为 = 2=2+2 （ 为参数），曲线 C2 的 参数方程为 = 2+ 2=2 （ 为参数），以 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系 （ 1）求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程； （ 2）已知射线 l1： =（ 0 2），将射线 l1 顺时针旋转 6得到射线 l2； =-6，且 射线 l1 与曲线 C1 交于 O， P 两点，射线 l2与曲线 C2 交于 O， Q两点，求 |OP|OQ| 的最大值 【答案】 解：（ 1）曲线 C1 的参数方程为 = 2=2+2 （ 为参数）， 利用平方关系消去参数可得：曲线 C1 的普通方程为（ x-2） 2+y2=4，展开可得： x2+y2-4x=0， 利用互化公式可得： 2-4cos=0， C1 极坐标方程为 =4cos 曲线 C2 的参数方程为 = 2+ 2=2 （ 为参数），消去参数可得： 曲线 C2 的普通方程为 x2+（ y-2） 2=4， 展开利用互化公式可得 C2 极坐标方程为 =4sin （ 2）设点 P 极点坐标（ 1， 4cos），即 1=4cos 点 Q极坐标为 (2， 4( 6)，即 2 = 4( 6) 则 | | = 12 = 4 4( 6)=16 (32 12)=8(2 6)4 (0， 2)， 第 7 页，共 14 页 2 6 (6 ， 56 )， 当 2 6 = 2，即 = 3时， |OP|OQ|取最大值 4 【解析】 （ 1）曲线 C1 的参数方程为 = 2=2+2 （ 为参数），利用平方关系消去参数 可得曲线 C1 的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线 C1 极坐标方程曲线 C2 的参数方 程为 = 2 + 2=2 （ 为参数），消去参数可得：曲线 C2 的普通方程，利用互化公式 可得 C2 极坐标方程 （ 2）设点 P 极点坐标（ 1， 4cos），即 1=4cos点 Q极坐标为 (2， 4( 6)， 即 2 = 4( 6)代入 |OP|OQ|，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得 出 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、直角坐标方程与极坐标 方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10. 在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 C1 的参数方程为 = 1+ = （ t 为参数）， 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+（ y-2） 2=4以直角坐标原点 O为极点， x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，射线 l的极坐标方程为 =，（ 0 ） （ 1）求曲线 C1、 C2 的极坐标方程； （ 2）设点 A、 B 为射线 l与曲线 C1、 C2 除原点之外的交点，求 |AB|的最大值 【答案】 解（ 1）由曲线 C1 的参数方程 = 1+ = （ t为参数）消去参数 t得 x2+（ y-1） 2=1， 即 x2+y2-2y=0， 曲线 C1 的极坐标方程为 =2sin 由曲线 C2 的直角坐标方程 x2+（ y-2） 2=4，得 x2+y2-4y=0， 曲线 C2 的极坐标方程 =4sin （ 2）联立 = 2= ，得 A（ 2sin， ）， |OA|=2sin， 联立 = 4= ，得 B（ 4sin， ）， |OB|=4sin |AB|=|OB|-|OA|=2sin 0 ， 当 = 2时， |AB|有最大值 2 【解析】 （ 1）由曲线 C1 的参数方程消去参数 t得 x2+（ y-1） 2=1，由此能求出曲线 C1 的极坐标方程；由曲线 C2 的直角坐标方程转化为 x2+y2-4y=0，由此能求出曲线 C2 的极 坐标方程 （ 2）联立 = 2= ，得 A|OA|=2sin，联立 = 4= ，得 |OB|=4sin由此能求出 |AB| 的最大值 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角 坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数 与方程思想、数形结合思想，是中档题 第 8 页，共 14 页 11. 在直角坐标系 xOy中，将曲线 ： = 1+ = 1 2 （ t为参数）上每一点的横坐标保 持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到曲线 C1；以坐标原点 O为极点，以 x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2(6) = 33 （ 1）求曲线 C1 的极坐标方程； （ 2）已知点 M（ 1， 0），直线 l的极坐标方程为 = 3，它与曲线 C1 的交点为 O， P，与曲线 C2 的交点为 Q，求 MPQ的面积 【答案】 解：（ 1） 曲线 ： = 1 + = 1 2 （ t为参数）上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 2 倍，得到曲线 C1， 由题意知，曲线 C1 的参数方程为 = =1+（ t为参数）， 曲线 C1 的普通方程为（ x-1） 2+y2=1，即 x2+y2-2x=0， 曲线 C1 的极坐标方程为 2-2cos=0，即 =2cos （ 2）设点 P， Q的极坐标分别为（ 1， 1），（ 2， 2）， 则由 1 = 3 1 = 21，得 P 的极坐标为 P（ 1， 3）， 由 2 = 3 22(2 6) = 33，得 Q的极坐标为 Q（ 3， 3） 1=2， |PQ|=|1-2|=2， 又 M到直线 l的距离为 32 ， MPQ的面积 = 12 32 2 = 32 【解析】 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，是中档题，解 题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化公式的合理运用 （ 1）由题意求出曲线 C1 的参数方程，从而得到曲线 C1 的普通方程，由此能求出曲线 C1 的极坐标方程 （ 2）设点 P， Q的极坐标分别为（ 1， 1），（ 2， 2），由直线 l的极坐标方程为 = 3，它与曲 线 C1 的交点为 O， P，与曲线 C2 的交点为 Q，分别求出 P,Q的极坐标，从而求出 |PQ|=|1-2|=2，再由 M到直线 l的距离为 32 ，能求出 MPQ的面积 12. 在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =22sin（ - 4），直线 l的参数方程为 = 1 + = t为参数，直线 l和圆 C交于 A， B两点 （ ）求圆 C的直角坐标方程； （ ）设 l上一定点 M（ 0， 1），求 |MA|MB|的值 【答案】 （本小题满分 10 分） 解：（ ） 圆 C的极坐标方程为： =22sin（ -4） =22（ sincos4-cossin4） =2sin-2cos， 2=2sin-2cos， 第 9 页，共 14 页 圆 C的直角坐标方程 x2+y2=2y-2x，即（ x+1） 2+（ y-1） 2=2 （ ）直线 l的参数方程为 = 1+ = ， t为参数， 直线 l的参数方程可化为 = 22 = 1 +22 ， t 为参数， 代入（ x+1） 2+（ y-1） 2=2，得（ -22 +1） 2+（ 22 ） 2=2， 化简得： t2-2-1=0， 1 2=-1， |MA|MB|=|1 2|=1 【解析】 （ ）圆 C的极坐标方程转化为 2=2sin-2cos，由此能求出圆 C的直角坐 标方程 （ ）直线 l的参数方程化为 = 22 = 1 +22 ， t 为参数，代入（ x+1） 2+（ y-1） 2=2，得 t2-2-1=0，由此能求出 |MA|MB| 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、直角坐 标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与 方程思想，是中档题 13. 在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程 = 1 += （其中 为参数）以 O为 极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求曲线 C的极坐标方程； （ ）设直线 l极坐标方程是 sin（ +3） =2，射线 OM： = 6与圆 C的交点为 P， 与直线 l的交点为 Q，求线段 PQ的长 【答案】 解：（ ） 圆 C的参数方程 = 1 += （其中 为参数） 圆 C的普通方程为 x2+（ y-1） 2=1， 又 x=cos， y=sin， 圆 C的极坐标方程为 =2sin （ 5 分） （ ） 直线 l极坐标方程是 sin（ +3） =2， 射线 OM： = 6与圆 C的交点为 P，与直线 l的交点为 Q， 把 = 6代入圆的极坐标方程可得 P=1， 把 = 6代入直线 l极坐标方程可得 Q=2， |PQ|=|P-Q|=1 （ 10 分） 【解析】 （ ）先求出圆 C的普通方程，由此能求出圆 C的极坐标方程 （ ）把 = 6代入圆的极坐标方程可得 P=1，把 = 6代入直线 l极坐标方程可得 Q=2， 由此能求出 |PQ| 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方 第 10 页，共 14 页 程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 14. 在平面直角坐标系 xOy中曲线 C1 的参数方程为 = 2=22 （其中 t为参数）以坐标原 点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 C2 的极 坐标方程为 sin（ 4） =-22 （ 1）把曲线 C1 的方程化为普通方程， C2 的方程化为直角坐标方程； （ 2）若曲线 C1， C2 相交于 A， B 两点， AB的中点为 P，过点 P 作曲线 C2 的垂线 交曲线 C1 于 E， F 两点，求 | 【答案】 解：（ 1）曲线 C1 的参数方程为 = 2=22 （其中 t为参数）， 转换为直角坐标方程为： y2=2x 曲线 C2 的极坐标方程为 sin（ 4） =-22 转换为直角坐标方程为： x-y-1=0 （ 2）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），且中点 P（ x0， y0）， 联立方程为： 2 = 2 1 = 0 ， 整理得： x2-4x+1=0 所以： x1+x2=4， x1x2=1， 由于： 0 = 1+22 = 2， y0=1 所以线段 AB的中垂线参数方程为 = 2 22 = 1 +22 （ t为参数）， 代入 y2=2x， 得到： 2 +42 6= 0， 故： 1+ 2 = 42， t1t2=-6， 所以： EF=|t1-t2|=(1 + 2)2 412=214， |PE|PF|=|t1t2|=6 故： | = 2146 = 143 【解析】 （ 1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果 （ 2）利用（ 1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系 的应用求出结果 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能 力，属于基础题型 15. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C1 的参数方程为 = 2+ =2+ ，（ 为参数），直线 C2 的方程为 = 3，以 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程； （ 2）若直线 C2 与曲线 C1 交于 A， B 两点，求 1| + 1| 第 11 页，共 14 页 【答案】 解：（ 1）曲线 C1 的参数方程为 = 2+ =2+ （ 为参数），直角坐标方程为 （ x-2） 2+（ y-2） 2=1，即 x2+y2-4x-4y+7=0，极坐标方程为 2-4cos-4sin+7=0 直线 C2 的方程为 y=3，极坐标方程为 tan=3； （ 2）直线 C2 与曲线 C1 联立，可得 2-（ 2+23） +7=0， 设 A， B 两点对应的极径分别为 1， 2，则 1+2=2+23， 12=7， 1|+ 1|=|1+2|12| =2+237 【解析】 （ 1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论； （ 2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求 1|+ 1| 本题考查三种方程的转化方法，考查极坐标方程的运用，属于中档题 16. 设直线 l的参数方程为 = 1+ 1 2 = + 1 ，（ t为参数），若以直角坐标系 xOy的原点 O 为极点， x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C的极坐 标方程为 sin2=4cos （ ）将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线 C是什么曲线； （ ）若直线 l与曲线 C交于 A， B 两点，求 |AB| 【答案】 解：（ ）由于 sin2=4cos， 所以 2sin2=4cos，即 y2=4x， 因此曲线 C表示顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线 （ ） = 1+ 1 2 = + 1 ，化为普通方程为 y=2x-1， 代入 y2=4x， 并整理得 4x2-8x+1=0， 所以 | = 1 +2|2 1|， =1+ 22 (2 +1)2 412， =522 4 14 = 15 【解析】 （ ）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程 （ ）首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用直线和圆锥曲线的位置关系， 建立方程组利用弦长公式求出结果 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆锥曲线 的位置关系的应用，弦长公式的应用 17. 在平面直角坐标系 xoy，已知椭圆的方程为： 220+212=1，动点 P 在椭圆上， O为原点， 线段 OP 的中点为 Q （ ）以 O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点 Q的轨迹的极坐标 方程； （ ）设直线 l的参数方程为 = 12 = 32 ，（ t为参数）， l与点 Q的轨迹交于 M、 N 两点，求弦长 |MN| 【答案】 解：（ ）设点 Q的坐标为（ x， y），则点 P 的坐标为（ 2x， 2y）， 由点 P 在椭圆上得 (2)220 + (2)212 = 1，化解可得： 25 + 23 = 1 第 12 页，共 14 页 由 x=cos， y=sin，代入 得 225 + 223 = 1， 化简可得点 Q轨迹的极坐标方程为 2（ 3+2sin2） =15 （ ）（法一）把直线 l参数方程 = 12 = 32 （ t为参数）代入 得 2 4 5 + 32 4 3 = 1 化简得： 2 = 103 所以 1 = 303 ， 2 = 303 ， 弦长 | = |1 2|= 2303 ； （法二）由直线 l参数方程 = 12 = 32 （ t为参数）知，直线 l过极点，倾斜角为 3， 直线 l的极坐标方程为 = 3 ( ) 由 = 3 2(3+ 22) = 15 解得： = 3 1 = 303 或 = 3 2 = 303 . 弦长 | = |1 2| = 2303 （法三）由直线 l参数方程 = 12 = 32 （ t为参数）知，直线 l的普通方程为 = 3， 联立 解得 1 = 306 1 = 102 ， 2 = 306 2 = 102 弦长 | = (1 2)2 +(1 2)2 = 2303 【解析】 （ ）设点 Q的坐标为（ x， y），则点 P 的坐标为（ 2x， 2y），然后将点 P 的 坐标代入椭圆的方程可得出有关点 Q的坐标所满足的方程，即为点 Q的轨迹方程； （ ）解法一是将直线 l的参数方程与椭圆 C的方程联 立，消去 x、 y，得到关于 t的二 次方程，并列出韦达定理，并利用弦长公式 |MN|=|t1-t2|结合韦达定理可求出答案； 解法二是将直线 l的方程化为普通方程，将直线 l的普通方程与椭圆 C的方程联立，列 出韦达定理，结合韦达定理与弦长公式可计算出 |MN|； 解法三是写出直线 l与椭圆 C的极坐标方程，将直线 l的极坐标方程与椭圆的极坐标方 程联立，列出有关 的二次方程，列出韦达定理，结合韦达定理以及 |MN|=|1-2|可计算 出答案 本题考查直线与椭圆的综合问题，同时也考查了参数方程与极坐标方程的应用，考查计 算能力与变形能力，属于中等题 18. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 -2cos-6sin+1=0，直线 l的参数方程为 = 3 + 12 = 3 + 32 （ t为参数） （ 1）求曲线 C的普通方程； （ 2）若直线 l与曲线 C交于 A， B 两点，点 P 的坐标为（ 3， 3），求 |PA|+|PB|的值 第 13 页，共 14 页 【答案】 解：（ 1）曲线 C的极坐标方程为 -2cos-6sin+1=0， 可得： 2-2cos-6sin+1=0， 可得 x2+y2-2x-6y+1=0， 曲线 C的普通方程： x2+y2-2x-6y+1=0 （ 2）由于直线 l的参数方程为 = 3 +12 = 3 +32 （ t为参数） 把它代入圆的方程整理得 t2+2t-5=0， t1+t2=-2， t1t2=-5， |PA|=|t1|， |PB|=|t2|， |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=(1 +2)2 412=26 |PA|+|PB|的值 26 【解析】 （ 1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可 （ 2）把直线方程代入圆的方程化简可得 t的二次方程，利用根与系数的关系，以及 |PA|=|t1|， |PB|=|t2|求出 |PA|PB| 本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方 程中参数 t的几何意义，是基础题 19. 在直角坐标系 xOy中，曲线 C1 的参数方程为 = +3cos = 3sin （ t为参数， a 0）以 坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1 上一点 A 的极坐 标为 （ 1， 3），曲线 C2 的极坐标方程为 cos （ ）求曲线 C1 的极坐标方程； （ ）设点 M， N在 C1 上，点 P在 C2 上（异于极点），若 O， M， P， N四点依次 在同一条直线 l上，且 |MP|， |OP|， |PN|成等比数列，求 l的极坐标方程 【答案】 解：（ ）曲线 C1 的参数方程为 = +3 = 3 （ t为参数， a 0） 转换为直角坐标方程为：（ x-a） 2+y2=3， 化简为： x2+y2-2ax+a2-3=0， 转换为极坐标方程为： 2-2acos+a2-3=0， 把曲线 C1 上一点 A 的极坐标（ 1， 3），代入曲线得极坐标方程得到： a2-a-2=0， 解得： a=2 或 a=-1（舍去） 所以曲线的极坐标方程为： 2-4cos+1=0 （ ）由题意知：设直线 l的极坐标方程为 =（ R）， 设点 M（ 1， ）， N（ 2， ）， P（ 3， ）， 则： 1 2 联立 2 4 + 1= 0 = 得到： 2-4cos+1=0， 所以： 1+2=4cos， 12=1 联立： = = ， 得到： 3=cos 第 14 页，共 14 页 由于 |MP|， |OP|， |PN|成等比数列， 所以： 32 = (3 1)(2 3)， 则： 2cos2=4cos2-1， 解得： cos = 22 ， 所以直线 l的极坐标方程为 = 4（ R） 【解析】 （ ）直接利用转化关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化 （ ）利用（ ）的结论，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系，利 用等比中项求出结果 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根 与系数的关系的应用，等比中项的应用