等腰三角形存在性问题及真题典例分析.doc

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得ABC是等腰三角形【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB【注意】若有三点共线的情况，则需排除作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求同理可求，下求显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取AB=AC、AB=BC、AC=BC；（4）列出方程求解问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口【中考真题解析】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由 【分析】（1）；（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点AE=，又AH=3，故、当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，故、当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点设，解得：m=1故综上所述，P点坐标为、【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决 【中考真题（删减）】如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为（1）求此抛物线的表达式；（2）过点作轴，垂足为点，交于点试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）；（2）当CA=CQ时，CA=5，CQ=5，考虑到CB与y轴夹角为45，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H，则，故Q点坐标为当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4），即，解得：m=1或0（舍），故Q点坐标为（1，3）当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在综上所述，Q点坐标为或（1，3）【中考真题（删减）】如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中（1）求、两点的横坐标；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值【分析】（1）A、B两点横坐标分别为1、2；（2）求k的值等价于求B点坐标，B点横坐标始终为2，故点B可以看成是直线x=2上的一个动点，满足OAB是以OA为腰的等腰三角形，又A点坐标为（1，2），故当OA=OB时，即，记直线x=2与x轴交点为H点，OH=2，BH=1，故B点坐标为（2，1）或（2，-1），k=-1或-3当AO=AB时，易知B点坐标为（2，0），k=-2综上所述，k的值为-1或-2或-3 【中考真题（删减）】如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点（1）求这个二次函数的表达式；（2）若是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与线段交于点，连接当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标【分析】（1）；（2）当PM=PC时，（特殊角分析）考虑PMC=45，PCM=45，即PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）；当MP=MC时，（表示线段列方程）设P点坐标为，则M点坐标为，故线段故点M作y轴的垂线，垂足记为N，则MN=m，考虑MCN是等腰直角三角形，故，解得或0（舍），故P点坐标为综上所述，P点坐标为（2，-3）或【中考真题（删减）】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）如图，连接、，点在线段上（不与、重合），作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【分析】（1），顶点D坐标为；（2）考虑到DAB=DBA=DMN，即有BMDANM（一线三等角）当MD=MN时，有BMDANM，可得AM=BD=5，故AN=BM=1；当NM=ND时，则NDM=NMD=DAB，MADDAB，可得AM=，即，解得：当DM=DN时，DNM=DMN=DAB，显然不成立，故不存在这样的点M综上，AN的值为1或【中考真题（删减）】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动（点不与点和点重合），设运动时间为秒，过点作轴垂线交轴于点，交抛物线于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接交于点，当是等腰三角形时，直接写出的值【分析】（1）；（2）考虑到DPM=45，当DP=DM时，即DMP=45，直线AM：y=x+1，联立方程：，解得：，（舍）此时t=1当PD=PM时，PMD=PDM=67.5，MAB=22.5，考虑tan22.5=，直线AM：，联立方程：解得：，（舍）此时t=综上所述，t的值为1或附：tan22.5=【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量14