2020届高三广州一模理科数学试题及参考答案.doc

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）A BCD2若复数满足方程，则（ ）A B C D3若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 4已知，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5设函数，若对任意都有成立，则的最小值为（ ）A B C D 6已知直三棱柱的体积为，若分别在上，且，则四棱锥的体积为（ ）A B C D 7为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A B C D 8已知直线与轴的交点为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则的中点到抛物线的准线的距离为（ ）A8B6C5D49等差数列的前项和为，已知，若，则的最小值为（ ）A8B9C10D1110已知点是曲线上的点，曲线在点处的切线方程与直线平行，则（ ）ABC或D或11已知为坐标原点，设双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上位于第一象限上的点，过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D212已知函数，若在区间上有个零点，则（ ）A4042B4041C4040D4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 14在的展开式中，的系数是15，则实数 15已知单位向量与的夹角为，若向量与的夹角为，则实数的值为 16记数列的前项和为，已知，且，则的最小值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）的内角的对边分别为已知，且满足（1）求角的大小；（2）求的最大值18（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数x 人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求的分布列及数学期望19（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边中，分别为边的中点将沿折起，使得，得到如图2的四棱锥，连结，且与交于点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）已知过点，且与内切，设的圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）设直线不经过点且与曲线相交于两点若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由21（本小题满分12分）已知函数（1）求函数在上的单调区间；（2）用表示中的最大值，为的导函数设函数，若在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分22【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数且）（1）求曲线和的普通方程；（2）若分别为曲线上的动点，求的最小值23【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1答案：A解析：，2答案：D解析：3答案：D解析：圆的标准方程为，圆心为，半径，直线过定点，因为，所以直线与圆恒有公共点，所以实数的取值范围是4答案：B解析：由，得或，解得或，因为或，所以是的必要不充分条件5答案：C解析：由题可知是函数的最小值点，是函数的最大值点所以的最小值为函数半个周期，6答案：B解析：设底面正三角形的边长为，直三棱柱的高为，则，所以7答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有种不同的选法，则所求概率为8答案：A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为，所以，将代入，得，设，中点，则，则点到准线的距离为9答案：C解析：设等差数列的公差为，则，解得所以，由，化简得：，即的最小值为1010答案：B解析：令，得，解得或，当时，此时在直线上，故舍去，所以11答案：C解析：延长交于点，因为是的平分线且，可得，且，所以是的中位线，所以，又由，可得，所以，所以，12答案：B解析：，所以为奇函数，所以，显然，当时，由，得，在同一坐标系中作出和的图象，的最小正周期，在每个区间内各有2个零点， 所以两函数在区间内共有2020个交点，即在内共有2020个零点，由对称性，在内也有2020个零点，又，所以，所以13答案：，（第1个空2分，第二个空3分） 解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径，高，母线长，体积，表面积14答案：5解析：，而的展开式中含的项为，含的项为，所以的展开式中，的系数是，解得15答案： 解析：不妨取，设，则，两边平方，并整理得，解得或，又因为，所以16答案：16解析：当时，得；当时，得，同理可得，又，所以，由，得，所以17解：（1）根据正弦定理， 得 因为，所以【或】 由余弦定理，得【或】，因为，所以 （2）由已知与（1）知，由正弦定理， 得， 所以，（其中，）因为，所以 所以时，取得最大值所以的最大值为 18解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为，则设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为，则 所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为 （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个 现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量服从超几何分布，的所有可能的取值为， 则， 所以的分布列如下： Y0123P 所以 19（1）证明1：在图中，因为为等边三角形，且为边的中点，所以在中，所以因为分别为边的中点，所以在图中，有，所以因为，所以为直角三角形因为，所以在中，由余弦定理得，所以 在中，因为，所以 同理可证 因为，平面，平面，所以平面 证明2：在图中，因为为等边三角形，且为边的中点，所以 在中，所以 因为分别为边的中点，所以在图2中，有，所以 在中，在和中，因为，所以 所以所以 同理可证 因为，平面，平面，所以平面 （2）解法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为，则，取 设平面的法向量为，则，取 所以 由图可知，二面角的平面角是钝角，故二面角的余弦值为 解法2：在四棱锥中，分别取，的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为，且平面，所以平面因为平面，所以因为点，分别为边，的中点，所以所以 所以为所求二面角的平面角 在等边三角形中，因为，所以 在中， 在中，所以 所以 在中，由余弦定理得所以二面角的余弦值为 20（1）解：设的半径为，因为过点，且与相切，所以，即因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆设椭圆的方程为， 则，且，所以，所以曲线的方程为 （2）解法1：依题意，直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为由，得， 解之得，因此点的坐标为 因为直线的斜率为，所以可得点的坐标为 当时，直线的斜率为 所以直线的方程为， 整理得即 此时直线过定点 当时，直线的方程为，显然过定点综上所述，直线过定点 解法2：当直线的斜率不存在时，设直线的方程为：设点，则点，依题意，因为，所以因为，且，解得 此时直线的方程为 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：由 得 需要满足，即设点，则有，因为，所以因为，所以 即，即所以或 当时，满足，直线的方程为，恒过定点当时，满足，直线的方程为，恒过定点，不合题意 显然直线也过定点，综上所述，直线过定点 21（1）解：因为，所以 当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）解：由（1）可知，当时， 所以要使在区间上恒成立，只需在区间上恒成立即可因为以下给出四种求解思路：思路1：因为，所以在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立 令，则因为当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减 所以所以所以实数的取值范围为 思路2：因为，则 若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，由，解得此时实数不合题意 若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，由，解得此时实数不合题意 若，则当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以，由，解得 此时实数满足综上所述，实数的取值范围为 思路3：因为，则 因为在上恒成立，则，即 因为在上单调递增，因为，【或时，】所以存在，使得 当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以 要使在上恒成立，只要，解得所以实数的取值范围为 思路4：因为，所以在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立 令，则，所以在上单调递增而是经过原点的直线，设过原点的直线与相切于点， 则切线方程为，因为过原点，所以因为，所以即切点为所以经过原点且与相切的直线方程为 所以满足的条件是，解得所以实数的取值范围为 （3）证明1：由（2）可知，当时，有即 则，同理， 所以所以 证明2：要证，即证，即证 先证明，事实上，设，则，当时，所以在上单调递增所以，所以 所以所以 22解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数，得所以曲线的方程为 因为曲线的参数方程为（为参数），则由，得，代入得， 消去参数，得 因为，所以所以曲线的方程为 （2）因为点，分别为曲线，上的动点，设直线与曲线相切，由，消去得 所以，解得因为，所以 因为直线与间的距离为：所以的最小值 23（1）解：因为，所以 当时，由，解得，此时 当时，解得，此时 当时，解得，此时 综上可知，所以不等式的解集为 （2）解法1：由，得，因为，所以问题转化为对任意的恒成立， 所以【或】 所以 因为当时，所以实数的取值范围为 解法2：由，得，因为，所以问题转化为对任意的恒成立， 分别作出函数与函数的图像，如图所示，要使对任意的恒成立，则当时，函数的图像在函数的图像的上方 所以当时，需要满足且 因为当时， 所以实数的取值范围为