高考数学易错题三角函数与平面向量.doc

高考数学易错题精选：三角函数与平面向量1在同一坐标系中，函数的图像和函数的图像有( )个公共点.函数的图像和函数（ ）的图像有( )个公共点.A. 1 ,3 B. 1 ,1 C. 3, 1 D. 3, 32若方程在上有两个不同的实数解， ( )A. B. C. D. 3.当时,函数的最小值为( )A.2 B. C.4 D.4已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中等于( )A.2 B.-2 C. D. 5.在中,有命题: 若,则为等腰三角形对任意恒成立，则的形状为直角三角形若,则为锐角三角形.上述命题正确的是( ) A. B. C. D.6如图是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2 正三角形ABC的三个顶点分别在、上，则ABC的边长是（ ）A B CD7设O为ABC所在平面内一点，已知， 、则点O 是ABC的（ ）A重心B垂心C外心D内心8定义在R上的偶函数满足，且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（ ）A. B.C.D.9.若,则的取值范围是（ ）ABCD 10.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则( )A. 与都为锐角三角形. B. 与都为钝角三角形.C. 为钝角三角形, 为锐角三角形. D. 为锐角三角形, 为钝角三角形.11某时钟的秒针端点A到中点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点间的距离表示成的函数，则 其中12若平面向量，满足平行于轴，则 13已知向量a=,b，则使a与b的夹角为锐角的的范围为 14设点A（1，0），B（0，1），O为坐标原点，点P在线段AB上移动，若，则实数的取值范围是 15已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围为 16点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是 17.在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_。18在ABC中，已知，AC边上的中线，则 19. 已知偶函数满足，且当时，其图象与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，则_.20已知ABC中，P为平面上任意一点，M、N分别使，给出下列相关命题：；直线MN的方程为；直线MN必过ABC的外心；向量所在射线必过N点，上述四个命题中正确的是 _.（将正确的选项全填上）21对于函数,给出下列四个命题:(1) 该函数的值域是; (2) 当且仅当时该函数取到最大值1;(3) 当且仅当时该函数取到最小值;(4) 当且仅当时正确的序号有 22已知且，则下列五个不等式：； ； ； 其中正确的序号是 23（1）已知，求的值；（2）已知、，求 的值BACD24.如图，在ABC中，已知，是平分线.（1）求证：； （2）求的值.25.在中，点M是BC的中点，的三边长是连续三个正整数，且（I）判断的形状；（II）求的余弦值。26在ABC中，已知a,b,c成等比数列，且（1）求ABC的面积S的最大值；（2）求的最小值27已知圆以及圆C内一定点P（1，2），M为圆C上一动点，平面内一点Q满足关系：（O为坐标原点）（1）求点Q的轨迹方程；（2）在O、M、P不共线时，求四边形OPQM面积的最大值及此时对应的向量ABCDEO28如图所示，在半径为的圆O上的弓形中，底，C为劣弧上的一点，且CDAB，D为垂足，点C在圆O上运动，当点C处于什么位置时，ADC的面积有最大值？29如图所示，已知在ABC的边上作匀速运动的点D、E、F，在时刻时，分别从A、B、C出发，各以一定速度向B、C、A前进，当时刻时到达B、C、A（1）试证明在运动过程中，DEF的重心不变；（2）若ABC的面积是S，求DEF的面积的最小值30已知椭圆，为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且，（1）求椭圆的方程；（2）若AB上的一点F满足，求证：CF平分BCA三角函数与平面向量答案1B解：当时， 所以时，与，均只有一个交点，即原点故选B2C解：由在的图像可知，故选C3C解：因为，所以，所以故选C4B解：与反向 又.故选B5C.解：向量几何意义可知;由向量几何意义可知ACAB. 故选C6.D解：设其边长是，AB与的夹角为，则，于是，得，所以， 所以，选D7.B解：由，得，即，所以，即，即，所以BAOC同理，ACOB，BCOA，所以点O是ABC的垂心，故选B8.D. 解：对称轴为,又为偶函数,则函数是周期为2的函数有3，2上是减函数可知0，1是增函数. 故选D9D解：设，则，即，所以显然，当取得最大值时，有最大值所以，即，选D10D解：由已知条件知A1、B1、C1的三个内角的余弦值为均为正，则A1、B1、C1为锐角三角形，假设A2、B2、C2为锐角三角形由得 那么，这与三角形内角和为矛盾，所以假设不成立，则A2、B2、C2为钝角三角形，故选D11解：因为经过秒，秒针转了弧度，所以，所以。12解：设，则，依题意，知又，故或-3，从而或13且且即入14解：由已知，所以，从而，所以，由，得，所以，又，所以15解：如图，因为，所以A在以C（2,2）为圆心，以为半径的圆上显然，当OA与相切时，与的夹角取得最大值和最小值在OAC中，所以，又因为，所以，所以向量与向量的夹角的取值范围为ABCBCO16解： 令 则O为的重心则， 17解：由与图像所围成的封闭图形可得其面积为。18解：设E为BC中点，连结DE，则DE/AB，且，设在BED中，所以，解之得或（舍）故BC=2从而在ABC中，所以，又，由19解：由图像可知。20解：由条件可得出M是AB的中点，N是ABC的重心，不难得出、是正确的21解：作出函数的图形可从图形中得（3）（4）正确22解：作出上函数的图形可看成图形上一点与原点所在直线斜率，由图形可知（1）（3）（5）正确23解：（1）将和两式的两边平方相加得：，即可得（2）由已知得， ，2+2得，即，即，所以因为，所以所以24. 解：（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得， 又平分，所以，由得，所以.（2）因为，所以.在中，因为， 所以.25. 解： （I）设则由中，由正弦定理得同理得即当时，与的三边长是连续三个正整数矛盾，是等腰三角形。（II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为由得n=4，由余弦定理或二倍角公式得或26解：（1）由已知得，所以，所以又，所以所以，当且仅当时取等号所以（2）因为 所以当时，27解：（1）设，圆上任一点又P（1，2），则由，则有，所以又，故Q的轨迹方程为（2），所以四边形OPQM面积的最大值为此时POM=90，则设由及点M在圆C上得，解得或，即或28解：设，过O作OEAC，E为垂足，连结OA，OB因为，所以，所以，ABCDEO所以在ADC中，所以所以当，即，亦即时，取得最大值，这时C点的位置由CAB=15确定。29解：（1）证明：设，由题意，在同一时刻，D、E、F分、所成的比相同，设为，则由定比分点坐标公式可求得： 由三角形重心坐标公式求得DEF的重心坐标为，与无关，即在运动过程中，DEF的重心不变（2）因为，所以DFA与ABC的底边与高对应成比例，所以即同理，所以因为，所以当时，的面积取得最小值为30解：（1）易知由，得，即又，所以BCA=90，即ACO为等腰直角三角形，所以又C点在上，所以所以椭圆的方程为（2）证明：由，得所以，所以F分所成的比，所以又，所以，故由角平分线定理知CF平分BCA三角函数与平面向量1在同一坐标系中，函数的图像和函数的图像有( )个公共点.函数的图像和函数（ ）的图像有( B )个公共点.A. 1 ,3 B. 1 ,1 C. 3, 1 D. 3, 31解：当时， 所以时，与，均只有一个交点，即原点故选B2若方程在上有两个不同的实数解， ( C )A. B. C. D. 2解：由在的图像可知。3.当时,函数的最小值为( C )A.2 B. C.4 D.3解：因为，所以，所以故选C4已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中等于( )A.2 B.-2 C. D. 4解：与反向 又.故选B5. 5.在中,有命题: 若,则为等腰三角形对任意恒成立，则的形状为直角三角形若,则为锐角三角形.上述命题正确的是( C ) A. B. C. D.5C.解：向量几何意义可知;由向量几何意义可知ACAB. 故选C6如图是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在、上，则ABC的边长是（ D ）ABCD6.解：设其边长是，AB与的夹角为，则，于是，得，所以，所以，选D7设O为ABC所在平面内一点，已知，则点O 是ABC的（ B ）A重心B垂心C外心D内心7.解：由，得，即，所以，即，即，所以BAOC同理，ACOB，BCOA，所以点O是ABC的垂心，故选B8定义在R上的偶函数满足，且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（ D ）A. B.C.D.8.D. 解：对称轴为,又为偶函数,则函数是周期为2的函数有3，2上是减函数可知0，1是增函数. 故选D9.若,则的取值范围是（ D ）ABCD 9解：设，则，即，所以显然，当取得最大值时，有最大值所以，即，选D10.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则( D )A. 与都为锐角三角形.B. 与都为钝角三角形.C. 为钝角三角形, 为锐角三角形.D. 为锐角三角形, 为钝角三角形.10解：由已知条件知A1、B1、C1的三个内角的余弦值为均为正，则A1、B1、C1为锐角三角形，假设A2、B2、C2为锐角三角形由得，那么，这与三角形内角和为矛盾，所以假设不成立，则A2、B2、C2为钝角三角形，故选D11某时钟的秒针端点A到中点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点间的距离表示成的函数，则 ，其中11解：因为经过秒，秒针转了弧度，所以，所以。12若平面向量，满足平行于轴，则（-1，1）或（-3，1）12解：设，则，依题意，知又，故或-3，从而或13已知向量a=,b，则使a与b的夹角为锐角的的范围为 (，2) 13且且即入14设点A（1，0），B（0，1），O为坐标原点，点P在线段AB上移动，若，则实数的取值范围是 14解：由已知，所以，从而，所以，由，得，所以，又，所以15已知向量，向量，向量，则向量与向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围为 15解：如图，因为，所以A在以C（2,2）为圆心，以为半径的圆上显然，当OA与相切时，与的夹角取得最大值和最小值在OAC中，所以，又因为，所以，所以向量与向量的夹角的取值范围为16点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是 ABCBCO16解：令 则O为的重心则，17.在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_。17解：由与图像所围成的封闭图形可得其面积为。. 18在ABC中，已知，AC边上的中线，则. 18解：设E为BC中点，连结DE，则DE/AB，且，设在BED中，所以，解之得或（舍）故BC=2从而在ABC中，所以，又，由 19. 已知偶函数满足，且当时，其图象与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，则_4_.19解：由图像可知。20已知ABC中，P为平面上任意一点，M、N分别使，给出下列相关命题：；直线MN的方程为；直线MN必过ABC的外心；向量所在射线必过N点，上述四个命题中正确的是 （将正确的选项全填上）20解：由条件可得出M是AB的中点，N是ABC的重心，不难得出、是正确的21对于函数,给出下列四个命题:(1) 该函数的值域是; (2) 当且仅当时该函数取到最大值1;(3) 当且仅当时该函数取到最小值;(4) 当且仅当时正确的序号有(3)(4) 21解：作出函数的图形可从图形中得（3）（4）正确22已知且，则下列五个不等式：； ； ； 其中正确的序号是 22解：作出上函数的图形可看成图形上一点与原点所在直线斜率，由图形可知（1）（3）（5）正确23（1）已知，求的值；（2）已知、，求 的值23解：（1）将和两式的两边平方相加得：，即可得（2）由已知得， ，2+2得，即，即，所以因为，所以所以BACD24.如图，在ABC中，已知，是平分线.（1）求证：； （2）求的值.24. 解：（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得， 又平分，所以，由得，所以.（2）因为，所以.在中，因为， 所以.25.在中，点M是BC的中点，的三边长是连续三个正整数，且（I）判断的形状；（II）求的余弦值。25. 解： （I）设则由中，由正弦定理得同理得即当时，与的三边长是连续三个正整数矛盾，是等腰三角形。（II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为由得n=4，由余弦定理或二倍角公式得或26在ABC中，已知a,b,c成等比数列，且（1）求ABC的面积S的最大值；（2）求的最小值26解：（1）由已知得，所以，所以又，所以所以，当且仅当时取等号所以（2）因为所以当时，27已知圆以及圆C内一定点P（1，2），M为圆C上一动点，平面内一点Q满足关系：（O为坐标原点）（1）求点Q的轨迹方程；（2）在O、M、P不共线时，求四边形OPQM面积的最大值及此时对应的向量27解：（1）设，圆上任一点又P（1，2），则由，则有，所以又，故Q的轨迹方程为（2） ，所以四边形OPQM面积的最大值为此时POM=90，则设由及点M在圆C上得，解得或，即或28如图所示，在半径为的圆O上的弓形中，底，C为劣弧上的一点，且CDAB，D为垂足，点C在圆O上运动，当点C处于什么位置时，ADC的面积有最大值？ABCDEO28解：设，过O作OEAC，E为垂足，连结OA，OB因为，所以，所以，所以在ADC中，所以所以当，即，亦即时，取得最大值，这时C点的位置由CAB=15确定。29如图所示，已知在ABC的边上作匀速运动的点D、E、F，在时刻时，分别从A、B、C出发，各以一定速度向B、C、A前进，当时刻时到达B、C、A（1）试证明在运动过程中，DEF的重心不变；（2）若ABC的面积是S，求DEF的面积的最小值29解：（1）证明：设，由题意，在同一时刻，D、E、F分、所成的比相同，设为，则由定比分点坐标公式可求得：由三角形重心坐标公式求得DEF的重心坐标为，与无关，即在运动过程中，DEF的重心不变（2）因为，所以DFA与ABC的底边与高对应成比例，所以即同理，所以因为，所以当时，的面积取得最小值为30已知椭圆，为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且，（1）求椭圆的方程；（2）若AB上的一点F满足，求证：CF平分BCA30解：（1）易知由，得，即又，所以BCA=90，即ACO为等腰直角三角形，所以又C点在上，所以所以椭圆的方程为（2）证明：由，得所以，所以F分所成的比，所以又，所以，故由角平分线定理知CF平分BCA