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1、已知a为实数，函数f(x)=x2-2alnx.（）求f(x)在1，+上的最小值g(a);（）若a0,试证明“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”.2、已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）3、设二次函数方程的两根和满足 （）求实数a的取值范围; （）试比较的大小，并说明理由.4、已知函数f(x)=mx3+nx2(m、nR ,m0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.文档收集自网络，仅用于个人学习（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；（2）证明：对任意实数0x1x21, 关于x的方程：在（x1,x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间a,b上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：文档收集自网络，仅用于个人学习当0an3；当的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.31、设函数对任意的实数x均成立，则称函数函数。 （I）试判断函数函数？并说明理由； （II）若函数，均有 函数； （III）求证：若32、已知向量. （）若方程上有两实根，求实数a的取值范围；（）设实数m、n、r满足：m、n、r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断m+n+r，m2+n2+r2，m3+n3+r3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；文档收集自网络，仅用于个人学习（）给定函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围33、已知向量，且m，n是方程的两个实根. （）求实数a的取值范围；（）设的最小值；（）给定函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围.34、已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）求证：；（3）若，求的值。35、设函数的两个零点分别是3和2；（1）求；（2）当函数的定义域是0，1时，求函数的值域。36、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示。据图中提供的信息，回答下列问题：文档收集自网络，仅用于个人学习（1）试建立从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室。文档收集自网络，仅用于个人学习37、如图，直角梯形OABC位于直线（）右侧的图形的面积为（其中O为坐标原点）。（1）试求函数的解析式； （2）画出函数的图像。38、求函数在区间2，6上的最大值和最小值。39、新星家具厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌. 2005年该厂生产的模拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润的1.25倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这个利润是上年利润的，以后每年的利润均以此方式产生，预期计划若干后两产品利润之和达到174万元，从2005年起：文档收集自网络，仅用于个人学习（1）哪一年两产品获利之和最小？（2）至少经过几年即可达到或超过预期计划？40、设上的奇函数，对任意实数x，都有时，（）求证：直线x=1是函数图象的一条对称轴；（）当时，求函数的解析式.参考答案一、综合题1、解：（） （1）若上连续,上是单调递增函数. （2）若当上是单调递减函数；当上是单调递增函数.则时，取得最小值. （）记 （1）充分性：若当在（0，1）上是单调递减函数；当上是单调递增函数.时取等号.有唯一解. （2）必要性：若方程当上是单调递减函数； 当上是单调递增函数. 当x=x2时， 设函数 至多有一解. 由（1）、（2）知，“方程有唯一解”的充要条件是“”.2、解：（I）由方程消得 依题意，该方程有两个正实根，故解得（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程的两实根，且，故，是关于的减函数，所以的取值范围是是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知类似可得由可知从而当时，有相同的结果所以3、本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力解法1：（）令，则由题意可得故所求实数的取值范围是（II），令当时，单调增加，当时，即解法2：（I）同解法1（II），由（I）知，又于是，即，故解法3：（I）方程，由韦达定理得，于是故所求实数的取值范围是（II）依题意可设，则由，得，故4、解：(1)因为f(x)=3mx2+2nx,-1 由已知有f(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m文档收集自网络，仅用于个人学习即f(x)=3mx2-6mx,由f(x)0知mx(x-2)0.当m0时得x2，f(x)的减区间为（0，2）；当m0时得：0x0时，f(x)的减区间为（0，2）；当m0时,f(x)的减区间为（-，0），（2，+）；可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)= 3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2文档收集自网络，仅用于个人学习则h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),即h(x1)h(x2)=-(x1-x2)2(2x1+x2-3)(x1+2x2-3) 又因为0x1x21,所以(2x1+x2-3)0,(x1+2x2-3)0, 即h(x1)h(x2)0,文档收集自网络，仅用于个人学习故h(x)=0在区间(x1,x2)内必有解，即关于x的方程在（x1,x2）恒有实数解（3）令g(x)=lnx,x(a,b)，则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x0（a,b）,使因为g(x)=,由x(a,b),0a0即。5、解：（1）由条件知：恒成立 恒成立 （2） 又恒成立 解出： （3）由分析条件知道，只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置， 于是： 利用相切时=0，解出m=1+ 另解：必须恒成立即恒成立解得： 6、解：（1）由有：。对任意的，都有对任意的， 将带入上式得：解得：（2）证明：，即。（3）证明：由得， 在上是减函数，在上是增函数。 当时,在时取得最小值， 在时取得最大值.故对任意的，7、解析：（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得8、解：对任意实数都有恒成立；2分关于的方程有实数根；4分如果正确，且不正确，有；6分如果正确，且不正确，有7分所以实数的取值范围为8分9、解：（1） （2）10、解：因为是奇函数，所以f (0)=0即由知由上式知在（-，+）上为减函数。又因是奇函数，从而不等式等价于，因为是减函数由上式推得从而判别式。11、解: 由, 又,，故函数是非奇非偶函数;(II)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2010上有402个解,在-2010.0上有402个解,所以函数在-2010,2010上有804个解12、解析：（1）若，显然不等式成立；若，在定义域上是奇函数，又是减函数，故原不等式成立；同理可证当原不等式也成立。（2）由和已知可得以下不等式组13、解：1分且解得：1分由解得的单调增区间是2分1分假设结论在处取极值，则成立，则有得由得即即令，在上是增函数，式不成立，与假设矛盾，6分故在处不是极值点。1分14、解：（1） 高+考-资.源-网由题意，得,由得的单调增区间是高+考-资.源-网（2）由（1）知令则,由得当变化时，的变化情况如下表：0+极小值当时，关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根的充要条件是, 15、解：(1) 设点的坐标为， 2分整理，得（），这就是动点M的轨迹方程 4分(2) 由题意知直线的斜率存在，设的方程为（） 将代入，得（*）由，解得 8分(3) 由（*）式得设，则 9分令，则，即，即，且 10分由得，即 12分且 且解得且 ，且OBE与OBF面积之比的取值范围是 14分16、解：（1）依题意，解得（2）当直线过点时，斜率为由于时函数是二次函数，且与直线交于点（1，0），由函数的图象和性质可知，所求直线的斜率的取值范围为17、解：（1）依题意，解得（2）当直线过点时，斜率为由于时函数是二次函数，且与直线交于点（1，0），由函数的图象和性质可知，所求直线的斜率的取值范围为18、解：（）因为， 所以，满足条件， 又因为当时，所以方程有实数根.所以函数是集合中的元素. （）假设方程存在两个实数根（），则， 不妨设，根据题意存在实数，使得等式成立， 因为，所以， 与已知矛盾，所以方程只有一个实数根19、解： (1)设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1 f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x 即2ax+a+b=2x,所以,f(x)=x2-x+1 6分(2)由题意得x2-x+12x+m在-1,1上恒成立 即x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立 文档收集自网络，仅用于个人学习设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在-1,1上递减 故只需g(1)0,即12-31+1-m0,解得m0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).（1） 当a.0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 x 时 h (x)时，h (x)0，h(x)在（0，）上递增。所以x是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以（a）=h()= 2a-aln=2（2）当a0时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。文档收集自网络，仅用于个人学习故 h(x) 的最小值（a）的解析式为2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知（a）=2a(1-ln2a)则 1（a ）=-2ln2a，令1（a ）=0 解得 a =1/2当 0a0，所以（a ） 在(0,1/2) 上递增当 a1/2 时， 1（a ）1时， 又 当0a1或an3， 上是减函数. 的定义域为n，m；值域为n2，m2， 得：mn3， m+n=6，但这与“mn3”矛盾. 满足题意的m，n不存在31、解：（I）由，不满足条件函数。 （II）证明 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即函数 （III）证明 设 当当所以当时， 又，所以又因为当上是增函数，从而 当即综上所述，在R上恒有函数。32、解：（）由题意知： 方程上有两实根 由得：由得：a1由3得：从而 （）有实根， 不妨令m=a，则n，r是的两根，从而n+r=3a，nr=a23a故m+n+r=3，m2+n2+r2=a2+（3a）22（a23a）=9= 故令 从而在为增函数在（0，2）上为减函数a=2为极小值点， （）当由题意知15，27 33、解：（）由题意知： m、n是方程的两个实根 （）由题意知： 故令 从而在为增函数在（0，2）上为减函数a=2为极小值点， 的最小值为15 （）当由题意知15，27 34、解：（1）由得。函数的定义域为（1，1），关于原点对称。函数可变为。又，是奇函数。 （2）证明，（3）是奇函数， 又 由可得，解得。35、解：（1）的两个零点是3和2，函数图像过点（3，0）、（2，0）有， 得：， 代入得：，即。0，。（2）由（1）得，图像的对称轴方程是直线，当时，函数在0，1上是减函数， 的值域是12，18。36、解：（1）药物释放过程中，设。由图像过点（0.1，1）得1=0.1k，解得k=10，（）药物释放完毕后，由函数图像，可得，解得，所求函数解析式为 （2）由，可得， 答：至少需要经过0.6小时即36分钟后，学生方可走进教室。37、解：（1）设直线与梯形的交点为D，E。当时当时所以（2）图像38、解：设、是区间2，6上的任意两个实数，且，则由26，得0，。于是，即，所以函数是区间2，6上的减函数。因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当时，；当时，。39、解：（）设第n年太空椅获利xn万元，办公桌获利yn万元. 则 （当且仅当n=2时取等号. ）故第2006年两产品获利最小（）令16t258t+25=0， （舍）. 当n=5时，当n=7时，故从2005年起至少经过7年即超过预期计划40、解：（）因为为奇函数，所以 所以 所以直线x=1是函数图象的一条对称轴 （）因为所以是以4为周期的函数 又当当所以当46 / 46
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